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第2课时　最大利润问题
简单销售问题中的利润问题
1.(2026大连月考)若一种服装的销售利润y(单位:万元)与销售数量x(单位:万件)满足函数关系式y=-2x2+4x+5,则利润 (　　)
A.最大为5万元 B.最大为7万元
C.最小为5万元　 D.最小为7万元
2.某种商品每件的进价为30元,经调查表明:在某段时间内,若以每件x元(30A.34元　　　　B.35元　　　　C.36元　　　　D.38元
3.某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(单位:个)与销售价格x(单位:元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为　　　　元.(利润=总销售额-总成本)
“每……每……”的销售利润问题
4.某商店购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么每月可售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,每月销售量相应减少10件,则利润y关于销售单价x的函数解析式为 (　　)
A.y=(x-30)[400-10(x-20)]
B.y=(x-20)[400-10(x-30)]
C.y=(x-20)[400+10(x-30)]
D.y=(x-30)[400+10(x-20)]
5.某商店计划推出一批新型保温杯,经市场调研发现,每个保温杯的利润为20元时,每天可售出120个;单价每降低1元,每天可多售出15个.为增加销量,商家决定在成本不变的情况下降价销售,但每个保温杯的利润不低于13元.每个保温杯降价多少元时,每天的销售利润最大 最大利润为多少元
1.某店销售一款进价为60元/个的电子产品,若按90元/个的价格出售,每月可销售200个.经调查发现,该电子产品售价每涨价1元/个,其销售量就减少8个.设每个电子产品涨价x元,以下说法错误的是 (　　)
A.每售出一个该产品,其利润为(30+x)元
B.销售量为(200-8x)个
C.某店员认为,涨价越多赚得越少,劝老板不要涨价
D.02.某宾馆有50个房间供游客居住,市场监管部门规定每个房间每天的定价不得高于360元,当每个房间每天的定价为220元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会增加一个空闲房间.如果游客居住房间,那么宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.有下列结论:
①若每个房间每天的定价增加30元,则每天居住的房间数为47个;
②每个房间每天的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天的利润为12 000元;
③该宾馆每天的最大利润为12 250元.
其中,正确结论的个数是 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
3.(2025内江中考)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元.
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数解析式,并求出W的最大值.
4.(应用意识)某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式,每名工人每天可加工且只能加工“风”服装2件或“雅”服装1件或“正”服装1件.要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装的总件数和“风”服装相等.每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况如下:①“风”服装:24元/件;②“正”服装:48元/件;③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下:
服装 种类 加工 人数 每人每天的 加工量/件 平均每件 获利/元
风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48
(1)求y与x之间的数量关系.
(2)设该服装厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数解析式.
(3)制定使每天总利润最大的加工方案.
【详解答案】
基础达标
1.B　2.C　3.121　4.B
5.解:设每个保温杯降价x元,每天的销售利润为y元,
根据题意得y=(20-x)(120+15x)=-15x2+180x+2 400=-15(x-6)2+2 940.
∵每个保温杯的利润不低于13元,
∴0≤x≤20-13=7.
∵-15<0,
∴当x=6时,y有最大值,最大值为2 940.
答:每个保温杯降价6元时,每天的销售利润最大,最大利润为2 940元.
能力提升
1.D　解析:A.每售出一个该产品,其利润为90-60+x=(30+x)元,原说法正确,不符合题意;B.销售量为(200-8x)个,原说法正确,不符合题意;C.设总利润为W元,则W=(30+x)(200-8x)=-8x2-40x+6 000=-8(x+2.5)2+6 050,∵-8<0,且抛物线的对称轴为x=-2.5,∴当x>0时,W随x的增大而减小,∴涨价越多赚得越少,原说法正确,不符合题意;D.∵200-8x>0,∴02.B　解析:结论①:定价增加30元,即定价为220+30=250(元),定价每增加10元,空闲房间数增加1个,故定价增加30元时空闲房间数增加3个,居住房间数为50-3=47(个),故结论①正确;
结论②:设定价增加10x元,则定价为(220+10x)元,房间数为(50-x)个,∴(220+10x-20)(50-x)=12 000,解得x=10或x=20.当x=20时,对应定价为220+10x=220+10×20=420(元),超过360元上限,∴x=10,故结论②错误;
结论③:设利润为w元,w=(220+10x-20)·(50-x)=-10x2+300x+10 000,∵-10<0,∴抛物线的开口向下,对称轴为x=-=15,∵220+10x≤360,∴x≤14,∴当x=14时,w最大=-10x2+300x+10 000=12 240,∴最大利润为12 240元,故结论③错误.故选B.
3.解:(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元,
由题意得
解得
答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元.
(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个,
由题意得40(400-m)+20m≤12 000,
解得m≥200,
∴m的最小值为200.
答:至少需要购进B款纪念品200个.
(3)由题意得W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(500-5a)
=-5a2+700a-20 000
=-5(a-70)2+4 500.
∵-5<0,60≤a≤100,
∴当a=70时,W最大,最大值为4 500.
4.解:(1)根据题意可知,安排70名工人加工一批夏季服装,
∵安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,
∴加工“正”服装的有(70-x-y)人.
∵“正”服装的总件数和“风”服装相等,
∴(70-x-y)×1=2y.
整理,得y=-x+.
(2)根据题意,得“雅”服装每天获利为x[100-2(x-10)]元.
∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)]=-2x2+72x+3 360.
(3)由(2)得w=-2x2+72x+3 360=
-2(x-18)2+4 008.
∵-2<0,
∴当x=18时,w取最大值.
∵当x=18时,y=-×18+=,不符合题意,
∴x≠18.
∵抛物线的开口向下,
∴可取x=17或x=19.
当x=17时,y=,不符合题意;
当x=19时,y=17,符合题意.
∴70-x-y=34.
综上所述,每天安排19名工人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,可使每天总利润最大.

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