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有理数的运算 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“十三五”时期，贺州市共有贫困人口29.35万人，若将29.35万用科学记数法记为2.935×10n，则n等于为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2． 如果，那么m的值不能取（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016的值等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．1008
4．在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起，根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破110000000次，数据“110000000”用科学记数法表示为（　　）
A．1.1x107 B．11x107 C．11x108 D．1.1x108
5．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.050（精确到0.01） D．0.0502（精确到0.0001）
6．若，则的值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．－2
7．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是到原点的距离等于2的负数，d是最大的负整数，则a－b－c + d的值为（　　）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
8．下列计算错误的是（　　）
A．0.14＝0.0001 B．3÷9×（－ ）＝－3
C．8÷（－ ）＝－32 D．3×23＝24
9．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和.如：，，.……仿此，若的“分裂数”中有一个是281，则（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
10．有理数 ， ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　）
① ；② ；③ ；④ .
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小超同学在计算30+A时，误将“+”看成了“﹣”算出结果为12，则正确答案应该为　 　
12．计算： =　 　．
13．一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则售价降了　 　元.
14．从，，0，3，5中任取三个数相乘，最大的值是　 　．
15．已知|a+3|+|b﹣1|=0，则ab的值是　 　．
16．某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．
说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；
②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款
小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付　 　元；
若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
18．计算
（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15；
（2）（﹣3 ）﹣（﹣5 ）+（﹣4 ）+（+6 ）；
（3）（﹣6）÷（﹣3 ）×（﹣4 ）；
（4）（ ）×|﹣24|.
19．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
（1）根据记录可知前三天共生产　 　辆；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　辆；
（3）该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
20．某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：万元）
月份 一月 二月 三月
收入 32 48 50
支出 12 13 10
请问：（1）该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？
（2）如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？
（3）该公司第一季度利润为多少万元？
21．2024年国庆节期间，某野生动物园在7天假期中，每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）如表：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化/万人
（1）请判断七天内游客人数最多的是______日，最少的是______日，它们相差______万人？
（2）若9月30日的游客人数为2万人，求这7天的游客总人数是多少万人？
22．（1）已知，，且，求的值．
（2）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于，求式子：的值．
23．金华轨道交通金义东线金义段西起金华站，东至秦塘站，16个站点如图所示．某天，小华在轻轨各站点做志愿者服务，他从金华南站开始乘坐轻轨，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束．若规定向秦塘站方向为正，小华当天乘车记录如下：，，，，，，，（单位：站）
（1）请通过计算说明A站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均路程约为3.6千米，求这次小华乘坐轻轨行进的总路程约是多少千米？
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有理数的运算 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“十三五”时期，贺州市共有贫困人口29.35万人，若将29.35万用科学记数法记为2.935×10n，则n等于为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：将29.35万转化成293500，然后用科学记数法表示2.935×105
故答案为： C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
2． 如果，那么m的值不能取（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：当 时， 则A不符合题意，
当 时， 则B符合题意，
当 时， 则C不符合题意，
当 时， 则D不符合题意，
故答案为： B.
【分析】将各数代入原式计算后进行判断即可.
3．﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016的值等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．1008
【答案】D
【解析】【解答】解：原式=2﹣1+4﹣3+…+2016﹣2015
=1×1008
=1008，
故选：D．
【分析】根据加法的交换律把原式变形，计算即可．
4．在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起，根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破110000000次，数据“110000000”用科学记数法表示为（　　）
A．1.1x107 B．11x107 C．11x108 D．1.1x108
【答案】D
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
5．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.050（精确到0.01） D．0.0502（精确到0.0001）
【答案】C
【解析】【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以A选项正确；
B、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以B选项正确；
C、0.05019≈0.05（精确到0.01），所以C选项错误；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以D选项正确．
故选：C．
【分析】根据近似数的精确度把0.05019精确到0.1得到0.1，精确度千分位得0.050，精确到百分位得0.05，精确到0.0001得0.0502，然后依次进行判断．
6．若，则的值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．－2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
①当m、n同号时，原式或原式；
②当m、n异号时，原式，
故的值不可能是1，
故答案为：B
【分析】根据，分两种情况进行讨论：①m、n同号；②m、n异号；然后根据绝对值的性质进行化简即可求出答案.
7．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是到原点的距离等于2的负数，d是最大的负整数，则a－b－c + d的值为（　　）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是到原点的距离等于2的负数，d是最大的负整数，
∴a=1；b=0；c=-2；d=-1
∴a－b－c + d=1-0-（-2）+（-1）=1-0+2-1=2
故答案为：B.
【分析】 由已知条件分别求得a，b，c，d的值，再代入所求代数式计算即可求解．
8．下列计算错误的是（　　）
A．0.14＝0.0001 B．3÷9×（－ ）＝－3
C．8÷（－ ）＝－32 D．3×23＝24
【答案】B
【解析】【解答】A、C、D中的计算均是正确的．
B、3÷9×（- ）= ×（- ）=- ≠-3．
故答案为：B．
【分析】先将各小题分别计算，即可求出答案。
9．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和.如：，，.……仿此，若的“分裂数”中有一个是281，则（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，.……
∴m3分裂后的第一个数是m(m-1)+1，共m个奇数，
∵17×（17-1）+1=273， 18×（18-1）+1=307，
∴若的“分裂数”中有一个是281，则m=17，
故答案为：B.
【分析】观察规律，分裂成的数均为奇数，且个数就是底数，且第一个数=底数×（底数-1）+1，再据此判断281所在的范围即可。
10．有理数 ， ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　）
① ；② ；③ ；④ .
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵由数轴可得：b＜c＜0＜a，|b|＞|c|＞|a|
∴abc＞0，①错误；
a-b+c＞0，②错误；
=1-1-1=-1，③错误；
=a-b-(-b-c)+a-c=a-b+b+c+a-c=2a，④正确.
综上，正确的个数为1个.
故答案为：D.
【分析】由数轴可得：b＜c＜0＜a，|b|＞|c|＞|a|，据此并根据有理数的乘法、有理数的加减、绝对值的性质分别进行计算，然后判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小超同学在计算30+A时，误将“+”看成了“﹣”算出结果为12，则正确答案应该为　 　
【答案】48
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
∴原式为：
故答案为：48.【分析】根据题意得：据此求出A的值，进而代入计算即可.
12．计算： =　 　．
【答案】-36
【解析】【解答】原式
=-36，
故答案为： -36 ．
【分析】利用有理数加减法的结合律求解即可。
13．一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则售价降了　 　元.
【答案】24
【解析】【解答】解：元，
.
故答案为：24.
【分析】根据售价=原价乘以折扣率及原价-售价就可求出降低的价格.
14．从，，0，3，5中任取三个数相乘，最大的值是　 　．
【答案】30
【解析】【解答】解：由题意得，，0×3×5=0，0<30，
最大的值是30.
故答案为：30．
【分析】根据乘积最大，可知三个数同正，且依次取最大的数；或有两个负数，依次取绝对值最大的三个数；根据有理数的乘法法则进行计算，再进行有理数的大小比较即可求解．
15．已知|a+3|+|b﹣1|=0，则ab的值是　 　．
【答案】-3
【解析】【解答】解：由题意得，a+3=0，b﹣1=0，
解得a=﹣3，b=1，
所以，ab=（﹣3）×1=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
16．某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．
说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；
②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款
小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付　 　元；
若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是　 　．
【答案】160；x≥250
【解析】【解答】解：∵若购买标价总额为220元的甜品，
∴若先参加“满减”活动再享八折优惠的方式付款，则需付款（元），
若按享八折优惠的方式付款，则需付款（元），，不再参加“满减”活动，则实际付款为176元；
最少需支付160元；
设购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款，根据题意得，，解得x≥250，
故答案为：；x≥250
【分析】根据题意列出算式求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：原式
.
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减法法则从左至右依次进行计算，可求出结果；
（2）先算乘方运算，同时利用有理数的乘法法则进行计算，再利用异号两数相除的法则，进行除法运算，然后利用有理数的减法法则进行，可求出结果；
（3）利用乘法分配律先去括号，再利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果；
（4）先算乘方运算，同时算括号里的运算，然后利用有理数的乘法法则进行计算，最后利用有理数的减法法则计算，可求出结果.
18．计算
（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15；
（2）（﹣3 ）﹣（﹣5 ）+（﹣4 ）+（+6 ）；
（3）（﹣6）÷（﹣3 ）×（﹣4 ）；
（4）（ ）×|﹣24|.
【答案】（1）解：原式＝12＋18﹣7﹣15＝8；
（2）解：原式＝（﹣3 ）＋（﹣4 ）＋5 ＋（＋6 ）＝－8＋12＝4；
（3）解：原式＝（﹣6） ×（﹣ ）＝－7；
（4）解：原式＝ .
【解析】【分析】（1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可求解；
（2）根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，再利用加法的交换律和结合律把同分母的分数相加可求解；
（3）根据除法的意义“除以一个数等于乘以这个数的倒数”可将除法转化为乘法，同时将带分数转化为假分数，再根据有理数的乘法法则计算即可求解；
（4）由绝对值的意义先去绝对值，再根据乘法分配律计算即可求解.
19．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
（1）根据记录可知前三天共生产　 　辆；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　辆；
（3）该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】（1）599
（2）23
（3）解：5-2-4+13-10+6-9=-1（辆）
（1400-1）×60+（5-2-4+13-10+6-9）×15=83925（元）
【解析】【解答】解：⑴200×3+5-2-4=599（辆）
⑵13-（-10）=23（辆）
【分析】（1）将表中前三天的数值进行相加，然后再加上三天的平均产量即可；
（2）将表中一周的产量进行比较，观察可知+13最大，-10最小，最大值减去最小值即可求得；
（3）将表中一周的产值进行相加，然后再加上计划的产量，按题目中的已知条件即可求得工资总额。
20．某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：万元）
月份 一月 二月 三月
收入 32 48 50
支出 12 13 10
请问：（1）该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？
（2）如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？
（3）该公司第一季度利润为多少万元？
【答案】解：（1）∵收入=32+48+50=130，支出=12+13+10=35，
∴该公司今年第一季度总收入130万，总支出35万，
答：该公司今年第一季度总收入与总支出各为130万元，35万元．
（2）∵如果收入用正数表示，
∴支出则用负数表示，
∴总收入+130万，总支出﹣35万，
答：如果收入用正数表示，则总收入与总支出应表示为+130万，﹣35万．
（3）∵利润=收入﹣支出，
∴利润=+130﹣35=95，
答：该公司第一季度利润为95万元．
【解析】【分析】此题为应用题，分析提干，第一季度总收入等于一月份收入加二月份收入加上三月份收入，支出也同理，故得收入=32+48+50=130，支出=12+13+10=35，如果收入用正数表示，支出则用负数表示，故总收入+130万，总支出﹣35万，利润=收入﹣支出，利润=+130﹣35=95．
21．2024年国庆节期间，某野生动物园在7天假期中，每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）如表：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化/万人
（1）请判断七天内游客人数最多的是______日，最少的是______日，它们相差______万人？
（2）若9月30日的游客人数为2万人，求这7天的游客总人数是多少万人？
【答案】（1）3，7，2.5
（2）解：这七天的游客人数分别为：
1日：（万人）
2日：（万人）
3日：（万人）
4日：（万人）
5日：（万人）
6日：（万人）
7日：（万人）
总人数：（万人）
答：这7天的游客总人数是26.8万人．
【解析】【解答】（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是：
1日：（万人）
2日：（万人）
3日：（万人）
4日：（万人）
5日：（万人）
6日：（万人）
7日：（万人），
游客人数最多的是3日，最少的是7日，它们相差万人；
故答案为：3，7，2.5.
【分析】（1）根据表格中的数据分别求出每一天的游客人数，可得最多和最少的人数，最后作差即可；
（2）根据表格中的数据分别求出每一天的游客人数，再相加即可.
（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是：
1日：（万人）
2日：（万人）
3日：（万人）
4日：（万人）
5日：（万人）
6日：（万人）
7日：（万人），
游客人数最多的是3日，最少的是7日，它们相差万人；
（2）这七天的游客人数分别为
1日：（万人）
2日：（万人）
3日：（万人）
4日：（万人）
5日：（万人）
6日：（万人）
7日：（万人）
总人数：（万人）
答：这7天的游客总人数是26.8万人．
22．（1）已知，，且，求的值．
（2）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于，求式子：的值．
【答案】解：（1）∵，，∴，，
∵，
∴，
∴，，
当，时，，
当，时，，
由上可得，的值是或；
（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于2，
∴，，，
∴当时，；
当时，．
综上所述，代数式的值为1或．
【解析】【分析】（1）根据，，且，可以得到a、b的值，然后代入所求式子计算即可；
（2）根据互为相反数的两个数的和等于0可得，互为倒数的两个数的乘积等于1可得cd=1，再根据绝对值得性质求出，然后代入代数式进行计算即可得解.
23．金华轨道交通金义东线金义段西起金华站，东至秦塘站，16个站点如图所示．某天，小华在轻轨各站点做志愿者服务，他从金华南站开始乘坐轻轨，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束．若规定向秦塘站方向为正，小华当天乘车记录如下：，，，，，，，（单位：站）
（1）请通过计算说明A站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均路程约为3.6千米，求这次小华乘坐轻轨行进的总路程约是多少千米？
【答案】（1）解：，
规定向秦塘站方向为正，则站是新区站；
（2）解：
（千米），
即这次小华志愿服务期间乘坐轻轨行进的总路程约是162千米．
【解析】【分析】
（1）直接利用有理数的加法运算法则计算即可；
（2）求总路程实质是求绝对值的和．
（1）解：，
规定向秦塘站方向为正，则站是新区站；
（2）解：
（千米），
即这次小华志愿服务期间乘坐轻轨行进的总路程约是162千米．
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