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26.4实际问题与二次函数
第1课时　最大高度与最大面积问题
最大高度问题
1.以40 m/s的速度将小球沿与地面成40°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2,下列说法正确的是 (　　)
A.小球的飞行高度不能达到15 m
B.小球的飞行高度不能达到20 m
C.小球的飞行高度不能达到25 m
D.小球从飞出到落地要用8 s
2.(2025甘肃中考)如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的平面直角坐标系,水流喷出的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x>0),则水流喷出的最大高度是 (　　)
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
3.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s,经过t s时球距离地面的高度为h m,若h与t之间满足的关系式为h=10t-5t2,那么球弹起后离地面的最大高度是　　　　 m.
最大面积问题
4.如图,利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m,则该储料场ABCD的最大面积是 (　　)
A.18 m2 B.18 m2
C.24 m2 D. m2
5.已知一个直角三角形的两条直角边长之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为　　　　cm2.
6.(2025巴中中考)如图,计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏,其中一边靠墙(墙长25 m).
(1)矩形围栏的面积为150 m2时,三边分别长多少米
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米
1.某学校组织的中秋主题班会中,各班学生积极开展手工制作,其中长方形月饼的周长为50 cm,长为一个质数,宽为一个合数,则它的面积最大为 (　　)
A.154 cm2 B.156 cm2
C.150 cm2 D.160 cm2
2.(2026北京西城区月考)投篮时篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分,篮球运动的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了篮球投出后x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出篮球运动到最高点时,水平距离为 (　　)
A.1.5 m　 B.2 m
C.2.45 m　 D.2.5 m
3.如图,民民同学想做一个菱形风筝,现在有一根长120 cm的竹竿,他准备把它截成两段做成风筝的龙骨(菱形的对角线AC,BD),请你帮他设计一下,当AC=　　　　cm时,菱形的面积最大,最大为　　　　cm2.
4.九年级(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地的最大面积是多少
5.(应用意识)手榴弹作为一种威力较大,体积较小,方便携带的武器,在战争中能发挥重要作用,然而想把手榴弹扔远,并不是一件容易的事,军训中,借助小山坡的有利地势,小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投.如图所示,把小刚投出的手榴弹的运动路线看作一条抛物线,手榴弹飞行的最大高度为12 m,此时它的水平飞行距离为6 m;山坡OA的坡度(铅直高度AE与水平宽度OE的比)为1∶3.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式.
(2)山坡上A处的水平距离OE为9 m,A处有一棵树,树高5 m,则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树 请说明理由.
(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.B　3.5　4.C　5.50
6.解:(1)设垂直于墙的一边长x m,则平行于墙的一边长(40-2x)m,
根据题意,得x(40-2x)=150,
解得x1=5,x2=15,
当x=5时,40-2x=30>25,故x=5不符合题意,舍去;
当x=15时,40-2x=10<25,故x=15符合题意.
∴三边分别长15 m,10 m,15 m.
(2)设矩形围栏的面积为S m2,
则S=x(40-2x)=-2(x-10)2+200.
∵-2<0,
∴当x=10时,S有最大值,最大值为200,
当x=10时.40-2x=20<25,故x=10符合题意,
∴三边分别长10 m,20 m,10 m.
能力提升
1.B　解析:设长方形月饼的长为x cm,宽为y cm,x>y,面积为S cm2.
∵长方形月饼的周长为50 cm,∴x+y=25,
∴y=25-x,∴S=xy=x(25-x)=25x-x2,∴当x=-=12.5时,S最大.
∵x>y,x为质数,y为合数,∴当x=13,y=12时,S最大=13×12=156.故选B.
2.D　解析:根据题意,得
解得∴y=-0.2x2+x+2.25=-0.2(x-2.5)2+3.5,∴可推断出篮球运动到最高点时,水平距离为2.5 m.故选D.
3.60　1 800　解析:设AC=x cm,则BD=(120-x)cm,菱形ABCD的面积为S cm2,则S=AC·BD=x·(120-x)=-(x-60)2+1 800.∵-<0,∴当x=60时,S有最大值,最大值为1 800,即当AC=60 cm时,菱形的面积最大,最大为1 800 cm2.
4.解:设矩形在射线OA上的一边长为x m,矩形菜地的面积为S m2.
当OC段围墙恰好被完全利用时,16-x-(x-6.6)=5,
解得x=8.8.
当x≤8时,S=x·=-x2+9.8x=-(x-9.8)2+48.02.
∵-<0,∴当x≤8时,S随x的增大而增大,∴当x=8时,S取得最大值46.4.
当8∵-1<0,∴当8当x>8.8时,由16-x-(x-6.6)>0,得x<11.3.
当8.8∵-2<0,∴当8.8∴当8.8综上,该菜地的最大面积为46.4 m2.
5.解:(1)由题意,得顶点C(6,12),且抛物线过原点,
∴设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-6)2+12,
把(0,0)代入,得0=a(0-6)2+12,
解得a=-,
∴抛物线对应的函数解析式为y=-(x-6)2+12=-x2+4x.
(2)能.理由如下:
∵山坡OA的坡度为1∶3,OE=9 m,
∴AE=3 m,
当x=9时,y=-×81+36=9,
∵3+5<9,
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树.
(3)设直线OA对应的函数解析式为y=kx,把A(9,3)代入,得k=,
∴直线OA对应的函数解析式为y=x.
如图,作直线MN⊥x轴,交抛物线于点M,交直线OA于点N,
设M,N,
∴MN=-a2+4a-a=-a2+
a=-+,
∴当a=时,MN有最大值,为.
答:飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是 m.

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