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第二十六章 二次函数
2026人教版·九年级上册
26.3二次函数与一元二次方程 第1课时
学习目标
1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与对应一元二次方程根的关系；能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴交点情况判断一元二次方程根的个数.
2.经历“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程，掌握数形结合、转化的数学思想，提升观察分析、归纳总结和代数几何转化的能力.
3.感受数学知识的关联性与统一性，体会数形结合思想的简洁性与实用性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维习惯.
课堂导入
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系.
复习 一次函数 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=3的解为________．
x=2
1
3
O
x
y
2
y=kx+b
思考：如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？
(1) y=x2+x 2；
(2) y=x2 8x+16；
(3) y=x2 x+1.
由此，你能说方程
x2+x 2=0，x2 8x+16=0，x2 x+1=0
根的情况吗？
y=x2 8x+16
y=x2+x 2
y=x2 x+1
新知探究
通过图中的函数图象可以看出：
(1) 抛物线 y=x2+x 2 与 x 轴有两个公共点，
它们的横坐标分别是 2，1.
当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0.
由此可知，方程 x2+x 2=0
有两个不相等的实数根 2，1.
y=x2 8x+16
y=x2+x 2
y=x2 x+1
新知探究
新知探究
通过图中的函数图象可以看出：
(2) 抛物线y=x 8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4.
当 x=4 时，函数值是 0.
由此可知，方程x2 8x+16=0
有两个相等的实数根 4.
y=x2 8x+16
y=x2+x 2
y=x2 x+1
通过图中的函数图象可以看出：
(3) 抛物线 y=x2 x+1 与 x 轴没有公共点.
由此可知，方程 x2 x+1=0 没有实数根.
新知探究
y=x2 8x+16
y=x2+x 2
y=x2 x+1
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况.
新知小结
一般地，从二次函数y=ax +bx+c的图象，可得如下结论：
(1)如果抛物线y=ax +bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根.
(2)二次函数у=ax +bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程ax +bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
有两个交点
新知小结
例题分析
例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：当h=20时，
则 20=20t-5t2.
解方程，得t1=t2=2.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
20
2
即 t2-4t+4=0.
你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
即时即练
关于例1，回答下列问题：
（选自教材P48 练习）
(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=15，则
15=20t-5t2.
解得t1=1，t2=3.
当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.
15
1
3
你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
即时即练
（选自教材P48 练习）
(2)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=20.5，则
20.5=20t-5t2.
即t2-4t+4.1=0.
∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根.
即小球的飞行高度不能达到20.5m.
20.5
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？
即时即练
（选自教材P48 练习）
(3)小球从飞出到落地，需要多长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=0，则
0=20t-5t2.
解得t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
所以小球从飞出到落地要4 s.
二次函数与一元二次方程的关系：
y=ax2+bx+c
一元二次方程
y取定值
且a≠0
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值
求相应的一元二次方程的根
例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).
反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值．
新知小结
即时即练
1. 二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点有 ( )　
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定
2. 若关于x的二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象与x轴的交点坐标
是（－1，0）和（3，0），则关于x的一元二次方程
－x2＋mx＋n＝0的解为( )
D
A. x1＝x2＝0 B. x1＝1，x2＝－3
C. x1＝1，x2＝0 D. x1＝－1，x2＝3
3. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 .
x1＝－1，x2＝3　
即时即练
课堂小结
二次函数与
一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c
一元二次方程ax2+bx+c=0
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有两个公共点
与x轴有一个公共点
与x轴无公共点
课堂练习
1. 求抛物线y＝x2－3x－4与x轴、y轴的交点坐标.
解：当x＝0时，y＝－4；
当y＝0时，x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(4，0)和(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，－4).
课堂练习
2. (1)抛物线y＝2x2－x－1与x轴的交点坐标为______________；
(2)二次函数y＝－2x2＋5与y轴的交点坐标为________.
(0，5)
(1，0)和
3. 已知抛物线y＝－2x2＋4x－1，下列结论错误的是 ( )
A. 与x轴有2个交点 B. 与y轴有1个交点
C. 开口向下 D. 对称轴为y轴
D
课堂练习
4. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0), (2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________.
x1＝－1，x2＝2
5. 已知抛物线y＝ x2＋x＋c与x轴没有交点.
(1)求c的取值范围；
解得c＞ .
解：(1)依题意，得12－4× c＜0，
(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由.
解：(2) 直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限.理由如下：
∴直线y＝cx＋1经过第一、三象限.
∵b＝1，
∴直线y＝cx＋1与y轴正半轴相交.
∴直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限.
课堂练习
5. 已知抛物线y＝ x2＋x＋c与x轴没有交点.
∵c＞ ＞0，
下 课
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