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第三讲：充满活力的韦达定理（含答案）
初中数学培优与竞赛
在初中数学竞赛中，韦达定理（根与系数的关系）是最“活力十足”、应用最灵活的工具。相比于求根公式、判别式，韦达定理无需解方程、无需开根号，直接通过两根和、两根积搭建根与参数的桥梁。
竞赛中90%的二次方程压轴题（代数式求值、整数根、参数范围、对称轮换、双变量构造）都可依靠韦达定理秒杀。本文系统梳理竞赛五大核心模型、万能变形公式、易错点，并配套竞赛压轴真题（含完整解析），可直接用于冲刺训练。
一、核心公式（竞赛必背）
设一元二次方程 的两根为 ，且方程有实数根（），则：
竞赛高频对称恒等式（直接套用）
所有对称式求值，全部转化为“和+积”结构，无需单独求根：
竞赛铁律：只要式子关于两根对称，一律用韦达整体代换，拒绝单根代入。
二、五大竞赛核心解题模型（万能套路）
模型一：对称代数式求值（初赛必考）
套路：遇对称式→化和积→整体代入→秒出结果。
例：已知 是 两根，求 。
解：
模型二：利用韦达求参数（根的约束条件）
套路：给出两根关系（平方和、倒数和、差的绝对值）→列和积方程→解参数→必验判别式。
这是竞赛最大易错点：韦达算出的参数，不一定保证方程有实根，必须带回 检验取舍。
模型三：整数根竞赛模型（高频压轴）
套路：方程两根均为整数
1. 设两根 为整数；
2. 写出；
3. 两式消参，构造整数因式分解；
4. 枚举因数求解。
优势：比判别式法更快、不漏解，是联赛整数根最优解法。
模型四：逆向构造方程（高阶技巧）
套路：已知两数 ，求含 复杂式的值
若可算出 ，则 是方程 的两根，实现降次化简。
模型五：双变量轮换最值（联赛压轴）
两变量满足二次等式，将其视为一元二次方程，韦达+判别式联用，锁定取值范围与最值。
三、竞赛专属易错黑名单（必看）
易错1：忘记检验判别式 ，导致参数多解、错解；
易错2：符号错误：，负号最容易丢；
易错3：非对称式强行套用韦达，必须先变形为对称结构；
易错4：整数根只看判别式，不用韦达因式分解，容易漏解。
四、竞赛压轴真题（5道拔高+全解析）
精选初中数学联赛、重点中学自招同难度压轴题，覆盖本文五大模型，每题标准竞赛解法，可直接刷题复盘。
压轴1（参数取舍·经典坑题）
已知 是方程 的两实根，且 ，求 。
解析：
由韦达：
由题意：
化简：，解得 或
检验判别式：
故舍去 ，得
答案：k=1
压轴2（整数根·联赛高频）
已知方程 有两个整数根，求整数 。
解析：
设两根为整数 ，则：
两式消去 ：
移项因式分解：
7为质数，整数分解：
解得两组有效整数根：
①
②
答案：a=0 或 a=16
压轴3（高次对称求值·降次秒杀）
已知 是方程 的两根，求 的值。
解析：
立方和公式：
答案：36
压轴4（两根差最值·自招压轴）
已知关于 的方程 ，求两根之差的绝对值 。
解析：
韦达代入：
结论：无论m取何值，两根差恒为定值2
答案：2
压轴5（逆向构造·竞赛拔高）
已知实数 满足 ，且 ，求 的值。
解析：
由结构可知：是方程 的两根
答案：-11
压轴6（根式韦达化简·省赛真题）
（2023四川眉山初中竞赛）已知 是一元二次方程 的两根，求 的值。
详细解析：
由韦达定理得：。
由和为负、积为正，可判断 。
原式根式化简（负数开方变形）：
代入 得：原式
考点点拨：韦达定理不仅求值，可快速判断根的正负，规避根式化简符号错误（竞赛高频坑点）。
压轴7（质数整数根·全国联赛真题）
已知质数 是方程 的两个根，求 的值。
详细解析：
由韦达定理：。
13为奇数，只能拆分为“奇数+偶数”，唯一偶质数为2。
因此两根为 和 。
由平方和公式：
答案：125
考点点拨：韦达结合质数奇偶性分析，是初中联赛独特考法，秒杀整数根难题。
压轴8（双方程同构·经典国赛真题）
（全国初中数学竞赛）已知实数 满足 ，，且 ，求 的值。
详细解析：
观察结构，对 两边同除 ：
，即
结合 且 ，
可知 是方程 两根。
由韦达：
待求式变形：
由 得；由 ，
整体代入化简得结果为 。
答案：-5
考点点拨：同构构造方程是韦达定理最高阶技巧，适用于双方程异形结构题。
压轴9（双变量最值·福建大梦杯真题）
已知实数 满足 ，求 的值。
详细解析：
由题意， 为方程 两根，
韦达得：。
由方程变形：
原式
答案：9
考点点拨：根的定义降次+韦达整体代换，两步秒杀自招题型。
压轴10（参数精准取舍·联赛高频易错）
已知方程 两实根平方和为4，求 的值。
详细解析：
韦达：
平方和：
列方程：，化简得
解得 。
判别式检验：
故舍去 ，仅保留 。
压轴11（整数根构造·高难枚举）
已知方程 两根为正整数，且满足 ，求方程的两根。
详细解析：
设正整数根为 ，则 。
代入条件：
因式分解：
29为质数，正整数分解 。
故 ，得两根 （舍去，非正）；
唯一合规正整数根：。
答案：两根为2和13
五、全文总结
韦达定理之所以充满竞赛活力，核心在于整体代换、规避求根、结构转化。绝大多数竞赛二次方程难题，不需要解出复杂带根号的根，只需要通过和、积的对称结构变形，结合判别式约束、整数因式分解，即可轻松破题。掌握本文五大模型+对称公式+全部压轴真题，可全覆盖初中竞赛韦达定理所有考法，从容应对初赛、复赛及重点中学自招考试。
六、例题求解
【例1】 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 。
思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化
【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为( )
A、 B、或2 C、 D、或2
思路点拨：可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于的方程：
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、。
思路点拨：对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值 并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根。
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形 并说明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。
注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
学力训练
1、(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是 。
(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是 。
2、已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 。
3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是 。
4、设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是( )
A． B． C．5 D．2
6、方程恰有两个正整数根、，则的值是( )
A．1 B．-l C． D．
7、若关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式：，判断是否正确
8、已知关于的方程。
当是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根、满足：，求的值。
9、已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为 。
10、已知、是方程的两个根，则的值为 。
11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是 。
12、两个质数、恰好是整系数方程的两个根，则的值是( )
A．9413 B． C． D．
13、设方程有一个正根，一个负根，则以、为根的一元二次方程为( )
A． B．
C． D．
14、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1
15、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程的两个根。
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．
16、设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、。
若，求m的值。 （2）求的最大值。
17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。
18、设、、为三个不同的实数，使得方程和和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值。
例题求解答案
例1 . 0 原式
例2 选B 当 时，原式 当 为方程 的两个根， 只能为2或11，原式
例3 则 或
①若则 得
②若 则 得
例4. 由 得
时， 取得最小值, 且最小值为
例5. (1)当 时， 故四边形 是平行四边形，当 时 又 而 故四边形 是梯形.
解得 从而
【学力训练答案】
2. -3 3. 6 4.C
7. 由条件得
又 即 从而 即
8. 由 知 同号，分 及 情况讨论，得
9. 30，2
10. 5 设 由 及 得
11. .设另两边为 则由 及 解得
12. B 为2.97，
13. C
14. C 设三根为 则 由 得 解得
15.
( 由 得
又 得 设 则
即 解得 故
16. 得 ,结合题设知
解得 由子 故
(2) 原式 )
当 时， 的最大值为10.
17. 即 把①代人②得
又由 得 把①代入③,得 从而得 或4.
18. 得 同理,由 得 故 另一方面由韦达定理知 是第一个方程的根, 这就表明 是方程 和 的公共根.因此两式相减有 但当 时，这两个方程无实根，故 从而 于是 所以， 3.
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