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课题名称:相似三角形小结与评价
第一章 相似三角形
初中数学
学习目标
能根据已知条件灵活选择判定定理证明三角形相似.
02
梳理相似三角形的知识结构,理解比例,判定,性质,位似之间的内在联系.
01
能运用相似三角形的性质求线段长和面积,解决综合问题.
03
能利用相似知识解决简单的实际问题,发展空间观念与推理能力.
04
知识图谱
思考回顾
比例的基本性质是:如果(或),那么;反过来也成立.
四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,这四条线段就叫做成比例的线段.
1.比例的基本性质是什么 什么是成比例的线段
思考回顾
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
2.平行线分线段成比例的基本事实是什么
对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
3.什么样的两个多边形叫作相似多边形 相似比是什么
思考回顾
判定两个三角形相似的方法有:①两角分别相等(AA);
②两边成比例且夹角相等(SAS);③三边成比例(SSS).
全等三角形是相似比为1的相似三角形,所以全等三角形一定相似.
4.如何判定两个三角形相似 全等三角形相似吗
思考回顾
相似三角形的对应角相等,对应边成比例;对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比;周长比等于相似比;面积比等于相似比的平方.
5.相似三角形具有哪些性质
思考回顾
如果两个相似多边形的对应顶点连线相交于同一点,并且对应边互相平行(或在同一直线上),那么这两个多边形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心.
6.什么叫作位似图形
探究新知
注意事项:
1.在判定两个三角形相似时,要注意边、角的对应关系,全等三角形是相似比为1的相似三角形;
2.两边成比例且其中一组对应边的对角相等的两个三角形不一定相似;
3.利用相似三角形的知识解决实际问题时,关键是找出或构造相似三角形，然后利用相似三角形的对应边成比例或对应角相等解决问题;
4.位似图形是特殊的相似图形.两个图形位似,除满足相似之外,在位置上也有一定的要求：两个图形位似,其对应点的连线相交于一点,对应线段平行(或在同一条直线上).
重点探究
探究一:相似三角形的判定
知识点:1.两角分别相等(AA):两三角形的两个角对应相等→相似
2.两边成比例且夹角相等(SAS):两组边成比例且夹角相等→相似
3.三边成比例(SSS):三组边对应成比例→相似
注意:全等三角形是相似比为1的相似三角形
例1 判定下列三角形是否相似,并说明理由:
(1) 中中
重点探究
探究一:相似三角形的判定
解
两个角对应相等,所以
(2) 中中
解
两组边成比例且夹角相等,所以
重点探究
探究一:相似三角形的判定
(3) 中中
解
三边对应成比例,
所以
探究新知
方法总结:
1.已知两角相等→用AA判定(优先考虑);
2.已知两边和夹角→用SAS判定;
3.已知三边→用SSS判定;
4.注意边角的对应关系,全等是相似的特例(相似比
探究新知
探究二:相似三角形的性质
知识点:
1.对应边成比例,对应角相等;
2.对应线段(高,中线,角平分线)的比等于相似比;
3.周长比相似比,面积比=相似比2.
探究新知
探究二:相似三角形的性质
解:因为面积比=相似比2
所以.
例2 综合应用:
(1)已知相似比为的面积为8,求的面积.
探究新知
探究二:相似三角形的性质
解因为
所以
因为
所以,
所以.
例2 综合应用:(2)如图,在中在上,在上,
求的长.
探究新知
方法总结:
1.求线段长度:利用相似比对应边之比
2.求面积:面积比=相似比2注意先求相似比)
3.平行线构造相似
4.注意对应关系,找准对应边和对应角
课堂练习
C
C
A
1.下列说法正确的是( )
A.两个矩形一定相似 B.两个菱形一定相似
C.两个正方形一定相似 D.两个等腰三角形一定相似
2.已知相似比为3:4,则它们的面积比为( )
A.3:4 B.4:3 C.9:16 D.16:9
3.在中在AB上,E在AC上,若
则( )
A.2:3 B.3:2 C.2:5 D.3:5
课堂练习
5:3
36
4.两个相似三角形的最长边分别为10和6,则它们的相似比为 .
5.已知的周长为12,相似比为1:3,则的周长为 .
6.如图,在平行四边形中,是的中点,交的延长线于,求的值.
课堂练习
解:因为是平行四边形,
所以且
因为E是BC中点,所以
由得
所以即
又所以
故即
课堂练习
7.已知和的面积分别为4和9,且的周长为8,求的周长.
解:面积比相似比
周长比相似比
周长
课堂练习
8.如图,在中D是BC中点,E,F分别在AB,AC上,且求的面积.
解:以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立坐标系.
则.
设则.
因为所以
解得
所以
课堂小结
知识点:
1.比例线段与平行线分线段成比例
2.相似三角形的判定:
3.相似三角形的性质:对应边成比例,面积比=相似比2
4.位似图形:对应点连线交于一点
5.全等是相似的特例(相似比
知识梳理
课后提升
基础作业:
1.下列图形一定相似的是( )
A.两个矩形 B.两个菱形 C.两个正方形 D.两个平行四边形
相似比为2:3,则面积比为( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
3.两个相似多边形的对应边之比为3:5,则它们的周长比为 .
相似比为1:2,若的面积为12,则的面积为 .
C
D
3:5
3
课后提升
5.在中则 .
6.如图,在中于D,求AD的长.
基础作业:
8
解因为
所以
所以
所以
课后提升
7.下列条件能判定的是( )
A. ;
B. ;
C. ; D.以上都正确.
的面积为的面积为16,的周长为10,则的周长为( )
A.20 B.40 C.10 D.5
9.如图
则 =
能力提升:
D
A
4:5
课后提升
能力提升:
10.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD的中点,AE与BF相交于G,求证
证明:设正方形边长为2a,E是BC中点F是CD中点
中中
所以
所以
又所以
即
课后提升
拓展作业:
11.如图,在中D是AB上一点过D作交AC于E,再过E作交BC于F,求四边形DBFE的面积.
解:因为
所以相似比
所以
所以
所以
课后提升
拓展作业:
所以相似比
课后提升
拓展作业:
解
课后提升
拓展作业:
12.如图,在矩形ABCD中将矩形折叠使A与C重合,求折痕EF的长.
解:折叠后A与C重合,所以折痕EF是AC的垂直平分线.
设AC与EF交于点O,则O是AC中点
课后提升
拓展作业:
以A为原点建立坐标系:,则.
直线AC的斜率为
所以EF的斜率为.
EF的方程为
令得;令得.
Thanks!
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