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特殊三角形 单元综合巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列数组中，是勾股数的是（　　）
A．6，8，10 B．2，2，2 C．1，1， D．1，2，3
3．在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，下列条件中，能判断 是直角三角形的有（　　）个．
① ， ， ； ② ；③ ；④ ， ， ．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图， ， ，则 等于（　　）
A．90° B．75° C．70° D．60°
5．苏州素有“园林之城”的美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲.如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰三角形ABC，其中，若是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD是的角平分线的是（　　）
A．点到AB，AC的距离相等 B．
C． D．
6．如图，是等腰直角三角形的顶角平分线，，则等于（　　）
A．8 B．4 C．3 D．2
7．如图，在为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2-S1=10.则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．5 C． D．
10．如图，点为线段上一动点（不与重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点与交于点与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③平分；④；⑤，下面的结论正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，AB＝30，AC＝25，高AD＝24，则BC的长为 　 　．
12．如图中，由一个直角三角形和两个正方形组成，如果大正方形的面积为41，AB=5，则小正方形的面积为　 　．
13．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E、F是边BC上的三等分点.分别过点E、F沿着平行于BA、CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　 　.
14．如图， 、 是 的半径，点C在 上， ， ，则 　 　 .
15．如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝6cm，BC＝12cm，AC＝10cm，DO＝3cm，那么OC的长是　 　cm．
16．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的黑色部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是　 　号袋（填球袋的编号）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该把线再放出多少米？
18．如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的周长．
19．如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，设点M为AC上动点，AC＝10，BC＝6．
（1）直接写出AB的长度　 　；
（2）求线段BM的最小值；
（3）若△MBC为等腰三角形，求线段AM的长．
21．如图，已知．求证：
（1）；
（2）是的平分线．
22．如图，直线AB与x轴交于点，交y轴于点，且满足，C的坐标为，且于点H，AH交OB于点P.
（1）如图1，写出点A、B的坐标，并证明；
（2）如图2，连接OH，求证：.
23．如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
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特殊三角形 单元综合巩固提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
2．下列数组中，是勾股数的是（　　）
A．6，8，10 B．2，2，2 C．1，1， D．1，2，3
【答案】A
【解析】【解答】解：A 62+82=102，且均为正整数，故A项符合题意；
B 22+22≠22，故B项不符合题意；
C 12+12≠，故C项不符合题意；
D 12+22≠32，故D项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股数的定义，即可求得.
3．在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，下列条件中，能判断 是直角三角形的有（　　）个．
① ， ， ； ② ；③ ；④ ， ， ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，
∴当 ， ， 时， ，
∴此时△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵ ，
∴ 即 ，
∴此时△ABC是直角三角形，故②符合题意；
∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴此时△ABC是直角三角形，故③符合题意；
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴此时△ABC是直角三角形，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和及三角形的勾股定理的逆定理逐项判断即可。
4．如图， ， ，则 等于（　　）
A．90° B．75° C．70° D．60°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】 根据等边对等角可得∠BCA=∠A=15°，利用三角形外角的性质求出∠CBD=2∠A=30°，根据等边对等角可得∠BDC=∠CBD=30°，利用三角形内角和求出∠BCD=120°，根据平角及等腰三角形的性质可得∠DEC=∠ECD=45°，再次利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得∠EDF=∠EFD=60°，在△EDF中利用三角形内角和即可求出结论.
5．苏州素有“园林之城”的美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲.如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰三角形ABC，其中，若是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD是的角平分线的是（　　）
A．点到AB，AC的距离相等 B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A项 ∵点到AB，AC的距离相等 ，
∴ 点D在∠BAC的角平分线上，即AD是△ABC的角平分线；
B项 ∵ ∠ADB=∠ADC，且∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°，
∵ AB=AC，
∴ AD是△ABC的角平分线；
C项 ∵ BD=CD且AB=AC，
∴ AD既是中线又是△ABC的角平分线；
D项 不能说明AD是△ABC的角平分线.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的判定即可判断A项；根据等腰三角形的性质可判断B项和C项；D项不能说明AD为角平分线.
6．如图，是等腰直角三角形的顶角平分线，，则等于（　　）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD是等腰直角三角形ABC的顶角平分线
∴，即AD为等腰直角三角形ABC的中线
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD可求解.
7．如图，在为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算可求出：，利用可证明，根据全等三角形的性质可证明：，又知，利用平行线的性质可得：，利用等腰三角形的性质可推出，进而证明是等边三角形，进一步证明是等边三角形，所以，再利用三角形的外角的性质可求出答案.
8．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：根据轴对称性可得：△ABC≌△AB′C′；∠BAC′＝∠B′AC；直线l垂直平分CC′；直线BC和B′C′的交点一定在l上，故正确的有①、②、③，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的性质来进行解答即可得出答案．
9．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2-S1=10.则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 正方形的面积等于边长的平方，且正方形的边长分别为的三边，
由勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），得：（假设为斜边对应正方形面积，、为直角边对应正方形面积）；
又，将代入得：，即，解得；
观察图形可知，阴影部分为三角形，且与对应的正方形存在“同底等高”的关系（阴影三角形的底和高均等于正方形的边长），
阴影部分的面积 正方形面积。
故答案为：C。
【分析】本题解题思路是“正方形面积与勾股定理结合+同底等高面积关系”。先将正方形面积转化为三角形边长的平方，利用勾股定理建立、、的关系，再结合已知条件求出，最后根据阴影三角形与正方形的同底等高关系，求出阴影面积。
10．如图，点为线段上一动点（不与重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点与交于点与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③平分；④；⑤，下面的结论正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA＝∠CEB，∠CAD＝∠CBE，
∵∠BPO＝∠APC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°，
故①正确，符合题意；
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
即∠PCD＝∠QCE，
在△CDP和△CEQ中，
∴△CDP≌△CEQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，
故②正确，符合题意；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，如图所示：
∵△BCE≌△ACD，
∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，
∴×BE×CM＝×AD×CN，
∴CM＝CN，
∴OC平分∠AOE，
故③正确，符合题意；
∵无法证出点O是线段BE的中点，
故④不正确，不符合题意；
在OE上截取EH＝OC，连接DH，CH，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠CBO，
∵∠CBO＋∠CEB＝∠ACB＝60°，
∴∠CAO＋∠CEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠EOC＝60°＝∠ABC，
∵∠CQO＝∠EQD，
∴∠OCD＝∠HED，
在△OCD和△HED中，
∴△OCD≌△HED（SAS），
∴OD＝HD，
∵∠AOB＝∠DOH＝60°，
∴△DHO是等边三角形，
∴OH＝OD，
∵OE＝EH＋OH，
∴OE＝OC＋OD，
故⑤正确，符合题意；
综上，正确的结论是①②③⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】先利用“SAS”证出△ACD≌△BCE，利用“ASA”证出△CDP≌△CEQ，再过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，利用“SAS”证出△OCD≌△HED，利用全等三角形的性质证出对应边相等，再证出△DHO是等边三角形，最后利用等边三角形的性质及相等的和差及等量代换逐项分析判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，AB＝30，AC＝25，高AD＝24，则BC的长为 　 　．
【答案】11或25
【解析】【解答】解：∵AD为边BC上的高，AB=30，AD=24，AC=25，
∴BD= ，CD= ，
当AD在△ABC外部时，BC=BD-CD=11．
当AD在△ABC内部时，B′C=BD+CD=25．
故答案为：11或25.
【分析】利用勾股定理可得BD、CD，当AD在△ABC外部时，BC=BD-CD；当AD在△ABC内部时，B′C=BD+CD，据此计算.
12．如图中，由一个直角三角形和两个正方形组成，如果大正方形的面积为41，AB=5，则小正方形的面积为　 　．
【答案】16
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边的平方=AB2+BC2=41，
∵AB2=25，
∴BC2=16，
∴小正方形的面积为16．
故答案为：16．
【分析】根据正方形的面积公式，可得直角三角形的斜边AC和直角边AB的平方分别为41，25，由勾股定理即可求出AB的平方，即小正方形的面积．
13．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E、F是边BC上的三等分点.分别过点E、F沿着平行于BA、CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　 　.
【答案】6
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形纸片
∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB，DF∥AC
∴∠DEF=∠DFE=60°
∴△DEF为等腰三角形
∴DE=EF=DF
∵点E和点F为BC上的三等分点，BC=6
∴EF=2
∴DE=EF=DF=2
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=6
【分析】根据平行线的性质得到△DEF为等边三角形，继而由三等分点求出答案即可。
14．如图， 、 是 的半径，点C在 上， ， ，则 　 　 .
【答案】25
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案为：25.
【分析】连接OC，由OC=OB得出∠OCB=∠OBC=40°，利用三角形内角和求出∠BOC=100°，利用等边对等角可得∠OAC=∠OCA，利用三角形内角和即得结论.
15．如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝6cm，BC＝12cm，AC＝10cm，DO＝3cm，那么OC的长是　 　cm．
【答案】7
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴DB＝AC＝10cm，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，
∴OB＝DB﹣DO＝7cm，∠OBC＝∠OCB，
∴OC＝OB＝7cm，
故答案为：7．
【分析】根据全等三角形的对应边、对应角相等可得DB＝AC、∠ABC＝∠DCB、∠DBC＝∠ACB，所以∠OBC＝∠OCB，根据等角对等边得OB=OC。根据OB＝DB﹣DO，据此可得出OC的值。
16．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的黑色部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是　 　号袋（填球袋的编号）．
【答案】3
【解析】【解答】如图所示，则该球最后将落入的球袋是3号袋．
故答案为：3．
【分析】根据入射角等于反射角进行画图确定该球最后将落入的球袋．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该把线再放出多少米？
【答案】（1）解：∵BC=15米，AB=17米
∴在Rt△ABC中，（米），
∵CD=1.7米
∴AD=AC+CD=9.7米
答：风筝的垂直高度AD为9.7米.
（2）解：∵风筝沿DA方向再上升12米
∴12+8=20（米）
∴由勾股定理可得：放出后，
∴25-17=8（米）
答：他应该把线再放出8米.
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键.
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）先根据勾股定理可求出AC的长：在Rt△ABC中，（米），再结合CD=1.7米，根据线段的和差运算可得：AD=AC+CD=9.7米，由此即可得出答案；
（2）根据勾股定理可得：放出后米，然后用25-17=8（米），由此即可得出答案.
18．如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：∵，，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∴的周长为．
答：的周长为．
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，三角形的外角性质.（1）根据，，垂直平分，利用线段垂直平分线和等腰三角形性质可得，根据等边对等角可得：，利用三角形内角和定理可求出，再根据，可得，代入数据可求出答案；
（2）根据，结合，可推出，利用三角形的周长计算公式和等量代换可得：的周长为，代入数据可求出答案．
（1）解：∵，，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∴的周长为．
答：的周长为．
19．如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：连接，
在等腰直角中，，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
（3）解：存在点使得与全等，理由如下：连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，根据等腰直角三角形的底角是45°得出，求得，根据等边对等角得出，求得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求出；
（2）根据同角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，即可证明；
（3）连接，根据全等三角形的对应角相等得出，推得是钝角，，根据等边对等角和三角形内角和是180°求出，根据等角对等边得出，即可列出方程，求出t的值.
（1）解：连接，在等腰直角中，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（3）存在点使得与全等，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，设点M为AC上动点，AC＝10，BC＝6．
（1）直接写出AB的长度　 　；
（2）求线段BM的最小值；
（3）若△MBC为等腰三角形，求线段AM的长．
【答案】（1）8
（2）解：根据垂线段最短，可得当BM垂直AC时，BM最小，
这时，，
∴；
（3）①当BM=BC=6时，过点B作BD⊥AC于点D，则，
∴CD=DM=，
∴AM=AC-DC-DM=10-；
②当BM=CM时，∠MBC=∠MCB，
又∵∠A+∠C=∠MAB+∠CBM=90°，
∴∠A=∠MAC
∴BM=AM=CM=5；
③当BC=CM=6时，AM=AC-CM=10-6=4；
综上所述，当AM值为或4或5时，△BCM是等腰三角形.
【解析】 【分析】解：（1），
故答案为：8；
【分析】（1）利用勾勾股定理解题即可；
（2）由题可知当BM垂直AC时最小，根据三角形的面积解题即可；
（3）分为BM=BC，BM=CM和BC=CM三种情况，利用勾股定理和直角三角形的斜边上的中线性质解题即可.
21．如图，已知．求证：
（1）；
（2）是的平分线．
【答案】（1）证明：，
．
（对顶角），，
；
（2）证明：，
，
．
在和中，
，
，
，
又在中，
，
即：，
故是的平分线．
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求证.
（2）根据三角形全等条件AAS可证。△ABC≌△EDC，可得∠BAC=∠DEC，再根据等腰三角形的性质即可求出答案.
22．如图，直线AB与x轴交于点，交y轴于点，且满足，C的坐标为，且于点H，AH交OB于点P.
（1）如图1，写出点A、B的坐标，并证明；
（2）如图2，连接OH，求证：.
【答案】（1）解：∵，
∴，，∴，，
∴，，则.
∵即，，
∴，
∴.
在与中，
，
∴.
（2）证明：方法一：等面积法
过O分别作于M点，作于N点，
由得
，
∴
∴OH平分.
∴
方法二：全等三角形
由（1）的，.
在和中，
，
∴.
∴.……9分
∴OH平分，∴
【解析】【分析】（1）根据一个正数的算数平方根大于等于零，一个数的平方大于等于零，求出a，b，即可知点A，B的坐标；利用已知等量代换即可求证。
（2）过O分别作于M点，作于N点，由结论(1)推出OM=ON，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可求证，或根据，对应边相等也可得证。
23．如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积为，
∴；
∵平分，DH⊥AB，DE⊥BC，
∴；
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∵与的周长之差为，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到DB=DC，由等边对等角和三角形外角性质得∠DBC=∠C=25°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠DBC=50°，最后由三角形内角和定理算出∠BAC的度数；
（2）根据三角形面积计算公式建立方程可求出DH=4cm，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE=DH=4cm；根据三角形周长计算公式、线段和差、等量代换及题意可求出得到BC=9cm，最后再根据三角形面积计算公式可算出△BCD的面积.
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积为，
∴；
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∵与的周长之差为，
∴，
∴．
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