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实数 单元全真模拟培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算： 的结果是（　　）
A．1 B． C．0 D．-1
2．下列各数是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 介于两个连接整数（　　）之间．
A．27和29 B．3和5 C．4和5 D．5和6
4．已知：，且a，b为两个连续的整数，则（　　）
A． B． C． D．
5． 已知，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，实数在数轴上表示时，位于哪两个字母之间（　　）
A．A与E B．A与B C．B与C D．C与D
7．已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，则这个正数为（　　）
A．4 B．±7 C．﹣7 D．49
8．下列命题中，正确的是（　　）
A．两个无理数的和是无理数
B．两个无理数的积是实数
C．无理数是开方开不尽的数
D．两个有理数的商有可能是无理数
9．已知 、 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）．
A． B． C． D．
10．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算：(π+1)0+| -2|-( )-2=　 　
12．已知和是一个正数的平方根，则这个正数为　 　．
13．计算： 　 　．
14．若，为实数，且，则的值为　 　．
15．方程 的解是　 　．
16．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）-3+2-（-1）
（2）-22+|-1|+
18．已知的立方根是，的算术平方根是．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
19．把下列各数分别填入相应的集合中：
﹣（+7），，2018，﹣0.10，﹣|﹣5|，0，0.10101000 ，，．
（1）非正整数集合：{ }；
（2）负分数集合：{ }；
（3）无理数集合：{ }．
20． 如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点B所表示的数为m。
（1）实数 m 的值是　 　。
（2）求|m+1|+|m-1||的值。
（3）在数轴上还有 C，D两点分别表示实数c 和d，且有|2c+d|与 互为相反数，求2c-3d的平方根。
21． 如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成。
（1） 图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是　 　，它的边长是　 　；
（2） 如图2所示，点A表示的数是　 　；
（3） 请你在 4×4 的网格中画出一个面积为10的正方形.
22．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，.
（1）仿照以上方法计算：　 　；　 　.
（2）若，写出满足题意的的一个整数值　 　.
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止. 例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1.
（3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1.
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　.
23．如图，数轴上有A．B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）写出A，B两点所表示的实数；
（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数；
（3）若动点P、Q分别从A．B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．
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实数 单元全真模拟培优卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算： 的结果是（　　）
A．1 B． C．0 D．-1
【答案】C
【解析】【解答】解：原式= - =0.
【分析】根据绝对值的意义，二次根式的性质分别化简，再根据有理数的减法法则算出结果。
2．下列各数是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，再对各选项判断即可
3． 介于两个连接整数（　　）之间．
A．27和29 B．3和5 C．4和5 D．5和6
【答案】D
【解析】【解答】解： ＜ ＜
＜ ＜
故答案为：
【分析】由 ＜ ＜ 可得 ＜ ＜ 从而可得答案．
4．已知：，且a，b为两个连续的整数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵
∴
∴
∵，且a，b为两个连续的整数，
∴a=-5，b=-4，
∴a+2b=(-5)+2×(-4)=-13.
故答案为：B.
【分析】本题考查估算无理数得大小，首先利用夹逼法估算无理数d得取值范围，再根据题意而得到a，b得值，最后再计算a+2b得值即可.
5． 已知，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为
故
故C正确，ABD错误。
故答案为：C。
【分析】根据，不等式各项减1，得出结论。
6．如图，实数在数轴上表示时，位于哪两个字母之间（　　）
A．A与E B．A与B C．B与C D．C与D
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴表示的点在数轴上表示时，所在B与C两个字母之间．
故选：C．
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
7．已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，则这个正数为（　　）
A．4 B．±7 C．﹣7 D．49
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，
∴a+3+2a﹣15=0，
解得：a=4，
a+3=7，
则这个正数为49，
故选D．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出a+3+2a﹣15=0，求出a，即可得出答案．
8．下列命题中，正确的是（　　）
A．两个无理数的和是无理数
B．两个无理数的积是实数
C．无理数是开方开不尽的数
D．两个有理数的商有可能是无理数
【答案】D
【解析】【解答】解：两个实数相加的和为有理数。两个无理数的积为有理数，无理数是无限不循环小数。
故答案为：D
【分析】根据无理数的定义，对各选项逐一判断，可解答。
9．已知 、 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】由数轴可知，bA、 ，故A选项不符合题意；
B、a-b>0，故B选项符合题意；
C、ab>0，故C选项不符合题意；
D、 ，故D选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】观察数轴可知b10．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【解析】【解答】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3.
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3.
故答案为：C.
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算：(π+1)0+| -2|-( )-2=　 　
【答案】-1-
【解析】【解答】解：原式=1+2- -4=-1- ．
【分析】利用零指数幂，绝对值，负整数指数幂计算求解即可。
12．已知和是一个正数的平方根，则这个正数为　 　．
【答案】4或
【解析】【解答】解：当
和
是同一个平方根时，
∴，
解得
，
∴；
当
和
是不同的平方根时
解得
，
∴，
∴或
，
故答案为：
或
.
【分析】分两种情况：当
和
是同一个平方根时或当
和
是不同的平方根时，据此分别解答即可.
13．计算： 　 　．
【答案】0
【解析】【解答】解：
=
=0，
故答案为：0．
【分析】利用零指数幂的性质以及乘方的法则进而得出答案．
14．若，为实数，且，则的值为　 　．
【答案】0
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
解得∶，，
∴
故答案为：0．
【分析】本题根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，即可分别确定x和y的值，最后计算即可。
15．方程 的解是　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的计算方法求解即可。
16．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为　 　．
【答案】-22
【解析】【解答】解：∵即时，，此时n=1，2，3，
∴；
∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵，，
∴即时，，
∴=-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，
故答案为：-22．
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）-3+2-（-1）
（2）-22+|-1|+
【答案】（1）解：原式=-3+2+1=0
（2）解：原式=-4+1+3=0
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
（2）先算乘方和开方运算，再利用有理数的加法法则进行计算.
18．已知的立方根是，的算术平方根是．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，
解得
∴，．
（2）解：当，时，，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
【解析】【分析】（1） 一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的平方根；一个数x的立方等于a，这个数x就是a的立方根，据此列出关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值；
（2）将a、b的值代入a+2b按含加减乘除混合运算的运算顺序算出结果，再根据平方根定义“一个数x的平方等于a，这个数x就是a的平方根”算出a+2b的平方根即可.
（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
∴，．
（2）解：当，时，，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
19．把下列各数分别填入相应的集合中：
﹣（+7），，2018，﹣0.10，﹣|﹣5|，0，0.10101000 ，，．
（1）非正整数集合：{ }；
（2）负分数集合：{ }；
（3）无理数集合：{ }．
【答案】（1）非正整数集合：{﹣（+7），﹣|﹣5|，0， }；
（2）负分数集合：{﹣0.10， }；
（3）解： ， ，无理数集合：{0.10101000 ， }．
【解析】【分析】非正整数包含负整数、0，负分数是小于0的分数，无理数是无限不循环小数，据此解答.
20． 如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点B所表示的数为m。
（1）实数 m 的值是　 　。
（2）求|m+1|+|m-1||的值。
（3）在数轴上还有 C，D两点分别表示实数c 和d，且有|2c+d|与 互为相反数，求2c-3d的平方根。
【答案】（1）
（2）解：∵∴m+1>0，m-1<0，
因此|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2。
（3）解：∵∴|2c+d|=0，
解得c=-2，d=4，或c=2，d=-4，
①当c=-2，d=4时，
2c-3d=-16，无平方根。
②当c=2，d=-4时，
2c-3d=16，
∴2c-3d的平方根为±4。
【解析】【解答】解：(1)，即实数m的值是.
故答案为：（1）。
【分析】(1)按平移规则“左减右加”列式即可；
(2)把m代入算式，然后分析出m+1和m-1的正负性，最后去掉绝对值进行计算即可；
（3）根据绝对值的非负性和算数平方根的非负性，并根据 |2c+d|与 互为相反数，即可计算出c和d的值，然后代入计算即可。
21． 如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成。
（1） 图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是　 　，它的边长是　 　；
（2） 如图2所示，点A表示的数是　 　；
（3） 请你在 4×4 的网格中画出一个面积为10的正方形.
【答案】（1）5；
（2）
（3）解：如图 3，若这个正方形的面积为10.
【解析】【解答】解：（1）S阴=3×3-4×=5，5的算术平方根为，
故答案为：5；.
（2）据题意知：-1到A的距离为，
∴0到A的距离为，
故答案为：.
【分析】⑴根据“割补思想”计算阴影部分面积，从而确定其边长.
⑵根据题意知-1到A的距离，从而确定0到A的距离即A表示的数.
⑶根据题意，绘制边长为的正方形.
22．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，.
（1）仿照以上方法计算：　 　；　 　.
（2）若，写出满足题意的的一个整数值　 　.
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止. 例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1.
（3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1.
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　.
【答案】（1）2；5
（2）2
（3）3
（4）255
【解析】【解答】解：（1）∵，∴；∵，∴.
故答案为：2、5；
（2）由 ，需满足，平方得，由于x为整数，所以x的取值可能为1，2，3，任选其一.
故答案为：2（或1，3）；
（3），，，故 对100连续求根整数，3次之后结果为1.
故答案为：3；
（4）设该数为，则
，，.（a、b、c均为正整数）
∵，而，即，
∴最大为3，即.
又∵，而，即，
∴b最大为15，即.
又∵，而，即，
∴a最大为255.
故答案为：255.
【分析】（1）由，j结合根整数的定义即可得到结果；
（2）由、可得x=1，2，3；
（3）按题意对100连续求根整数至到结果为1即可得到所求答案；
（4）根据根整数定义，设该最大正整数为a，并设，，.（a、b、c均为正整数），先求出最大的c，然后依次求出最大的b、a.
23．如图，数轴上有A．B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）写出A，B两点所表示的实数；
（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数；
（3）若动点P、Q分别从A．B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．
【答案】（1）解：∵AB=12，AO=2OB，
∴AO=8，OB=4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4
（2）解：设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=﹣x+4﹣x，
3x=﹣4，
x=﹣ ；
②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=4，
x=﹣4（不符合题意，舍）；
综上所述，C点所表示的实数是﹣
（3）解：①当0＜t＜4时，如图3，
AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t，
∵2OP﹣OQ=4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4，
∴t= =1.6，
当点P与点Q重合时，如图4，
2t=12+t，t=12，
当4＜t＜12时，如图5，
OP=2t﹣8，OQ=4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4，
t=8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，
如图6，设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t=8，
∴t=8，
此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16，
∴点M行驶的总路程为：3×8=24，
答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
【解析】【分析】（1）根据OA=2OB，AB=12，即可求出OB和OA的长度，既而得出A和B点所表示的实数。
（2）C点可以在OA上，也可以在OB上，所以分类讨论，设C点表示的数为x，根据AC=CO+CB列方程，求出C点的数值，根据题目要求做出取舍即可。
（3）①分三种情况：当P在AO中时，当PQ两点重合时，当P在BQ上运动时；根据2OP﹣OQ=4列方程，即可求出t的对应数值。
②由题可知，P点到O点时，即可求出Q所代表的数；可设点M运动的时间为t秒，根据题意，P和Q停止时，解出t的数值，得出M点所对应的实数。
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