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三角形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图： ，则∠D的度数（　　）
A．30° B．60° C．45° D．90°
2．命题“若a2=b2，则a=b”。能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．a=3，b=3 B．a=﹣3，b=﹣3
C．a=3，b=﹣3 D．a=﹣3，b=﹣2
3．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角 的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　）
A． B．
C． D．
5．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
6．如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
8．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是 （　　）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
9．如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为 ，则 的值可能是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
10．如图1， 是铁丝 的中点，将该铁丝首尾相接折成 ，且 ， ，如图2．则下列说法正确的是（　　）
A．点 M 在 上
B．点 M 在 的中点处
C．点 M 在 上，且距点 B 较近，距点 C 较远
D．点 M 在 上，且距点 C 较近，距点 B 较远
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点，若，则的大小是　 　．
12．自行车的三角形车架，这是利用了三角形的　 　 ．
13．如图，AB∥CD，∠A=32°，∠C=70°，则∠F=　 　°
14．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝　 　cm.
15．如图，，，，则　 　．
16．如图， ， ， ，在直线CD上取点E，使得 ，则 的度数是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，AB＝AC，点E，AC上，AE＝AF，求证：
（1）∠ABF＝∠ACE；
（2）EP＝FP．
18．如图，在△ABC中， BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F.
（1）若∠ABC=60°， ∠ACB=50°， 求∠BDC的度数；
（2）若DE=3， BC=8， 求△BCD的面积.
19．如图，三点在同一条直线上，且.
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数.
20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E．
（1）若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积．
21．如图， ．
（1） 试说明 ．
（2） 与 有什么位置关系？ 为什么？
（3） 若 ， 求 的度数．
22．如图
（1）如图①，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P 与∠A的数量关系：　 　．
（2）如图②，四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC、∠BCD，∠P与∠A+∠B有怎样的数量关系？请证明你的结论．
23． 如图，OM是的平分线，ON是的平分线.
（1）如图1，当，时，的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当，时，　 　（直接写出结果）.
（3）如图3，当，时，猜想：　 　（直接写出结果）.
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三角形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图： ，则∠D的度数（　　）
A．30° B．60° C．45° D．90°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在 中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-90°-60°=30°，
∵ ，
∴∠D=∠A=30°，
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，即可求解.
2．命题“若a2=b2，则a=b”。能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．a=3，b=3 B．a=﹣3，b=﹣3
C．a=3，b=﹣3 D．a=﹣3，b=﹣2
【答案】C
【解析】【解答】解：A、当a=3，b=3时，
∴a2=b2，则a=b”，故A不符合题意；
B、∵（-3）2=（-3）2，
∴a=b，故B不符合题意；
C、∵（3）2=（-3）2，
∴a≠b，故C符合题意；
D、∵（-3）2≠（-2）2，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先分别求出各选项中a2，b2的值，再判断a2，b2的值是否相等，然后观察a，b的值是否相等，由此可得到答案。
3．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长ED交BF于C，
∵BA∥DE，
∴∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，
又∵∠FDE是△CDF的外角，
∴∠1=∠FDE-∠DCF=150°-60°=90°，
故答案为：C．
【分析】延长ED交BF于C，利用BA∥DE，得到∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，再结合三角形的外角求解即可。
4．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C．如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D．如图：
同理可得：，而，
但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．
故选：D．
【分析】
对于每个选项，先观察图形中两个三角形的边和角的关系，然后判断是否满足SAS、ASA等全等判定条件。若满足，则两个三角形全等；若不满足，则两个三角形不一定全等。通过对每个选项的逐一分析，最终确定正确答案。
5．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质可得点H到、的距离相等，再利用三角形的中线平分三角形的面积可得，，再证出，从而可得凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，最后得解.
6．如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：解法一：如图，过点B作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
解法二：如图，延长交b于点F，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】
解法一：过点B作，由"两直线平行，内错角相等"可得，由平行线的传递性可得，根据"两直线平行，同旁内角互补"可求得，于是，然后根据角的和差即可求解；
解法二：延长交b于点F，由平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得可求得，最后根据平角的定义即可求解．
7．如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】如图，过P点作于E点，
∵是的角平分线，P为上任意一点，，，
，
，
，
∴点P到射线的距离是3，
故选：C．
【分析】过P点作于E点，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PD=3．
8．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是 （　　）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
【答案】B
【解析】【解答】解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边，
符合“两边及夹角”，
故答案为：B.
【分析】利用作图的痕迹可知∠A为已知角，AB和AC是已知的边，因此利用的是SAS.
9．如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为 ，则 的值可能是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解析】【解答】∠ACB=∠90°+∠CBD
∴(5x 10)°=∠90°+∠CBD
化简得：x=20+ ∠DBC
∵0°<∠DBC<90°
∴20°故答案为：C
【分析】根据三角形的外角性质和三角形内角∠DBC的取值范围得出x的范围。
10．如图1， 是铁丝 的中点，将该铁丝首尾相接折成 ，且 ， ，如图2．则下列说法正确的是（　　）
A．点 M 在 上
B．点 M 在 的中点处
C．点 M 在 上，且距点 B 较近，距点 C 较远
D．点 M 在 上，且距点 C 较近，距点 B 较远
【答案】C
【解析】【解答】∵∠C=100°，∴AB＞AC，
如图，取BC的中点E，
则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE，
由三角形三边关系，AC+BC＞AB，
∴AB＜ AD，
∴AD的中点M在BE上，
即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远，
故答案为：C．
【分析】根据大边对大角得出AB＞AC，如图，取BC的中点E，根据中点的定义得出BE=CE，根据不等式的性质得出AB+BE＞AC+CE，根据三角形三边的关系得出AC+BC＞AB，故AB＜ AD，所以AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远，
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点，若，则的大小是　 　．
【答案】20°
【解析】【解答】解：∵
∴∠C+∠CAB=180°，，∠AHC=∠HAB
∴∠CAB=40°
由题意知：AH平分∠BAC
∴∠CAH=∠BAH=20°
∴∠AHC=20°
故答案为：20°.
【分析】先由，得出：∠C+∠CAB=180°，求出∠CAB=40°，再根据角平分线的定义，得出CAH=∠BAH=20°，最后根据两直线平行，内错角相等，得出∠AHC=20°.
12．自行车的三角形车架，这是利用了三角形的　 　 ．
【答案】稳定性
【解析】【解答】解：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性．故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
13．如图，AB∥CD，∠A=32°，∠C=70°，则∠F=　 　°
【答案】38
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠C=70°，
∴∠BEF=∠C=70°.
∵∠A=32°，
∴∠F=70° 32°=38°.
故答案为：38.
【分析】先根据平行线的性质求出∠BEF的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.
14．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝　 　cm.
【答案】
【解析】【解答】作DF⊥BC于F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ADB+S△BCD=S△ABC，
∴ ×10×DE+ ×14×DF=42，
∴5DE+7DE=42，
∴DE= （cm）.
故答案为 .
【分析】作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式得到 ×10×DE+ ×14×DF=42，则5DE+7DE=42，从而可求出DE的长.
15．如图，，，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接并延长至点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】
通过延长BP交AC于一点，利用三角形外角的性质逐步求出，，进而得，即，代入，，即可求解．
16．如图， ， ， ，在直线CD上取点E，使得 ，则 的度数是　 　．
【答案】40°或80°
【解析】【解答】解：①如图，当点E在点C的左侧，
∵AB∥CD，∠ABC＝40°，
∴∠BCD＝∠ABC＝40°，
∵∠CAE＝∠ACB＝30°，
∴AE∥BC，
∴∠AEC＝∠BCD＝40°；
②如图，当点E在点C的右侧，
∵AB∥CD，∠ABC＝40°，
∴∠BCD＝∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝30°+40°=70°，
∵∠CAE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEC＝180°-∠ACD-∠CAE＝180°-70°-30°=80°，
综上所述，∠AEC的度数为40°或80°，
故答案为：40°或80°．
【分析】需分两种情况：①当点E在点C的左侧，由平行线性质得∠BCD＝∠ABC＝40°，由∠CAE＝∠ACB＝30°，推出AE∥BC，进而求得∠AEC＝40°；②当点E在点C的右侧，由平行线性质得∠BCD＝∠ABC＝40°，再由角和差关系求得∠ACD＝70°，最后由三角形内角和定理，即∠AEC＝180°-∠ACD-∠CAE，求得∠AEC＝80°.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，AB＝AC，点E，AC上，AE＝AF，求证：
（1）∠ABF＝∠ACE；
（2）EP＝FP．
【答案】（1）证明：在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF＝∠ACE；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF＝∠ACE，CE＝BF，
∴∠ABC-∠ABF＝∠ACB-∠ACE，
即∠PBC＝∠PCB，
∴CP＝BP，
∴CE-CP＝BF-BP，
即EP＝FP．
【解析】【分析】(1)根据SAS证明△ABF≌△ACE，对应角相等，所以 ∠ABF＝∠ACE ；
(2)首先根据AB＝AC 得∠ABC＝∠ACB，再根据△ABF≌△ACE得∠ABF＝∠ACE，则 ∠ABC-∠ABF＝∠ACB-∠ACE ，即∠PBC＝∠PCB，从而得CP＝BP；根据△ABF≌△ACE得CE＝BF，最后CE-CP＝BF-BP，即EP＝FP即为所求。
18．如图，在△ABC中， BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F.
（1）若∠ABC=60°， ∠ACB=50°， 求∠BDC的度数；
（2）若DE=3， BC=8， 求△BCD的面积.
【答案】（1）解： ∵BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， ∠ABC=60°， ∠ACB=50°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-25°=125°
（2）∵CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F， DE=3，
∴DF=DE=3，
又BC=8，
∴△BCD的面积为
【解析】【分析】 (1) 要求∠BDC的度数，可先依据角平分线的定义求出∠DBC和∠DCB的度数，再结合三角形内角和定理计算∠BDC；
(2) 要求△BCD的面积，需先根据角平分线的性质得出DF = DE，再利用三角形面积公式计算。
19．如图，三点在同一条直线上，且.
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解： ，
，，
（2）解：，
，，
，，
【解析】【分析】（1）由三角形全等得出AD=CE=3，AE=BD=5，进而求出AD的值；
（2）由BD∥CE，可得内错角∠BDE与∠DEC相等，再由三角形全等得到∠ADB=∠CEA，再通过转化得出∠ADB=∠BDE，因此可知∠ADB=∠BDE=90°，再由全等转化即可求出∠BAC=90°。
20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E．
（1）若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积．
【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°-70°＝110°，
∴∠DBC+∠DCB＝×110°＝55°，
∴∠BDC＝180°-55°＝125°；
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF＝4，
∵BC＝9，
∴S△BCD＝×BC×DF＝×9×4＝18．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，再根据三角形的内角和定理得∠DBC+∠DCB=55°，∠BDC即可求得；
（2）根据角平分线的性质得DE=DF，再根据三角形的面积公式，△BCD的面积即可求得.
21．如图， ．
（1） 试说明 ．
（2） 与 有什么位置关系？ 为什么？
（3） 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠DEC.
又∵∠1=∠B，
∴∠B=∠DEC.
∴ .
（2）解： 与 相互平行，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠1+∠3+∠C=180°.
又∵在△ABF中，∠2+∠B+∠AFB=180°，
∴∠1+∠3+∠C=∠2+∠B+∠AFB.
又∵∠1=∠B，且∠3=∠2，
∴∠C=∠AFB.
∴AF∥DC.
（3）解：由（2）可知∠C=∠AFB，
∴∠C=46°=∠AFB.
∴在△ABF中，∠2=180°-∠AFB-∠B=180°-46°-68°=66°.
即∠2的度数为66°.
【解析】【分析】（1）由条件出发，证明出∠B=∠DEC，然后根据“同位角相等，两直线平行”即可说明；
（2）关键在于通过条件AD∥BC以及三角形内角和定理，证明出∠C=∠AFB，然后根据“同位角相等，两直线平行”即可说明AF与DC是互相平行；
（3）结合（2）的过程结论∠C=∠AFB以及三角形内角和定理，在△ABF代入条件计算出∠2的度数.
22．如图
（1）如图①，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P 与∠A的数量关系：　 　．
（2）如图②，四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC、∠BCD，∠P与∠A+∠B有怎样的数量关系？请证明你的结论．
【答案】（1）
（2）解：，
理由如下：
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC，∠BCP＝∠DCP＝∠BCD，
在△PDC中，由三角形内角和定理得，
∠P＝180°-∠CDP-∠DCP
＝180°（∠ADC+∠BCD），
而∠ADC+∠BCD＝360°-∠A-∠B，
∴∠P＝180°（360°-∠A-∠B）
＝（∠A+∠B）．
【解析】【解答】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC=∠ADC．
同理，∠PCD=∠ACD．
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD= ；
故答案为：
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到∠PDC=∠ADC，同理，∠PCD=∠ACD，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据角平分线的性质得到∠ADP＝∠CDP＝∠ADC，∠BCP＝∠DCP＝∠BCD，进而根据三角形内角和定理即可表示∠P，再结合题意即可求解。
23． 如图，OM是的平分线，ON是的平分线.
（1）如图1，当，时，的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当，时，　 　（直接写出结果）.
（3）如图3，当，时，猜想：　 　（直接写出结果）.
【答案】（1）解：如图1，，，
，
平分，ON平分，
，
.
（2）
（3）
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴
∵OM是的平分线，ON是的平分线
∴
∴
故答案为：35°
（3）∵，
∴
∵OM是的平分线，ON是的平分线
∴
∴
个答案为：
【分析】（1）根据角之间的关系求出，再根据角平分线性质求出，再根据即可求出答案；
（2）根据角之间的关系求出，再根据角平分线性质求出，再根据即可求出答案；
（3）根据角之间的关系求出，再根据角平分线性质求出，再根据即可求出答案.
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