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第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-3)2(a≠0)的图象可能是 (　　)
　　
A　　　　　　　B
　　
C　　　　　　　D
2.抛物线y=2(x-1)2的顶点坐标是 (　　)
A.(1,0) B.(-1,2)
C.(2,1) D.(-1,0)
3.已知A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=-(x+1)2上,如果x1A.0C.y14.已知抛物线y=-(x+1)2.
(1)写出此抛物线的对称轴.
(2)完成下表:
x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 …
y … -9 -1 …
(3)请在平面直角坐标系中描点画出此抛物线.
5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴是x=-2,且过点(1,-3).
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)x在什么范围内,y随x的增大而减小 该函数有最大值还是有最小值 求出这个最值.
抛物线y=a(x-h)2的平移
6.抛物线y=(x+2)2可以由抛物线y=x2经过以下哪种方式平移得到 (　　)
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
7.将抛物线y=(x+m)2向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+1)2,则m的值为　　　　.
二次函数增减性相关的易错
8.已知二次函数y=2(x-h)2.
(1)若x>3时,y随x的增大而增大,则h的取值满足　　　　.
(2)若x<3时,y随x的增大而减小,则h的取值满足　　　　.
1.已知二次函数y=-(x-2)2的图象上有A,B(3,y2),C(4,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　)
A.y1C.y12.平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-1)2的一个公共点坐标为(-1,2),则另一个公共点的坐标为 (　　)
A.(3,2) B.(1,2)
C.(1,-2) D.(-1,1)
3.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=(x-m)2与一次函数y=mx+m的图象可能是 (　　)
　　
A　　　　　　　　B
　　
C　　　　　　　　D
4.(2026庆阳镇原县期中)若抛物线y=-(x-3)2向左平移m(m>0)个单位长度后,经过点(1,-4),则m的值为 (　　)
A.1 B.2
C.4 D.0或4
5.二次函数y=(x-m)2的图象如图所示,且OA=OC,求该函数的解析式.
6.已知二次函数y=a(x+m)2的图象过点A,且顶点坐标为(-1,0).
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)点B(-3,-2)在这个函数的图象上吗
(3)已知点C(2,-2)不在这个函数的图象上,你能通过左右平移函数图象,使它经过点C吗 若能,请写出平移方案;若不能,请说明理由.
7.(模型观念)已知抛物线y=2(x-1)2的顶点为A,且与y轴交于点B.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)点P在抛物线上且在第一象限,S△PAB=2,求点P的坐标.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.A　3.C
4.解: (1)抛物线的对称轴为x=-1.
(2)表格填写如下:
x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(3)描点画图,得抛物线如图所示:
5.解:(1)∵抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,
∴抛物线对应的函数解析式为y=a(x+2)2.
又∵抛物线过点(1,-3),
∴-3=a(1+2)2,
即9a=-3,解得a=-.
∴这个二次函数的解析式为y=-(x+2)2.
(2)∵a=-<0,
∴抛物线的开口向下,顶点为(-2,0),在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
∴当x>-2时,y随x的增大而减小,该函数有最大值,最大值为0.
6.C　7.3
8.(1)h≤3　(2)h≥3
能力提升
1.C　解析:∵二次函数y=-(x-2)2的图象开口向下,对称轴为x=2,∴图象上的点距离对称轴越近,函数值越大.∵=,|3-2|=1,|4-2|=2,1<2<,∴y12.A　解析:∵抛物线y=a(x-1)2的对称轴为x=1,∴点(-1,2)关于对称轴的对称点为(3,2).∴平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-1)2的另一个公共点的坐标为(3,2).故选A.
3.C　解析:∵一次函数y=mx+m=m(x+1),∴一次函数的图象过点(-1,0),故选项A,D不合题意;B.由一次函数y=mx+m的图象可得m<0,由二次函数y=(x-m)2图象的顶点为(m,0)可得m>0,矛盾,故不合题意;C.由一次函数y=mx+m的图象可得m>0,由二次函数y=(x-m)2图象的顶点为(m,0)可得m>0,一致,故符合题意.故选C.
4.C　解析:抛物线y=-(x-3)2向左平移m(m>0)个单位长度后,得到的抛物线对应的函数解析式是y=-(x-3+m)2,将(1,-4)代入,得-4=-(1-3+m)2,解得m=4或m=0(舍去).故选C.
5.解:∵二次函数y=(x-m)2图象的对称轴为x=m(m>0),
∴OC=m.
当x=0时,y=(x-m)2=m2,
∴OA=m2.
又∵OA=OC,∴m=m2,
解得m1=0(不符合题意,舍去),m2=2.
∴该函数的解析式为y=(x-2)2.
6.解:(1)∵二次函数y=a(x+m)2图象的顶点坐标为(-1,0),∴m=1.
∴y=a(x+1)2.
把点A代入,得a=-.
∴这个二次函数的解析式为y=-(x+1)2.
(2)把x=-3代入y=-(x+1)2,得
y=-×(-3+1)2=-2.
∴点B(-3,-2)在这个函数的图象上.
(3)能.
根据题意,设平移后的二次函数解析式为y=-(x+1+n)2.
把点C(2,-2)代入,得
-2=-(2+1+n)2.
解得n1=-1,n2=-5.
∴将二次函数y=-(x+1)2的图象向右平移1个单位长度或5个单位长度即可经过点C.
7.解:(1)∵二次函数的解析式为y=2(x-1)2,
∴顶点A的坐标为(1,0).
在函数y=2(x-1)2中,
∵当x=0时,y=2,
∴点B的坐标为(0,2).
(2)由(1)知点A(1,0),B(0,2),
∴OA=1,OB=2.
∵y=2(x-1)2=2x2-4x+2,
∴设点P(t,2t2-4t+2)(t>0).
如图,过点P作PC⊥x轴于点C.
∴PC=2t2-4t+2,OC=t.
∴AC=t-1.
∵S△PAB=S梯形PBOC-S△ABO-S△PAC=2,
∴(2+2t2-4t+2)-×1×2-(2t2-4t+2)(t-1)=2.
整理,得t2-t=2.
解得t1=-1(不符合题意,舍去),t2=2.
当t=2时,2t2-4t+2=2.
∴点P的坐标为(2,2).

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