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第1讲 匀变速直线运动的规律及应用
【模型一 匀变速直线运动的基本规律】
类型1 基本公式和速度位移关系式的应用
类型2 平均速度定义式的应用
【模型二 匀变速直线运动的推论及比例式的应用】
类型1 平均速度与中间时刻速度的应用
类型2 位移差公式
类型3 比例式的应用
【模型三 两类匀减速直线运动】
类型1 刹车类问题
类型2 双向可逆类问题
【模型四 自由落体运动和竖直上抛运动】
类型1 自由落体运动基本规律的应用
类型2 竖直上抛运动的基本规律
类型3 自由落体和竖直上抛相遇类问题
【模型一 匀变速直线运动的基本规律】
一般的匀变速直线运动的规律
①速度规律：v＝v0＋at。
②位移规律：x＝v0t＋at2。
③位移速度关系式：v2－v＝2ax。
这三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石。三个公式中的物理量x、a、v0、v均为矢量（三个公式称为矢量式）。在应用时，一般以初速度方向为正方向，凡是与v0方向相同的x、a、v均为正值，反之为负值。当v0＝0时，一般以a的方向为正方向。这样就可将矢量运算转化为代数运算，使问题简化均为矢量式，应用时应规定正方向。
1．公式选取方法
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量) 没有涉及的物理量　 适宜选用的公式
v0、v、a、t x 【速度公式】v＝v0＋at
v0、a、t、x v 【位移公式】x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t 【速度位移关系式】v2－v＝2ax
v0、v、t、x a 【平均速度公式】x＝t
2．应用匀变速直线运动的公式解题时应注意的问题
①首先必须对物体的运动性质和运动过程进行分析和判断，看物体的运动是否为或可视为匀变速直线运动。
②通常选取初速度方向为正方向。
③公式x=v0t+at2是位移公式，利用该公式求得是位移，不是路程。对于往返型的匀变速直线运动，该公式对全程的各个时刻也都是适用的。
④分析物体的运动问题，要养成画物体运动草图的习惯，并在图中标注出有关各量。这样将加深对物体运动过程的理解，有助于发现已知量和未知量之间的相互关系，迅速找到解题的突破口。
⑤如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律．应特别注意各段交接处的速度往往是解题的关键。
⑥末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零、加速度相等的反向匀加速直线运动（逆向思维法）。
⑦计算结果中如果出现负值，应说明负号的物理意义．
类型1　基本公式和速度位移关系式的应用
【典例1】（2025·全国卷·高考真题）我国自主研发的CR450动车组试验时的速度可达450km/h。若以120m/s的初速度在平直轨道上行驶的CR450动车组，匀减速运行14.4km后停止，则减速运动中其加速度的大小为（　　）
A．0.1m/s2 B．0.5m/s2 C．1.0m/s2 D．1.5m/s2
根据题中可以判断无时间t速度位移关系
其中，
代入数据可得减速运动中其加速度的大小
故选B。
【变式1-1】（2025·江苏·高考真题）新能源汽车在辅助驾驶系统测试时，感应到前方有障碍物立刻制动，做匀减速直线运动。内速度由减至0。该过程中加速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据运动学公式，代入数值解得
故加速度大小为。
故选C。
【变式1-2】（2025·河南开封·三模）某质点做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=3t+1（各物理量均采用国际单位制单位），下列关于该质点的说法正确的是（　　）
A．第1s内的位移是5m
B．任意1s内的速度增量都是2m/s
C．前3s内的平均速度是3m/s
D．任意相邻的1s内位移差都是1m
【答案】C
【详解】A．根据位移x与时间t的关系为x=3t+1可知质点以3m/s做匀速直线运动，根据x=vt可知第1s内的位移是3m，故A错误；
B．质点以3m/s做匀速直线运动，任意时间段内速度变化量都为零，故B错误；
C．质点以3m/s做匀速直线运动，前3s内的平均速度是3m/s，故C正确；
D．质点以3m/s做匀速直线运动，任意相邻的1s内位移差都是零，故D错误。
故选C。
类型2 平均速度定义式的应用
【典例2】（2025·广西·高考真题）某乘客乘坐的动车进站时，动车速度从36km/h减小为0，此过程可视为匀减速直线运动，期间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次，则此过程动车行驶距离约为（ ）
A． B． C． D．
火车运动的时间为
根据平均速度的定义式
代入数据，可知火车共行驶的距离
故选B。
【变式2-1】（2025·四川·高考真题）2025年4月30日，神舟十九号载人飞船成功返回。某同学在观看直播时注意到，返回舱从高度3090m下降到高度2010m，用时约130s。这段时间内，返回舱在竖直方向上的平均速度大小约为（ ）
A．8.3m/s B．15.5m/s C．23.8m/s D．39.2m/s
【答案】A
【详解】返回舱下降的位移为Δh = 1080m
则返回舱在竖直方向上的平均速度大小约为
故选A。
【变式2-2】（2025·湖北武汉·三模）某场足球比赛中，一球员不小心踢歪了球，足球往边界滚去。足球距离边界35m时，速度，加速度，若将足球的运动看作匀减速直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．足球到达不了边界 B．经过6s，足球越过了边界
C．经过7s，足球恰好到达边界 D．经过8s，足球距离边界3m
【答案】B
【详解】足球停止所需时间为s
位移为m
36m-35m=1m
可见经过6s，足球越过了边界，且经过8s，足球距离边界1m。
故选B。
【模型二 匀变速直线运动的推论及比例式的应用】
1．匀变速直线运动的三个重要推论
（1）任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。可以推广到：xm－xn＝（m－n）aT 2。
（2）物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：＝ = 。
（3）匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
2.初速度为零的匀变速直线运动的四个比例式
（1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
（2）1T内、2T内、3T内……位移的比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
（3）第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）。
（4）从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶（－1）∶（－）∶…∶（－）。
1.一般解题思路
2.运用比例式的方法
类型1 平均速度与中间时刻速度的应用
【典例3】（2023·山东·高考真题）如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10m/s，ST段的平均速度是5m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为（ ）

A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0.5m/s
设RS间的距离为x，ST间的距离为2x
，，
【变式3-1】（2025·广西·三模）如图是位于南宁市东南郊的两座邕江大桥，近处为公路桥，远处更高大的是铁路桥。公路桥所用吊杆为高强度平行钢丝，吊点等间距分布，相邻吊点之间的水平距离为。一辆汽车正在匀加速通过公路桥，依次经过相邻的1-5号吊杆。设车头以速度经过2号吊杆，经过时间，车头以经过5号吊杆。则汽车的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和的一半，且等于中间时刻的瞬时速度。由2号吊杆运动到5号吊杆用时，则有
解得
则加速度
故选B。
【变式3-2】（2024·广西·高考真题）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时，从2号锥筒运动到3号锥筒用时。求该同学
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒。
【答案】（1）；（2）4
【详解】（1）根据匀变速运动规律某段内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知在1、2间中间时刻的速度为
2、3间中间时刻的速度为
故可得加速度大小为
（2）设到达1号锥筒时的速度为，根据匀变速直线运动规律得
代入数值解得
从1号开始到停止时通过的位移大小为
故可知最远能经过4号锥筒。
类型2 位移差公式
【典例4】（2025·宁夏石嘴山·三模）某物体做匀变速直线传动，依次通过A，B，C，D四个点，通过相邻两点的时间间隔均为2s，已知AB=12m，CD=28m，则下列说法正确的是（　　）
A．物体在BC段的位移大小为22m
B．物体的加速度大小为2m/s2
C．物体通过A点的速度大小为6m/s
D．物体通过C点的速度大小为14m/s
第一步：判断题干是否给出至少两段时间，而且这两段时间是否相等，相等的话还需注意这两段时间的间隔是否可以分成同样相等的几段时间间隔。由题干可知，通过相邻两点的时间间隔均为2s，符合要求。
第二步：运用公式，得xBC=20m，
由, 得
由, 得
【变式4-1】（2023·陕西·一模）一物体从A点由静止开始做匀加速运动，途经B、C、D三点，B、C两点间的距离为，C、D两点间距离为，通过BC段的时间与通过CD段的时间相等，则A、D之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】之间的距离为，由连续相等时间内的位移之差公式得
解得
由平均速度公式
A与C的距离
A、D之间的距离为
故选B。
【变式4-2】（多选）有一辆汽车在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然看到正前方十字路口有一路障，他立即采取刹车，若刹车后汽车做匀减速直线运动，第内的位移为，第内的位移为，此后继续运动一段时间而未发生事故，下列说法正确的是（　　）
A．汽车做匀减速直线运动的加速度大小为
B．汽车刹车时的初速度大小为
C．汽车从刹车到停止所需时间为
D．汽车刹车后内的位移大小为
【答案】BC
【详解】A．设汽车的初速度为，规定初速度方向为正方向，设加速度为a，根据匀变速直线运动的推论
其中
联立解得加速度
故加速度大小为，故A错误；
B．汽车在第1 s内的位移
代入数据解得
故B正确；
C．汽车从刹车到停止所需的时间
故C正确；
D．汽车刹车后6 s内的位移等于4s内的位移，则
故D错误。
故选BC。
类型3 比例式的应用
【典例5】（2025·河北·模拟预测）如图所示，将盒子从O点抛出，盒子从O点开始做匀减速直线运动，刚好停在e点。a、b、c、d、e相邻两点间距离相等，盒子从d点运动到e点的时间为1s，盒子可视为质点。则（　　）
A．盒子从a点运动到b点的时间为1s
B．盒子从a点运动到d点的时间为1s
C．盒子运动到a点的速度是d点的速度的4倍
D．盒子运动到a点的速度是c点的速度的2倍
第一步：判断是否为初速度为0或末速度为0的匀变速直线运动，再判断是时间相等还是位移相等。由题可知为末速度为零的匀减速直线运动，且是位移相等所以比例式可用。
第二步：可把速度比和时间比画在图上，如图
第三步：由，得
由，得
【变式5-1】（2025·江西·模拟预测）如图，若滑板运动员停止运动前的滑行可近似简化为匀变速直线运动，通过某一段距离AB的平均速度大小为9 m/s，最后停在 C点，已知： 则该运动员经过BC段的平均速度大小为（　　）
A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s
【答案】C
【详解】末速度为0的匀减速直线运动，可逆向为初速度为0的匀加速直线运动，第1T内、第2T内运动的位移比例为1：3， 可知在AB、BC段运动时间相同，AB段平均速度
则BC段平均速度
故选C。
【变式5-2】（多选）（2025·河北·二模）如图所示，一可视为质点的物体沿一足够长的光滑斜面向上滑行，从某时刻开始计时，第一个t内的位移为s，第三个t内的位移为零，下列说法正确的是（　　）
A．第二个t内该物体的位移为
B．该物体的加速度大小为
C．计时起点物体的速度大小为
D．该物体第二个t末的速度大小为
【答案】AC
【详解】A．第三个t内的位移为零，说明前沿斜面向上滑，后沿斜面下滑，将上滑过程分为5个，根据匀变速直线运动规律，其位移比为，故第二个t内的位移为第一个t内位移的一半，即，故A正确；
B．根据第一个t内和第二个t内的位移可知，物体的加速度大小
故B错误；
C．计时起点物体的速度大小
故C正确；
D．第二个t末的速度大小
故D错误。
故选AC。
【变式5-3】（多选）（2024·山东日照·二模）如图所示，四块相同的混凝土实心砖并排固定在水平地面上，子弹以水平速度从P点射入实心砖中，到达Q点时的速度恰好为零。假设子弹在混凝土实心砖中做匀减速直线运动，且运动的总时间为t。下列说法正确的是（　　）
A．子弹刚穿过第2块砖时的速度大小为
B．子弹刚穿过第3块砖时的速度大小为
C．子弹穿过第2块砖所用的时间为
D．子弹穿过第3块砖所用的时间为
【答案】BC
【详解】AB．设每块砖的厚度为，加速度为，子弹从P到Q为匀减速，可以看成从Q到P的初速为的匀加速直线运动，末速度为，则有
设穿过第二块的速度为，穿过第三块的速度为，则有
解得
A错误，B正确；
CD．按照上述方法，由初速为的匀加速直线运动等分位移的时间关系，设穿过第四块的时间为，则穿过第三块的时间为，第二块的时间为，第一块得出时间为，如图所示
由此可得
设穿过第二块砖的时间为，穿过第三块砖的时间为，则有
C正确，D错误。
故选BC。
【模型三 两类匀减速直线运动】
1.刹车类问题。汽车刹车问题的实质是汽车做单方向匀减速直线运动问题。汽车匀减速到速度为零后即停止运动，不再反向加速，求解时要注意确定其实际运动时间，汽车运动时间满足t ≤ ，发生的位移满足x ≤ 。一般用逆向思维法求解。
2.双向可逆类问题。如果物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，且全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
逆向思维法
末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题均可以利用逆向思维法求解。
（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v，加速度为a，则时间t内的位移也可以逆向表示为x = vt -at2。
类型1 刹车类问题
【典例6】（2025·黑龙江·模拟预测）2024年11月25日至27日，黑龙江省大部分地区出现了一次大范围的降雪，给人们的出行造成了一定的影响。一辆卡车在冰雪路面上以的速度匀速行驶，由于前方出现事故司机紧急刹车，假设刹车过程做匀减速直线运动，已知刹车的加速度大小，则下列说法中正确的是（ ）
A．刹车后第1s内的位移为8m B．刹车后5s内卡车前进的距离为18.75m
C．刹车后5s内的平均速度为4m/s D．刹车后6s末的瞬时速度大小为5m/s
第一步：判断是否是刹车问题，刹车问题可以用逆向思维法：看做初速度为零的反向匀加速直线运动。由题可知刹车的时间
第二步：由 得 A错
由于，由逆向思维法 得 B错
由 得 C正确
由于，则刹车后6s末的瞬时速度大小为零 D错
【变式6-1】（2025·山东临沂·一模）一辆公共汽车以初速度14m/s进站后开始刹车，做匀减速直线运动直到停下。刹车后3s内的位移与最后3s内的位移之比是，则刹车后4s内通过的距离与刹车后3s内通过的距离之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知
可得a=4m/s2
汽车停止运动需要时间
则刹车后4s内通过的距离
刹车后3s内通过的距离
则刹车后4s内通过的距离与刹车后3s内通过的距离之比为49:48。
故选D。
【变式6-2】（2024·山东潍坊·二模）某人骑电动车，在距离十字路口停车线6m处看到信号灯变红，立即刹车，做匀减速直线运动，电动车刚好在停止线处停下。已知电动车在减速过程中，第1s的位移是最后1s位移的5倍，忽略反应时间。下列关于电动车的刹车过程说法正确的是（　　）
A．刹车时间为2s
B．刹车的加速度大小为
C．中间时刻的速度大小为
D．中间位置的速度大小为
【答案】C
【详解】AB．设刹车时间为t，则由逆向思维有，刹车最后1s的位移为，有
刹车第1s位移为，有
由题意可知
对全程有
解得
，
故AB错误；
C．因为做匀减速直线运动，由匀变速直线运动公式有中间时刻速度等于平均速度，设中间时刻速度为，有
故C项正确；
D．设中间位置速度为，运用逆向思维，则对于后半段有
解得
故D项错误。
故选C。
类型2 双向可逆类问题
【典例7】（多选）一物体以5 m/s的初速度在光滑斜面上向上匀减速运动，其加速度大小为2 m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4 m，则时间t可能为（　　）
A．2 s B．3 s C．4 s D．s
第一步：判断物体的运动是否为先匀减速至0再反向匀加速，且加速度不变的运动。由题可知符合双向可逆问题，可全过程列式。
第二步：由
当x=4m时，得 解得
当x= -4m时，得- 解得
【变式7-1】（多选）在某高塔顶层的墙外侧，以的速度竖直上抛一个小石子（小石子可看成质点），忽略空气阻力，当小石子运动到离抛出点15m时，运动时间可能是（　　）
A．2s B．3s C．4s D．
【答案】BD
【详解】小石子上升的最大高度为H，有
当小石子上升到距离抛出点15m时，有
解得
当小石子下降到距离抛出点15m时，有
解得
（舍）
故选BD。
【变式7-2】（多选）在巴黎奥运会跳水项目女子10米跳台决赛中，中国选手全红婵以425.60的总得分夺冠。全红婵在进行10米跳台跳水时，以5m/s的速度向上起跳，在空中完成规定动作并调整好入水姿态，入水后做匀减速直线运动，入水最大深度为4.5m。不计空气阻力，全红婵可视为质点，取重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．全红婵在空中运动的时间为2.0s B．全红婵在空中运动的时间为1.5s
C．全红婵落水后的加速度大小为50m/s D．全红婵落水后的加速度大小为25m/s
【答案】AD
【详解】AB．规定向下为正方向，根据
可知全红婵在空中运动的时间为
s
下落前5m的过程所用的时间为则用于姿态调整的时间约为，故A正确，B错误；
C．根据对称性，全红婵先向上减速，到最高点后再到跳台位置，其速度为5m/s，根据速度—位移公式有
解得
故C错误，D正确；
故选AD。
【模型四 自由落体运动和竖直上抛运动】
1．自由落体运动规律
（1）运动特点：初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动，匀变速直线运动的一切推论公式也都适用.
（2）基本公式：
速度公式 v＝gt
位移公式 h＝gt2
速度—位移关系式 v2＝2gh
2．竖直上拋运动规律
（1）运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
（2）基本公式：
速度公式 v＝v0－gt
位移公式 h＝v0t－gt2
速度—位移关系式 v2－v＝－2gh
上升的最大高度 h＝
上升到最大高度时间 t＝
1.解自由落体运动的方法技巧
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用．
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT 2.
2.竖直上抛运动的处理方法
（1）两种方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
（2）巧用竖直上抛运动的对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，如图所示，则：
(1)用全过程解决竖直上抛运动问题时，一定要先规定好正方向(一般以初速度方向为正)，公式h＝v0t＋gt2中各符号的意义必须明确． (2)在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解．
类型1 自由落体运动基本规律的应用
【典例8】（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　）
A． B．
C． D．
重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，
则
【变式8-1】（2025·浙江绍兴·二模）某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处自由落下的一个小石子摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是0.01s，重力加速度g取10m/s2。测得照片中石子运动痕迹的长度为0.8cm，实际长度为100cm的窗框在照片中的长度为4.0cm。根据以上数据估算，石子开始下落的位置距离窗户的高度约为（　　）
A．10m B．20m C．40m D．50m
【答案】B
【详解】设在曝光时间0.01s内石子实际下落的距离为x，则有
解得
在曝光时间0.01s内石子的速度为
石子做自由运动，石子开始下落的位置距离窗户的高度约为
故选B。
【变式8-2】（2025·浙江·一模）用照相机拍摄从某砖墙前的高处自由落下的石子，拍摄到石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上的高度下落，每块砖的平均厚度为，则（　　）
A．图中径迹长度约为
B．A点离释放点的高度约为
C．曝光时石子的速度约为
D．照相机的曝光时间约为
【答案】C
【详解】A．由题图可看出径迹长度约为Δx = 2d = 0.12m
故A错误；
B．A点离释放点的高度约h = 2.5m－0.06 × 8.6m = 1.984m
故B错误；
C．曝光时石子的速度约为
解得
故C正确；
D．由于AB距离较小，故可以近似将AB段做匀速直线运动，故时间为
故D错误。
故选C。
类型2 竖直上抛运动的基本规律
【典例9】（2025·陕西咸阳·模拟预测）某同学用一氦气球悬挂一重物（可视为质点），从地面释放后沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，过了一段时间后，悬挂重物的细线断裂，又经过相同的时间，重物恰好落到地面。已知细线断裂时重物的高度为h，细线断裂后重物仅受到重力作用，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A．细线断裂前重物的加速度大小为
B．细线断裂时重物的速度大小为
C．重物上升的最大高度为
D．重物落地时的速度大小为
设重物匀加速上升的加速度大小为a，时间为t，
由 得 A正确
设细线断裂时重物的速度大小为，
由 得 B错
细线断裂后，上升的高度
由 得 则最大高度 C正确
由 可得， D错误。
【变式9-1】（2025·安徽·三模）巴黎奥运会网球女子单打冠军郑钦文在比赛中将网球竖直向上抛出。已知网球在上升到最高点的过程中，最初0.5s与最后0.5s内上升的高度之比为2∶1，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，则网球抛出的初速度大小为（　　）
A．9m/s B．7.5m/s C．5m/s D．2.5m/s
【答案】B
【详解】网球上升过程中，最后0.5s内上升的高度
网球抛出后最初0.5s内上升的高度
有
解得
故选B。
【变式9-2】（2025·山西吕梁·二模）某物体在一竖直向上的恒定拉力作用下从地面由静止开始竖直向上运动，经过4s到达距离水平地面40m高度处，此时撤掉拉力。不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　）
A．物体前4s内的加速度大小为
B．物体在4s末的速度大小为20m/s
C．物体上升过程中距离地面的最大高度为40m
D．物体从开始运动到落回地面的总时间为
【答案】B
【详解】A．物体做匀加速运动，则有
解得
A错误；
B．由速度公式得
B正确；
C．由位移与速度关系公式得
代入数据解得
所以物体上升过程中离地面的最大高度
C错误；
D．从撤掉拉力到运动至最高点的过程中，由
解得
从最高点落回地面的过程中，，
代入得
故从开始运动到落回地面的总时间
D错误。
故选B。
类型3 自由落体和竖直上抛相遇类问题
相遇类型 分析方法
同时运动 遇位移方程：gt 2 + v0t - gt 2=H,解得t =
上升、下降过程中相遇问题 ①若在a球上升时两球相遇，则有t < ，即 < 。解得v0>
②若在a球下降时两球相遇，则有 < t < ，即 < < 。解得＜v0＜
中点相遇问题 若两球在中点相遇，有 = gt 2, = v0t - gt 2;解得v0=,t=. 此时a球速度va = v0 - gt =- g=0；b球速度vb = gt = g= v0. 交换速度大小。
相遇时速率相等问题 若两球相遇时速率相等，则必然是速度大小相等，方向相反。有gt = v0 - gt，且t = ，联立解得v0=，t =。此时a球下降ha = gt 2 = ；b球上升hb=
【典例10】（2024·河南新乡·一模）时刻，小球甲（视为质点）从地面开始做竖直上抛运动，小球乙（视为质点）从距地面高度为处由静止释放，两小球距地面的高度与运动时间的关系图像如图所示，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．甲的初速度比乙落地时的速度大
B．甲上升过程的平均速度比乙下降过程的平均速度小
C．甲、乙处于同一高度的时刻为
D．甲、乙落地的时间差为
由题图可知，乙由静止释放时距地面的高度与甲上升到最高点时距地面的高度相等，乙由静止释放直到落地与甲由抛出直到上升到最高点所用时间相等，所以，甲的初速度与乙落地时的速度大小相等，甲上升过程的平均速度与乙下降过程的平均速度大小相等，故A、B错误；
C．设甲竖直上抛的初速度为，则当甲、乙到达同一高度时有
得 C正确；
乙落地时甲刚好上升到最高点，所以甲、乙落地的时间差就等于甲从最高点下落到地面所用的时间，
满足得 D错误。
【变式10-1】（2024·江苏镇江·一模）从地面竖直上抛物体甲，与此同时在甲的正上方有一物体乙自由下落，若两物体在空中相遇时速率相等，则（ ）
A．物体甲的初速度的大小是相遇时物体速率的3倍
B．相遇时甲上升的距离是乙下落距离的2倍
C．甲在空中运动时间是乙在空中运动时间的2倍
D．甲落地时的速度是乙落地时速度的2倍
【答案】C
【详解】A．设两物体从下落到相遇的时间为t，竖直上抛甲物体的初速度为，相遇时速度为v，由
解得
故A错误；
B．乙做自由落体，则
相遇时，甲的位移为
可得
故B错误；
C．由A分析可得，甲到最高点时，乙恰好落地，由对称性可知，甲在空中运动时间是乙在空中运动时间的2倍。故C正确；
D．甲下落时间与乙下落时间相等，则根据速度与时间关系可知甲落地时的速度与乙落地时速度相等，故D错误。
故选C。
【变式10-2】（多选）（2025·四川乐山·二模）如图甲，小球A（视为质点）从地面开始做竖直上抛运动，同时小球B（视为质点）从距地面高度为h0处由静止释放，两小球距地面的高度h与运动时间t的关系图像如图乙，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　）
A．A的初速度与B的落地时速度大小相等
B．A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度
C．A、B处于同一高度时距地面
D．A、B落地的时间差为
【答案】AC
【详解】AB．由题图可知，B由静止释放时距地面的高度与A上升到最高点时距地面的高度相等，B由静止释放直到落地与A由抛出直到上升到最高点所用时间相等，所以，A的初速度与B落地时的速度大小相等，A上升过程的平均速度与B下降过程的平均速度大小相等，故A正确，B错误；
C．设A竖直上抛的初速度为v0，则当AB到达同一高度时有，
联立解得，
所以A、B处于同一高度时距地面
故C正确；
D．B落地时A刚好上升到最高点，所以AB落地的时间差就等于A从最高点下落到地面所用的时间，满足
解得
故D错误。
故选AC。
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第1讲 匀变速直线运动的规律及应用
【模型一 匀变速直线运动的基本规律】
类型1 基本公式和速度位移关系式的应用
类型2 平均速度定义式的应用
【模型二 匀变速直线运动的推论及比例式的应用】
类型1 平均速度与中间时刻速度的应用
类型2 位移差公式
类型3 比例式的应用
【模型三 两类匀减速直线运动】
类型1 刹车类问题
类型2 双向可逆类问题
【模型四 自由落体运动和竖直上抛运动】
类型1 自由落体运动基本规律的应用
类型2 竖直上抛运动的基本规律
类型3 自由落体和竖直上抛相遇类问题
【模型一 匀变速直线运动的基本规律】
一般的匀变速直线运动的规律
①速度规律：v＝v0＋at。
②位移规律：x＝v0t＋at2。
③位移速度关系式：v2－v＝2ax。
这三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石。三个公式中的物理量x、a、v0、v均为矢量（三个公式称为矢量式）。在应用时，一般以初速度方向为正方向，凡是与v0方向相同的x、a、v均为正值，反之为负值。当v0＝0时，一般以a的方向为正方向。这样就可将矢量运算转化为代数运算，使问题简化均为矢量式，应用时应规定正方向。
1．公式选取方法
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量) 没有涉及的物理量　 适宜选用的公式
v0、v、a、t x 【速度公式】v＝v0＋at
v0、a、t、x v 【位移公式】x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t 【速度位移关系式】v2－v＝2ax
v0、v、t、x a 【平均速度公式】x＝t
2．应用匀变速直线运动的公式解题时应注意的问题
①首先必须对物体的运动性质和运动过程进行分析和判断，看物体的运动是否为或可视为匀变速直线运动。
②通常选取初速度方向为正方向。
③公式x=v0t+at2是位移公式，利用该公式求得是位移，不是路程。对于往返型的匀变速直线运动，该公式对全程的各个时刻也都是适用的。
④分析物体的运动问题，要养成画物体运动草图的习惯，并在图中标注出有关各量。这样将加深对物体运动过程的理解，有助于发现已知量和未知量之间的相互关系，迅速找到解题的突破口。
⑤如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律．应特别注意各段交接处的速度往往是解题的关键。
⑥末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零、加速度相等的反向匀加速直线运动（逆向思维法）。
⑦计算结果中如果出现负值，应说明负号的物理意义．
类型1　基本公式和速度位移关系式的应用
【典例1】（2025·全国卷·高考真题）我国自主研发的CR450动车组试验时的速度可达450km/h。若以120m/s的初速度在平直轨道上行驶的CR450动车组，匀减速运行14.4km后停止，则减速运动中其加速度的大小为（　　）
A．0.1m/s2 B．0.5m/s2 C．1.0m/s2 D．1.5m/s2
根据题中可以判断无时间t速度位移关系
其中，
代入数据可得减速运动中其加速度的大小
故选B。
【变式1-1】（2025·江苏·高考真题）新能源汽车在辅助驾驶系统测试时，感应到前方有障碍物立刻制动，做匀减速直线运动。内速度由减至0。该过程中加速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2025·河南开封·三模）某质点做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=3t+1（各物理量均采用国际单位制单位），下列关于该质点的说法正确的是（　　）
A．第1s内的位移是5m
B．任意1s内的速度增量都是2m/s
C．前3s内的平均速度是3m/s
D．任意相邻的1s内位移差都是1m
类型2 平均速度定义式的应用
【典例2】（2025·广西·高考真题）某乘客乘坐的动车进站时，动车速度从36km/h减小为0，此过程可视为匀减速直线运动，期间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次，则此过程动车行驶距离约为（ ）
A． B． C． D．
火车运动的时间为
根据平均速度的定义式
代入数据，可知火车共行驶的距离
故选B。
【变式2-1】（2025·四川·高考真题）2025年4月30日，神舟十九号载人飞船成功返回。某同学在观看直播时注意到，返回舱从高度3090m下降到高度2010m，用时约130s。这段时间内，返回舱在竖直方向上的平均速度大小约为（ ）
A．8.3m/s B．15.5m/s C．23.8m/s D．39.2m/s
【变式2-2】（2025·湖北武汉·三模）某场足球比赛中，一球员不小心踢歪了球，足球往边界滚去。足球距离边界35m时，速度，加速度，若将足球的运动看作匀减速直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．足球到达不了边界 B．经过6s，足球越过了边界
C．经过7s，足球恰好到达边界 D．经过8s，足球距离边界3m
【模型二 匀变速直线运动的推论及比例式的应用】
1．匀变速直线运动的三个重要推论
（1）任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。可以推广到：xm－xn＝（m－n）aT 2。
（2）物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：＝ = 。
（3）匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
2.初速度为零的匀变速直线运动的四个比例式
（1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
（2）1T内、2T内、3T内……位移的比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
（3）第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）。
（4）从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶（－1）∶（－）∶…∶（－）。
1.一般解题思路
2.运用比例式的方法
类型1 平均速度与中间时刻速度的应用
【典例3】（2023·山东·高考真题）如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10m/s，ST段的平均速度是5m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为（ ）

A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0.5m/s
设RS间的距离为x，ST间的距离为2x
，，
【变式3-1】（2025·广西·三模）如图是位于南宁市东南郊的两座邕江大桥，近处为公路桥，远处更高大的是铁路桥。公路桥所用吊杆为高强度平行钢丝，吊点等间距分布，相邻吊点之间的水平距离为。一辆汽车正在匀加速通过公路桥，依次经过相邻的1-5号吊杆。设车头以速度经过2号吊杆，经过时间，车头以经过5号吊杆。则汽车的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·广西·高考真题）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时，从2号锥筒运动到3号锥筒用时。求该同学
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒。
类型2 位移差公式
【典例4】（2025·宁夏石嘴山·三模）某物体做匀变速直线传动，依次通过A，B，C，D四个点，通过相邻两点的时间间隔均为2s，已知AB=12m，CD=28m，则下列说法正确的是（　　）
A．物体在BC段的位移大小为22m
B．物体的加速度大小为2m/s2
C．物体通过A点的速度大小为6m/s
D．物体通过C点的速度大小为14m/s
第一步：判断题干是否给出至少两段时间，而且这两段时间是否相等，相等的话还需注意这两段时间的间隔是否可以分成同样相等的几段时间间隔。由题干可知，通过相邻两点的时间间隔均为2s，符合要求。
第二步：运用公式，得xBC=20m，
由, 得
由, 得
【变式4-1】（2023·陕西·一模）一物体从A点由静止开始做匀加速运动，途经B、C、D三点，B、C两点间的距离为，C、D两点间距离为，通过BC段的时间与通过CD段的时间相等，则A、D之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-2】（多选）有一辆汽车在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然看到正前方十字路口有一路障，他立即采取刹车，若刹车后汽车做匀减速直线运动，第内的位移为，第内的位移为，此后继续运动一段时间而未发生事故，下列说法正确的是（　　）
A．汽车做匀减速直线运动的加速度大小为
B．汽车刹车时的初速度大小为
C．汽车从刹车到停止所需时间为
D．汽车刹车后内的位移大小为
类型3 比例式的应用
【典例5】（2025·河北·模拟预测）如图所示，将盒子从O点抛出，盒子从O点开始做匀减速直线运动，刚好停在e点。a、b、c、d、e相邻两点间距离相等，盒子从d点运动到e点的时间为1s，盒子可视为质点。则（　　）
A．盒子从a点运动到b点的时间为1s
B．盒子从a点运动到d点的时间为1s
C．盒子运动到a点的速度是d点的速度的4倍
D．盒子运动到a点的速度是c点的速度的2倍
第一步：判断是否为初速度为0或末速度为0的匀变速直线运动，再判断是时间相等还是位移相等。由题可知为末速度为零的匀减速直线运动，且是位移相等所以比例式可用。
第二步：可把速度比和时间比画在图上，如图
第三步：由，得
由，得
【变式5-1】（2025·江西·模拟预测）如图，若滑板运动员停止运动前的滑行可近似简化为匀变速直线运动，通过某一段距离AB的平均速度大小为9 m/s，最后停在 C点，已知： 则该运动员经过BC段的平均速度大小为（　　）
A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s
【变式5-2】（多选）（2025·河北·二模）如图所示，一可视为质点的物体沿一足够长的光滑斜面向上滑行，从某时刻开始计时，第一个t内的位移为s，第三个t内的位移为零，下列说法正确的是（　　）
A．第二个t内该物体的位移为
B．该物体的加速度大小为
C．计时起点物体的速度大小为
D．该物体第二个t末的速度大小为
【变式5-3】（多选）（2024·山东日照·二模）如图所示，四块相同的混凝土实心砖并排固定在水平地面上，子弹以水平速度从P点射入实心砖中，到达Q点时的速度恰好为零。假设子弹在混凝土实心砖中做匀减速直线运动，且运动的总时间为t。下列说法正确的是（　　）
A．子弹刚穿过第2块砖时的速度大小为
B．子弹刚穿过第3块砖时的速度大小为
C．子弹穿过第2块砖所用的时间为
D．子弹穿过第3块砖所用的时间为
【模型三 两类匀减速直线运动】
1.刹车类问题。汽车刹车问题的实质是汽车做单方向匀减速直线运动问题。汽车匀减速到速度为零后即停止运动，不再反向加速，求解时要注意确定其实际运动时间，汽车运动时间满足t ≤ ，发生的位移满足x ≤ 。一般用逆向思维法求解。
2.双向可逆类问题。如果物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，且全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
逆向思维法
末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题均可以利用逆向思维法求解。
（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v，加速度为a，则时间t内的位移也可以逆向表示为x = vt -at2。
类型1 刹车类问题
【典例6】（2025·黑龙江·模拟预测）2024年11月25日至27日，黑龙江省大部分地区出现了一次大范围的降雪，给人们的出行造成了一定的影响。一辆卡车在冰雪路面上以的速度匀速行驶，由于前方出现事故司机紧急刹车，假设刹车过程做匀减速直线运动，已知刹车的加速度大小，则下列说法中正确的是（ ）
A．刹车后第1s内的位移为8m B．刹车后5s内卡车前进的距离为18.75m
C．刹车后5s内的平均速度为4m/s D．刹车后6s末的瞬时速度大小为5m/s
第一步：判断是否是刹车问题，刹车问题可以用逆向思维法：看做初速度为零的反向匀加速直线运动。由题可知刹车的时间
第二步：由 得 A错
由于，由逆向思维法 得 B错
由 得 C正确
由于，则刹车后6s末的瞬时速度大小为零 D错
【变式6-1】（2025·山东临沂·一模）一辆公共汽车以初速度14m/s进站后开始刹车，做匀减速直线运动直到停下。刹车后3s内的位移与最后3s内的位移之比是，则刹车后4s内通过的距离与刹车后3s内通过的距离之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·山东潍坊·二模）某人骑电动车，在距离十字路口停车线6m处看到信号灯变红，立即刹车，做匀减速直线运动，电动车刚好在停止线处停下。已知电动车在减速过程中，第1s的位移是最后1s位移的5倍，忽略反应时间。下列关于电动车的刹车过程说法正确的是（　　）
A．刹车时间为2s
B．刹车的加速度大小为
C．中间时刻的速度大小为
D．中间位置的速度大小为
类型2 双向可逆类问题
【典例7】（多选）一物体以5 m/s的初速度在光滑斜面上向上匀减速运动，其加速度大小为2 m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4 m，则时间t可能为（　　）
A．2 s B．3 s C．4 s D．s
第一步：判断物体的运动是否为先匀减速至0再反向匀加速，且加速度不变的运动。由题可知符合双向可逆问题，可全过程列式。
第二步：由
当x=4m时，得 解得
当x= -4m时，得- 解得
【变式7-1】（多选）在某高塔顶层的墙外侧，以的速度竖直上抛一个小石子（小石子可看成质点），忽略空气阻力，当小石子运动到离抛出点15m时，运动时间可能是（　　）
A．2s B．3s C．4s D．
【变式7-2】（多选）在巴黎奥运会跳水项目女子10米跳台决赛中，中国选手全红婵以425.60的总得分夺冠。全红婵在进行10米跳台跳水时，以5m/s的速度向上起跳，在空中完成规定动作并调整好入水姿态，入水后做匀减速直线运动，入水最大深度为4.5m。不计空气阻力，全红婵可视为质点，取重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．全红婵在空中运动的时间为2.0s B．全红婵在空中运动的时间为1.5s
C．全红婵落水后的加速度大小为50m/s D．全红婵落水后的加速度大小为25m/s
【模型四 自由落体运动和竖直上抛运动】
1．自由落体运动规律
（1）运动特点：初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动，匀变速直线运动的一切推论公式也都适用.
（2）基本公式：
速度公式 v＝gt
位移公式 h＝gt2
速度—位移关系式 v2＝2gh
2．竖直上拋运动规律
（1）运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
（2）基本公式：
速度公式 v＝v0－gt
位移公式 h＝v0t－gt2
速度—位移关系式 v2－v＝－2gh
上升的最大高度 h＝
上升到最大高度时间 t＝
1.解自由落体运动的方法技巧
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用．
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT 2.
2.竖直上抛运动的处理方法
（1）两种方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
（2）巧用竖直上抛运动的对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，如图所示，则：
(1)用全过程解决竖直上抛运动问题时，一定要先规定好正方向(一般以初速度方向为正)，公式h＝v0t＋gt2中各符号的意义必须明确． (2)在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解．
类型1 自由落体运动基本规律的应用
【典例8】（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　）
A． B．
C． D．
重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，
则
【变式8-1】（2025·浙江绍兴·二模）某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处自由落下的一个小石子摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是0.01s，重力加速度g取10m/s2。测得照片中石子运动痕迹的长度为0.8cm，实际长度为100cm的窗框在照片中的长度为4.0cm。根据以上数据估算，石子开始下落的位置距离窗户的高度约为（　　）
A．10m B．20m C．40m D．50m
【变式8-2】（2025·浙江·一模）用照相机拍摄从某砖墙前的高处自由落下的石子，拍摄到石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上的高度下落，每块砖的平均厚度为，则（　　）
A．图中径迹长度约为
B．A点离释放点的高度约为
C．曝光时石子的速度约为
D．照相机的曝光时间约为
类型2 竖直上抛运动的基本规律
【典例9】（2025·陕西咸阳·模拟预测）某同学用一氦气球悬挂一重物（可视为质点），从地面释放后沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，过了一段时间后，悬挂重物的细线断裂，又经过相同的时间，重物恰好落到地面。已知细线断裂时重物的高度为h，细线断裂后重物仅受到重力作用，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A．细线断裂前重物的加速度大小为
B．细线断裂时重物的速度大小为
C．重物上升的最大高度为
D．重物落地时的速度大小为
设重物匀加速上升的加速度大小为a，时间为t，
由 得 A正确
设细线断裂时重物的速度大小为，
由 得 B错
细线断裂后，上升的高度
由 得 则最大高度 C正确
由 可得， D错误。
【变式9-1】（2025·安徽·三模）巴黎奥运会网球女子单打冠军郑钦文在比赛中将网球竖直向上抛出。已知网球在上升到最高点的过程中，最初0.5s与最后0.5s内上升的高度之比为2∶1，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，则网球抛出的初速度大小为（　　）
A．9m/s B．7.5m/s C．5m/s D．2.5m/s
【变式9-2】（2025·山西吕梁·二模）某物体在一竖直向上的恒定拉力作用下从地面由静止开始竖直向上运动，经过4s到达距离水平地面40m高度处，此时撤掉拉力。不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　）
A．物体前4s内的加速度大小为
B．物体在4s末的速度大小为20m/s
C．物体上升过程中距离地面的最大高度为40m
D．物体从开始运动到落回地面的总时间为
类型3 自由落体和竖直上抛相遇类问题
相遇类型 分析方法
同时运动 遇位移方程：gt 2 + v0t - gt 2=H,解得t =
上升、下降过程中相遇问题 ①若在a球上升时两球相遇，则有t < ，即 < 。解得v0>
②若在a球下降时两球相遇，则有 < t < ，即 < < 。解得＜v0＜
中点相遇问题 若两球在中点相遇，有 = gt 2, = v0t - gt 2;解得v0=,t=. 此时a球速度va = v0 - gt =- g=0；b球速度vb = gt = g= v0. 交换速度大小。
相遇时速率相等问题 若两球相遇时速率相等，则必然是速度大小相等，方向相反。有gt = v0 - gt，且t = ，联立解得v0=，t =。此时a球下降ha = gt 2 = ；b球上升hb=
【典例10】（2024·河南新乡·一模）时刻，小球甲（视为质点）从地面开始做竖直上抛运动，小球乙（视为质点）从距地面高度为处由静止释放，两小球距地面的高度与运动时间的关系图像如图所示，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．甲的初速度比乙落地时的速度大
B．甲上升过程的平均速度比乙下降过程的平均速度小
C．甲、乙处于同一高度的时刻为
D．甲、乙落地的时间差为
由题图可知，乙由静止释放时距地面的高度与甲上升到最高点时距地面的高度相等，乙由静止释放直到落地与甲由抛出直到上升到最高点所用时间相等，所以，甲的初速度与乙落地时的速度大小相等，甲上升过程的平均速度与乙下降过程的平均速度大小相等，故A、B错误；
C．设甲竖直上抛的初速度为，则当甲、乙到达同一高度时有
得 C正确；
乙落地时甲刚好上升到最高点，所以甲、乙落地的时间差就等于甲从最高点下落到地面所用的时间，
满足得 D错误。
【变式10-1】（2024·江苏镇江·一模）从地面竖直上抛物体甲，与此同时在甲的正上方有一物体乙自由下落，若两物体在空中相遇时速率相等，则（ ）
A．物体甲的初速度的大小是相遇时物体速率的3倍
B．相遇时甲上升的距离是乙下落距离的2倍
C．甲在空中运动时间是乙在空中运动时间的2倍
D．甲落地时的速度是乙落地时速度的2倍
【变式10-2】（多选）（2025·四川乐山·二模）如图甲，小球A（视为质点）从地面开始做竖直上抛运动，同时小球B（视为质点）从距地面高度为h0处由静止释放，两小球距地面的高度h与运动时间t的关系图像如图乙，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　）
A．A的初速度与B的落地时速度大小相等
B．A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度
C．A、B处于同一高度时距地面
D．A、B落地的时间差为
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