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26.1二次函数的概念
二次函数的定义及相关概念
1.(2026合肥瑶海区期中)下列函数中,一定是关于x的二次函数的是 (　　)
A.y=ax2+bx+c B.y=2x-3
C.y=x2- D.y=3x2+x-2
2.二次函数y=5x2-4x+2的一次项系数是 (　　)
A.-4 B.4
C.-1 D.1
3.已知关于x的函数y=ax2+3x-x2+1是二次函数,则a的取值范围是　　　　.
4.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
y=-0.9x2+2x-3
y=-2x2-7
y=-x2+x
y=(x+1)(x-1)+1
5.已知二次函数y=2x2-3x-2.
(1)当x=-时,y的值为多少
(2)当x为多少时,y的值为0
根据实际问题列二次函数解析式
6.在下列4个不同的情境中,y与x所满足的函数关系属于二次函数的是 (　　)
A.正方形的周长y与边长x　
B.速度v一定时,路程y与时间x　
C.正方形的面积y与边长x　
D.三角形的高h一定时,面积y与底边长x
7.已知某种产品的成本价为30元/kg,经市场调查发现,该产品每天的销售量y(单位:kg)与销售价x(单位:元/kg)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w(单位:元),则w关于x的函数解析式为 (　　)
A.w=(x-30)(-2x+80)
B.w=x(-2x+80)
C.w=30(-2x+80)
D.w=x(-2x+50)
8.小李家用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园,如图所示.
(1)写出这块菜园的面积y(单位:m2)关于垂直于墙的边长x(单位:m)的函数解析式.
(2)直接写出x的取值范围.
忽视二次函数解析式中二次项系数不为0
9.(2026南京鼓楼区月考)若y=(m-2)·+3x是关于x的二次函数,则m的值为　　　　.
1.对于二次函数y=(x+1)(1-x)-2的二次项系数a、一次项系数b和常数项c,下列描述正确的是 (　　)
A.a=-1,b=-1,c=0
B.a=-1,b=0,c=1
C.a=-1,b=0,c=-1
D.a=1,b=0,c=-1
2.关于x的函数y=(a2+2a+3)x2+3ax+1,甲说:“此函数不一定是二次函数.”乙说:“此函数一定是二次函数.”丙说:“此函数是不是二次函数与a的取值有关.”则下列判断正确是 (　　)
A.甲的说法正确　　 B.乙的说法正确
C.丙的说法正确 D.三人的说法都不正确
3.(2026重庆沙坪坝区期中)为了迎接体考,小南坚持每天进行跳绳练习.本周五她参与了学校的志愿服务活动,跳绳量比周四减少了50%.为补上周五缺失的练习,小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量,设日均增长率为x,若小南周四跳绳量为500个,则小南周日跳绳量y关于x的函数解析式为 (　　)
A.y=500(1+50%)(1+x)
B.y=500(1-50%)(1+x)
C.y=500(1-50%)(1+x)2
D.y=500(1+50%)(1+x)2
4.观察:①y=6x2;②y=-3x2+5;③y=200x2+400x+200;④y=x3-2x;⑤y=x2-+3;⑥y=(x+1)2-x2.在这六个函数中,是二次函数的有　　　　.(填序号)
5.已知一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆,下部是一个矩形,且矩形的一条边长为2.5 m.
(1)写出隧道截面的面积y(单位:m2)关于截面上部半圆的半径x(单位:m)的函数解析式.
(2)当隧道截面上部半圆的半径为2 m时,隧道截面的面积约是多少 (结果精确到0.1 m2,π取3.14)
6.(几何直观)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度运动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度运动(不与点C重合).如果点P,Q分别从点A,B 同时出发,设运动的时间为x s,四边形APQC的面积为y cm2.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)求自变量x的取值范围.
(3)四边形APQC的面积能否等于172 cm2 若能,求出运动的时间;若不能,请说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.D　2.A　3.a≠1
4.解:填表如下:
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
y=-0.9x2+2x-3 -0.9 2 -3
y=-2x2-7 -2 0 -7
y=-x2+x -1 1 0
y=(x+1)(x-1)+1 1 0 0
5.解:(1)把x=-代入y=2x2-3x-2,得y=2×-3×-2=.(2)当y=0时,即2x2-3x-2=0,
解得x1=2,x2=-.
故当x为2或-时,y的值为0.
6.C　7.A
8.解:(1)∵垂直于墙的边长为x m,
∴平行于墙的边长为(40-2x)m.
∴这块菜园的面积y(单位:m2)关于垂直于墙的边长x(单位:m)的函数解析式为y=x(40-2x)=-2x2+40x.
(2)x的取值范围是09.-2　解析:∵y=(m-2)+3x是关于x的二次函数,∴m2-2=2且m-2≠0,
解得m=-2.
能力提升
1.C　解析:∵y=(x+1)(1-x)-2=1-x2-2=-x2-1,∴a=-1,b=0,c=-1.故选C.
2.B　解析:对a2+2a+3配方可得(a+1)2+2,∵无论a取何值,(a+1)2≥0,∴(a+1)2+2≥2,∴a2+2a+3≥2≠0.∴无论a取何值,该函数一定是二次函数.∴乙的说法正确.故选B.
3.C　解析:∵小南周四跳绳量为500个,
∴周五跳绳量为500(1-50%)个,
又周六、周日两天日均增长率为x,
∴周日跳绳量为500(1-50%)(1+x)2个,
∴y=500(1-50%)(1+x)2.故选C.
4.①②③
5.解:(1)∵隧道截面上部半圆的半径为x m,
∴下部矩形的另一边长为2x m,
∴隧道截面的面积y=πx2+2x×2.5,
即y=πx2+5x.
(2)当x=2时,隧道截面的面积为
y=×π×22+5×2=2π+10≈16.3(m2).
6.解:(1)∵运动的时间为x s,点P的速度为2 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,
∴PB=(12-2x)cm,BQ=4x cm.
∴y=×12×24-(12-2x)×4x=4x2-24x+144.
(2)由题意,得
解得0(3)不能.理由如下:
令y=172,则4x2-24x+144=172,
解得x1=7,x2=-1.
∵0∴x1=7,x2=-1均不符合题意.
∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.

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