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全等三角形 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（　　）
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
2． 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD，AB>AD，下列结论正确的是(　　).
A．AB-AD>CB-CD
B．AB-AD=CB-CD
C．AB-ADD．AB-AD 与CB-CD 的大小关系不确定
3．如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在 中， ， ， ， 分别是 ， ， 上的点，且 ， ，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．1 D．2
7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（　　）
A．40° B．45° C．35° D．25°
8．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
9．如图，在△ABC中，AC=2，∠BAC=75°，∠C=60°，高BE与AE相交于H，则DH的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将常用的三角板如图所示放置，其中，C点为边所在直线上一定点（点C在点O的左边），点D为直线上一动点（不与C、B重合），平分，平分．若，则　 　．（用含α的式子表示）
12．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD=25，DE=17，则BE=　 　
13．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　
14．若 ， 是 的中线，则 的取值范围是　 　．
15．如图，，，，则　 　°．
16．如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是　 　.
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
18．如图，已知直线与相交于点O，平分，．
（1）求的度数．
（2）若直线，求的度数．
19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD=∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上.
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度数．
20．如图，直线相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
21．已知，AO⊥BC于点O， CD平分∠ACB， 交AO于点 D.
（1）如图1， 若AC=BC，∠CAO=50°， 则∠DBC=　 　°；
（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE，AC+CE=10，AD=DE，求CO的长；
22．已知：点O在直线AB上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
（1）若OC⊥AB于点O，如图1，直接写出∠DOE的度数为　 　；OD与OE的位置关系是　 　；
（2）若OC与AB不垂直，如图2，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明你的猜想是正确的；若不成立，请说明理由；
（3）如图2，若∠AOD＝40°，请你利用（2）中得到的结论，求∠BOE的度数．
23．已知，，点P是射线上的一个动点．
（1）如图1，连接，若，，求证：；
（2）如图1，连接，若，，则是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图2，连接，若，，，射线平分，射线平分，射线与射线相交于点Q，则的度数为　 　．
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全等三角形 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（　　）
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
【答案】A
【解析】【解答】解：②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA于点M，交OB于点N；
③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，
①画射线OC即为所求，
故选：A．
【分析】根据角平分线的作法可直接得到答案．
2． 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD，AB>AD，下列结论正确的是(　　).
A．AB-AD>CB-CD
B．AB-AD=CB-CD
C．AB-ADD．AB-AD 与CB-CD 的大小关系不确定
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，取AE=AD，连接CE，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ACD和△ACE中，
∴△ACD≌△ACE(SAS)，
∴CD=CE，
∵BE>CB-CE，
∴AB-AD>CB-CD.
故答案为：A.
【分析】取AE=AD，然后利用“边角边”证明△ACD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边解答.
3．如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝30°，
∴∠BAF＝150°，
∴∠EAB＝75°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180° ∠EAB ∠ABE＝45°，
故答案为：B．
【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到EF=EH=EG，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数.
4．如图，在 中， ， ， ， 分别是 ， ， 上的点，且 ， ，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据题意可得：△AMT≌△BNT，则∠BTN=∠AMT，根据三角形外角的性质可得：∠MTN+∠BTN=∠AMT+∠A，则∠A=∠MTN=44°，根据等腰三角形的性质可得：∠P=180°-(44°×2)=92°.
【分析】根据已知易证△MAT≌△TBN，得出∠BTN=∠AMT，再根据三角形的外角性质证出∠A=∠MTN，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠P的度数。
5．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠1=30°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣30°=60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2=∠3=60°．
故选D．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3．
6．如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
则，故C正确．
故选：C．
【分析】根据等角的余角相等得出，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明与全等，根据全等三角形的对应边相等得到，即可求解.
7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（　　）
A．40° B．45° C．35° D．25°
【答案】B
【解析】【解答】解：
∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD=∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠EAD﹣∠DAC=80°﹣35°=45°，
故选B．
【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC=∠EAD，在△ABC中可求得∠BAC，则可求得∠EAC．
8．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】如图，过点作的延长线的垂线于点，
是等边三角形，
=，
，
=，
又，
，
又，
，
，
同理可证， ，
，
，
.
故答案为：A .
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，由题意用角角边可证△AEP全等于△CFQ，同理可得△DEP全等于△DFQ，于是可得相等的线段AE=CF，PE=QF，DE=DF，由线段的构成AC=2DE，于是DE=AC可求解.
9．如图，在△ABC中，AC=2，∠BAC=75°，∠C=60°，高BE与AE相交于H，则DH的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠BAC=75°，且高BE与AE相交于H，∠C=60°，
∴∠DAC=∠EBD=30°，
∴∠BAD=45°，
∴△BAD是等腰直角三角形，
在△BDH与△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴DH=DC=1，
故选D
【分析】根据∠BAC=75°，∠C=60°，得出∠BAD=45°，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
10．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵平分，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即是的高，故①正确；
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，即是的中线，故②正确；
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
但不能证明，故③错误；
过点D作于点G，如图所示：
∵平分，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可知，
∵，
∴，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：B．
【分析】先利用两条角平分线和平行线的条件推导出∠ADB=90°，判断结论①；再通过证明△ADC≌△ADB得到DB=DC，判断结论②；然后分别用两种方法求出ED和FD的表达式，看是否相等，判断结论③；最后构造辅助线DG⊥AB，通过全等三角形把AE和BF都转化为AG和BG的和来判断结论④。 AD平分∠BAC + BC平分∠ABF + BF∥AC 这三个条件组合起来会产生连锁反应。最关键是发现∠CAB + ∠ABF = 180°（同旁内角互补），结合两个角平分线就能推出2∠DAB + 2∠ABC = 180°，即∠DAB + ∠ABD = 90°，从而∠ADB=90°．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将常用的三角板如图所示放置，其中，C点为边所在直线上一定点（点C在点O的左边），点D为直线上一动点（不与C、B重合），平分，平分．若，则　 　．（用含α的式子表示）
【答案】或或
【解析】【解答】解：①D在C的左边时，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
②D在之间时，
与①同理得，
∵，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
③D在B右边时，
在中，，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
故答案为：或或．
【分析】根据D所在的位置分情况讨论，即当D在C的左边时，当D在之间时，当D在B右边时，分别计算出∠FDC的值即可得到答案.
12．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD=25，DE=17，则BE=　 　
【答案】8
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△CBE和△ACD中， ，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴BE=CD，CE=AD=25，
∵DE=17，
∴CD=CE﹣DE=AD﹣DE=25﹣17=8，
∴BE=CD=8；
故答案为：8．
【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE=AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．
13．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　
【答案】50
【解析】【解答】解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH ∠FED=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90° ∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG △EFA≌△ABG
∴AF=BG，AG=EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故答案为50．
【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明 △EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG，故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
14．若 ， 是 的中线，则 的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：延长 到 ，使 ，连接 ．
是 的中线，
．
在 和 中，
，
，
．
，
．
， ，
，
故答案是： ．
【分析】利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系求解即可。
15．如图，，，，则　 　°．
【答案】25
【解析】【解答】解：∵，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
∵AC＝AC，，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵，
∴∠DAC＝∠BAD＝65°，
∴90°－∠DAC＝25°．
故答案为：25．
【分析】先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC，可得∠DAC＝∠BAC，再求出∠DAC＝∠BAD＝65°，最后利用三角形的内角和求出90°－∠DAC＝25°即可。
16．如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是　 　.
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
≌；
（2）解：≌，
，
．
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质
（1）由平行线的性质可知：∠B=∠ECD，结合已知条件，可通过SAS证得△ABC≌△DCE即可证得结论；
（2）由全等三角形的性质，全等三角形对应边相等可知：AB=CD=8，由线段的和差可知：BC=BD-CD代入即可得出答案.
18．如图，已知直线与相交于点O，平分，．
（1）求的度数．
（2）若直线，求的度数．
【答案】（1）解：∵，∠AOE+∠BOE=180°，
∴，
∵平分，
∴；
∴∠AOC=∠BOD=27°.
答：∠AOC的度数为27°.
（2）解：如图，
当时，
，
由（1）得，
∴，
同理当时，
可得，
综上可得，的度数为或．
答：∠DOF的度数为或.
【解析】【分析】
（1）根据邻补角的性质“邻补角互补”可求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，再根据对顶角相等即可求解；
（2）分两种情况“①当OF在∠AOE的内部，②当OF在∠BOC的内部”讨论并结合角的和差即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：如图，
当时，
，
由（1）得，
∴，
同理当时，
可得，
综上，的度数为或．
19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD=∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上.
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度数．
【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∵∠B＝∠D，AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（ASA）.
∴BC＝DE；
（2）解：在△APB中，∠APC是外角，
∴∠BAD＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝40°．
【解析】【分析】 (1)根据ASA证明△ABC≌△ADE即可得到BC＝DE.
(2)根据三角形的外角性质和全等三角形的性质即可求解.
20．如图，直线相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：因为，平分，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以．
因为平分，
所以，
所以．
【解析】【分析】（1）由平分，得到，结合，即可求解；
（2）由邻补角互补，得到，根据，求得，再由平分，得到，结合，即可求解.
（1）解：因为，平分，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以．
因为平分，
所以，
所以．
21．已知，AO⊥BC于点O， CD平分∠ACB， 交AO于点 D.
（1）如图1， 若AC=BC，∠CAO=50°， 则∠DBC=　 　°；
（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE，AC+CE=10，AD=DE，求CO的长；
【答案】（1）50
（2）过点 D作 DN⊥AC于点 N，如图2所示：
∵AD=DE，
∴AN=EN，
∴AE=AN+EN=2EN，
∴AC=CE+AE=CE+2EN，
∴AC+CE=CE+2EN+CE=2(CE+EN)=2CN，
又∵AC+CE=10，
∴2CN=10，
∴CN=5，
∵CD平分∠ACB，AO⊥BC 于点O，DN⊥AC 于点 N，
∴∠COD=∠CND=90°， DO=DN，
在Rt△CDO和 Rt△CDN中，
DO=DN，CD=CD
∴Rt△CDN≌Rt△CDO(HL)，
∴CO=CN=5
【解析】【解答】 （1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD和△BCD中，
AC=BC，
∠ACD=∠BCD，
CD=CD，
∴△ACD≌△BCD，
∴∠CAO=∠CBD=50°，
故答案为：50.
【分析】 （1）根据CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，进而依据“SAS”判定△ACD和△BCD全等即可；
（2）过点D作DN⊥AC于点N，根据AD=DE得AE=2EN，再根据AC+CE=10得CN=5，由角平分线性质得DO=DN，进而依据“HL”判定Rt△CDO和Rt△CDN全等得CO=CN=5.
22．已知：点O在直线AB上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
（1）若OC⊥AB于点O，如图1，直接写出∠DOE的度数为　 　；OD与OE的位置关系是　 　；
（2）若OC与AB不垂直，如图2，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明你的猜想是正确的；若不成立，请说明理由；
（3）如图2，若∠AOD＝40°，请你利用（2）中得到的结论，求∠BOE的度数．
【答案】（1）90°；垂直
（2）解：成立.
理由是：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
∴∠COD＝ ∠AOC，∠COE＝ ∠BOC
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝ (∠AOC＋∠BOC)
＝ ×180°＝90° ∴OD⊥OE
（3）解：∵∠AOD=40°，
∴∠BOE＝180°－∠AOD－∠DOE＝50°
【解析】【解答】解：（1）∵CO⊥AB于点O，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD= ∠AOC=45°，∠COE= ∠BOC=45°，
∴∠DOE=45°+45°=90°，
∴OD⊥OE．
故答案为：90°，垂直；
【分析】（1）根据角平分线性质，得出角的度数以及位置关系。（2）根据角平分线的性质化简∠DOE的结果，发现与OC的位置关系无关，所以结论仍成立。（3）根据（2）的结论代入，求解∠BOE。
23．已知，，点P是射线上的一个动点．
（1）如图1，连接，若，，求证：；
（2）如图1，连接，若，，则是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图2，连接，若，，，射线平分，射线平分，射线与射线相交于点Q，则的度数为　 　．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：成立，证明如下：
延长CA，过点B作BR⊥CA的延长线，垂足为R；
延长MD，过点E作ET⊥MD的延长线，垂足为T，
证明：∵，
∴，
∵的延长线，垂足为R，的延长线，垂足为T，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）或
【解析】【解答】解：（3）以点E为圆心，以BC为半径画弧交DM与点P、P'，
显然，和不全等，
由，得，
又∵，
∴，
∵射线QD平分，射线PQ平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】（1）借助HL定理证明三角形全等；
（2）利用AAS证明△ABR≌△DET，得出RB=TE，接着利用HL定理证明Rt△RCB≌Rt△TPE，得∠C=∠EPD，然后利用AAS证明△ABC≌△DEP；
（3）通过作图，得出有 ∠DQP和∠DQ'P'两种情形，分别计算求解.
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