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第二十六章 二次函数 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝-2（x-2）2-5的顶点坐标是（　　）
A．（-2，5） B．（2，5） C．（-2，-5） D．（2，-5）
2．二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过，两点，当p为大于0的常数时，关于x 的一元二次方程的根是整数，则p的可能取值的个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．已知某二次函数上两点，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A． B． C． D．
4．已知二次函数 的图象与 轴只有一个公共点， 则 的值为（　　）
A．4 B．2 C．0 D．-4
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5
C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（　　）
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝1.5 D．x＝2
7．设二次函数（k，c为实数）的图象过点，，三点，且，，，下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，a﹣b﹣c，b+c﹣a，﹣这几个式子中，值为正数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：
… …
… …
则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知抛物线图像的一部分，对称轴是直线且过点，下列关系中正确个数（　　）
①；
②；
③若方程有两个不相等的实数根，则；
④；
⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果抛物线 经过原点，那么该抛物线的开口方向　 　．（填“向上”或“向下”）
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是　 　秒.
13． 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式　 　.
14．拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB=16m，拱顶O到水面的距离为8m，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是　 　
15． 若数使得关于的分式方程有正整数解，且使关于的二次函数在直线右侧，随增大而增大，那么满足以上所有条件的整数的和为 　 　 ．
16．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a　 　0．（填“＜”或“＞”）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题.若校园空地上有一面墙(长度12m)，用22m长的篱笆围一个矩形菜园.
（1）如图①，兴趣小组利用墙(不超过墙长)和22 m长的篱笆围出矩形菜园ABCD.设CD=x m，矩形菜园的面积为 S m2.回答下列问题：
①BC= ▲ m；(用含x 的代数式表示)
②若矩形菜园的面积为56 m2，则 AB 的长为多少米
（2）矩形菜园的面积能否超过 56 m2 如果能，请在图②中画出矩形菜园面积最大的方案示意图(标注边长).
18．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润销售价进货价）
(1) 求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少．
19．已知二次函数y=(x+1)(x+3k)．
（1）若当x=2时，该函数有最小值，求k的值．
（2）若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值．
（3）若k≥1，当x≥m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4a（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求AB的长；
（2）若以A、B、C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包括边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
21．某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出10件．已知商品的进价为每件50元．
（1）若每件降价x元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件（用含x的式子表示）；
（2）若每周可获利y元，求y与x的函数关系式；
（3）售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润．
22．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，设米时，鸡舍面积为平方米．
（1）求关于的函数表达式及的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
（3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？
23．如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm现计划将此余料进行切割：
（1）如图1，以AB的中点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；
（2）工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘AB上，这块余料能否满足工人的需求 如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；
（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（4）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长﹖请直接写出拼接后的矩形的长边长(结果保留根号)．注意：思考中可能会用到的数据.
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第二十六章 二次函数 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝-2（x-2）2-5的顶点坐标是（　　）
A．（-2，5） B．（2，5） C．（-2，-5） D．（2，-5）
【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线y=-2（x-2）2-5的顶点坐标是（2，-5）.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的顶点坐标即可求解.
2．二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过，两点，当p为大于0的常数时，关于x 的一元二次方程的根是整数，则p的可能取值的个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过，两点，
∴当时，，抛物线的对称轴为直线，
∵当p为大于0的常数时，关于x 的一元二次方程的根是整数，
∴整数根为，或，或，
∴p的可能取值的个数是3个，
故选：A．
【分析】根据二次函数的图象和性质得出当时，，抛物线的对称轴为直线，再结合题意得出整数根为，或，或，即可得出答案．
3．已知某二次函数上两点，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，
当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大．
∵当时，；
∴．
∴．
∴当时，y随x的增大而增大．
∵当时，，
∴
∴
∴当时，y随x的增大而减小．
∴抛物线的对称轴为，开口向上，即二次项系数为正，
观察选项只有B符合，
故选：B．
【分析】结合题干给出的条件，利用二次函数的图象与性质就可以完成分析判断.
4．已知二次函数 的图象与 轴只有一个公共点， 则 的值为（　　）
A．4 B．2 C．0 D．-4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 的图象与 轴只有一个公共点，
∴b2-4ac=0即16-4m=0
解之：m=4.
故答案为：A.
【分析】利用已知二次函数与x轴只有一个交点，可得到b2-4ac=0，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5
C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
【答案】D
【解析】【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜﹣1或x＞5，
故答案为：D．
【分析】先根据图象求出抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），再利用数形结合得出不等式的解集．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（　　）
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝1.5 D．x＝2
【答案】C
【解析】【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝ ，即x＝1.5，
故答案为：C.
【分析】由表可知当x＝0和x＝3时，y＝3，根据抛物线的对称轴的计算公式可得该抛物线的对称轴是直线x＝ ，即x＝1.5.
7．设二次函数（k，c为实数）的图象过点，，三点，且，，，下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数y=kx2-4kx+c，
∴对称轴为，
∵x3∴设点A、B、C到对称轴的距离为d，n，m，x1，x3互为相反数
∴d∵x1+x2>4，x2<2∴d>n
当k<0时，函数的开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大
∴y1>y2>y3，故C选项是正确的；
当k>0时，函数的开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，
∴y2>y1>y3，
故ABD三个选项是错误的，
故答案为：C.
【分析】先得出对称轴x=2，结合x3n，再进行分类讨论，即可作答.
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，a﹣b﹣c，b+c﹣a，﹣这几个式子中，值为正数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，a﹣b﹣c＞0，b+c﹣a＜0
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故选A．
【分析】由开口向下得到a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0；又对称轴﹣＞0可以判定abc，a﹣b﹣c，b+c﹣a，﹣的符号；
9．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：
… …
… …
则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由表格可得二次函数经过，，
∴二次函数的对称轴为，
又∵二次函数经过，
设的关于的对称性点为，
∴，
解得 ，
即二次函数经过，
将代入中，
可得，
故答案为：A.
【分析】根据表格信息可知二次函数经过，，得对称轴，再根据二次函数的对称性可求出点关于的对称性点，再将其代入函数解析式，即可求出．
10．已知抛物线图像的一部分，对称轴是直线且过点，下列关系中正确个数（　　）
①；
②；
③若方程有两个不相等的实数根，则；
④；
⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过，且对称轴为直线，
∴图象过，
∴；故②正确；
由图象可知：当时，函数有最大值为，
∴当方程有两个不相等的实数根时，，故③错误；
∴故④错误；
∵，
∴，
∴，故⑤错误；
综上正确的有2个．
故选：A.
【分析】 结合函数图象提取已知条件，结合二次函数图象与系数的对应关系、函数最值、特殊点坐标等核心性质，逐项验证各选项正误.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果抛物线 经过原点，那么该抛物线的开口方向　 　．（填“向上”或“向下”）
【答案】向上
【解析】【解答】解： 抛物线 经过原点，
在抛物线上，
抛物线为：
由 ＞
抛物线的开口向上．
故答案为：向上．
【分析】把原点 代入函数解析式，先求解抛物线的解析式 ，再根据 的值判断开口方向即可得到答案．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是　 　秒.
【答案】20
【解析】【解答】 解：由题意得，
s＝60t 1.5t2
＝ 1.5（t2 40t＋400 400）
＝ 1.5（t 20）2＋600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20.
【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值，将函数解析式化为顶点式，进而可得S最大时对应的t的值.
13． 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：设销售单价降低x元，
则y=(125-x-70)(75+5x)=-5x2+200x+4125，
故答案为：.
【分析】设销售单价降低x元，根据利润=单件利润×销售量列函数关系式解题即可.
14．拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB=16m，拱顶O到水面的距离为8m，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是　 　
【答案】y=﹣x2
【解析】【解答】解：（1）设这条抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．由已知抛物线经过点B（8，﹣8），
可得﹣8=a×82，有a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2．
故答案为：y=﹣x2．
【分析】设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解析式．
15． 若数使得关于的分式方程有正整数解，且使关于的二次函数在直线右侧，随增大而增大，那么满足以上所有条件的整数的和为 　 　 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：解分式方程得x=4-a
∵分式方程有正整数解
∴4-a>0，且4-a≠1
∵关于的二次函数在直线右侧，随增大而增大
∴符合条件得所有整数解a有：0，1，2，其和为：0+1+2=3
故答案为：3.
【分析】解分式方程，求出符合条件的a的值，根据二次函数的性质，求出a的取值范围，即可求出符合条件的a的值 ，即可求出答案。
16．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a　 　0．（填“＜”或“＞”）
【答案】
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴函数图象的开口向上，
∴a＞0，
故答案为：＞．
【分析】先求出函数图象的开口向上，再求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题.若校园空地上有一面墙(长度12m)，用22m长的篱笆围一个矩形菜园.
（1）如图①，兴趣小组利用墙(不超过墙长)和22 m长的篱笆围出矩形菜园ABCD.设CD=x m，矩形菜园的面积为 S m2.回答下列问题：
①BC= ▲ m；(用含x 的代数式表示)
②若矩形菜园的面积为56 m2，则 AB 的长为多少米
（2）矩形菜园的面积能否超过 56 m2 如果能，请在图②中画出矩形菜园面积最大的方案示意图(标注边长).
【答案】（1）解：①(22-2x)
②根据题意，得x(22-2x)=56.
整理，得
解得
∵0<22-2x≤12，∴5≤x<11，
∴x=7，∴AB=7 m.
故 AB 的长为7 m.
（2）解：由题意，得 60.5.
∵-2<0，
∴当x=5.5时，S有最大值，最大值为60.5，此时AB=5.5m ，BC=22-2×5.5=11(m).
故矩形菜园的面积能超过56 m2，矩形菜园面积最大的方案示意图
如图：
【解析】【解答】解： (1) ① 篱笆总长22m，CD=x m，矩形的长AB=CD=x，则宽BC=22-2x（篱笆围了AB，BC，CD三边），故BC=(22-2x) m.
故答案为：(22-2x).
【分析】(1) ①利用“篱笆长度=矩形两边长+一边宽”的关系，直接用含x的代数式表示BC；
②先根据面积公式列方程；求解后结合墙长的限制条件筛选出符合要求的解，即可得到AB的长度；
(2)将面积表示为二次函数，通过配方法化为顶点式，结合开口方向确定最大值；再验证是否符合墙长限制，得到最大面积的方案．
18．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润销售价进货价）
(1) 求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少．
【答案】解：（1）由题意得：y=29-25-x，
∴
（2）=－8x2+24x+32；
（3）
∵a=-8＜0
当时，
当定价为万元时，有最大利润，最大利润为50万元．
【解析】【分析】（1）根据每辆汽车的销售利润为y=售价-进货价-降低的价格可求解；
（2）这种汽车平均每周的销售利润z=销售利润×这种车的销售量可求解；
（3）将（2）中的解析式配成顶点式，并结合二次函数的性质即可求解.
19．已知二次函数y=(x+1)(x+3k)．
（1）若当x=2时，该函数有最小值，求k的值．
（2）若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值．
（3）若k≥1，当x≥m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．
【答案】（1）解：y=x2+(3k+1)x+3k，
∵a=1>0，
∴当x=时，y有最小值，
即=2，解得k=
（2）解：将二次函数的图象向上平移4个单位后所得的抛物线表达式为y=x2+(3k+1)x+3k+4．
根据题意得(3k+1)-4(3k+4)=0，
解得k1=-1，k2=
∴k的值为-1或．
（3）解：抛物线y=x2+(3k+1)x+3k的对称轴为直线x=
∵k≥1，∴抛物线的对称轴在直线x=-2的左侧(或对称轴为直线x=-2)．
∵抛物线开口向上，
∴当x≥-2时，y随着x的增大而增大，
∴m可以取0．
【解析】【分析】
（1）把解析式化为一般式，再根据顶点横坐标公式列方程求出k即可。
（2） 二次函数的图象与x轴只有一个交点则根的判别式等于0，由此列方程可求出k.
（3）先求出k≥1时，对称轴的位置，得出y随着x的增大而增大时x的范围，从而确定m的范围。
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4a（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求AB的长；
（2）若以A、B、C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包括边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：令y＝0，则ax2﹣4a＝0，即a（x+2）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣2，则A（﹣2，0），B（2，0），
∴AB＝4；
（2）解：∵y＝ax2﹣4a（a≠0），
∴抛物线的对称轴为y轴，顶点C的坐标为（0，﹣4a），
∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴点A，点B关于y轴对称，则OA＝OB，
∵点C（0，﹣4a）在y轴上，
∴当△ABC为直角三角形时，∠ACB＝90°，
∴，
即﹣4a＝±2，
解得：；
（3）或
【解析】【解答】解：（3）如图1，
（a）当a＞0时，
①当时，抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣1），
抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内没有整点．
②当时，抛物线的顶点C的坐标为，
，
解得：x1＝﹣1，x2＝1，抛物线经过点（﹣1，﹣1），（1，﹣1），
抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内恰有1个整点．
则当时，抛物线在前两者之间，也恰有1个整点，
∴；
同理，如图2，
（b）当a＜0时，；
综上，或．
【分析】（1）将y=0代入 y＝ax2﹣4a 可得 a（x+2）（x﹣2）＝0， 再求出x的值，即可得到点A、B的坐标，再求出AB的长即可；
（2）结合当△ABC为直角三角形时，∠ACB＝90°，可得，即﹣4a＝±2，再求出a的值即可；
（3）分类讨论：（a）当a＞0时，①当时，抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣1），②当时，抛物线的顶点C的坐标为，（b）当a＜0时，再分别画出图象并求解即可.
21．某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出10件．已知商品的进价为每件50元．
（1）若每件降价x元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件（用含x的式子表示）；
（2）若每周可获利y元，求y与x的函数关系式；
（3）售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1），
（2）解：
即
（3）解：∵
∴当时，最大利润为元，
即售价为元时，最大利润为元，
【解析】【解答】（1）解：若每件降价x元，单件商品的利润为（元），
每星期的销售量为件。
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意列出代数式即可.
（2）根据题意列出函数解析式即可.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：若每件降价x元，单件商品的利润为（元），
每星期的销售量为件。
故答案为：，；
（2）解：
即
（3）∵
∴当时，最大利润为元，
即售价为元时，最大利润为元，
22．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，设米时，鸡舍面积为平方米．
（1）求关于的函数表达式及的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
（3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？
【答案】（1）解：设AB=x米，鸡舍面积为平方米
由题意可得，
∵27+1-2x>0
∴x<14
∴x的取值范围为1≤x<14
（2）解：由题意可得：
解得：x=5或x=9
（3）解：由题意可得：
整理得：
∵
∴该方程无实数根
∴鸡舍面积不能达到100平方米
【解析】【分析】（1）设AB=x米，鸡舍面积为平方米，根据矩形面积建立表达式即可.
（2）将S=90代入表达式，解方程即可求出答案.
（3）将S=100代入表达式，根据判别式，可得方程无实数根，即可求出答案.
23．如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm现计划将此余料进行切割：
（1）如图1，以AB的中点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；
（2）工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘AB上，这块余料能否满足工人的需求 如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；
（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（4）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长﹖请直接写出拼接后的矩形的长边长(结果保留根号)．注意：思考中可能会用到的数据.
【答案】（1）解：如图所示，
以的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，
∵AB=12，OC=9，
则，，，
抛物线对称轴为，顶点为，
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
抛物线解析式为．
（2）解：不能满足工人的需求，理由如下，
若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，
则，，，
将代入，
有，
故不能满足要求．
（3）解：按如图所示进行切割矩形，
设，则，
将代入，得，
则，
矩形周长为：，
当时，矩形的周长最大，最大周长为．
（4）解：拼接后矩形的长最长为
【解析】【解答】解：（4）切割方案1如图所示，
∵木料最大高度为，故如图切成宽为的矩形有4块，
当，即，解得，对应矩形长，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
当，即，解得，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
切割方案2，如图所示，切成宽为的矩形有5块，
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为．
切割方案3，如图所示，切成宽为的矩形有4块
根据题意，当时，，对应矩形长为，
当时，，对应矩形长为，
根据对称性，可得当时，对应矩形长为，
当时，对应矩形长为，
拼接后的矩形的长边长为 ．
综上所述，方案1切割拼接后的矩形的长边最长，为 ．
【分析】（1）由于抛物线对称轴为，顶点为，设抛物线解析式为，将代入得即可求解；
（2）若按题目要求切割边长为的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图所示切割，则，，，求出时的纵坐标即可求解；
（3）如图所示矩形，设，则，再用含有t的表达式表示出矩形的周长，得到关于t的二次函数，再求其最值即可求解.
（4）分3种切割方案：①从AB边开始往上以2dm为宽依次切割木块；②以y轴为对称轴切割一个矩形，矩形左右两边与x轴的交点横坐标分别为1-和1，再依次向左右以2dm为宽切木块；③从y轴开始一次向左右以2dm为宽切木块；分别计算拼接后的矩形的长边长，并进行比较，即可求解．
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