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第3课时　抛物线形问题
桥梁、隧道类问题
1.如图,某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示,函数关系为y=-x2,当水面宽度AB为24 m时,桥拱顶离水面的高度CO为 (　　)
A.2 m　　　　B.4 m　　　　C.10 m　　　　D.16 m
2.(2025新疆中考)天山胜利隧道预计于2025年建成通车,它将成为世界上最长的高速公路隧道,能大大提升区域交通效率,促进经济发展.如图是隧道截面图,其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12 m,高8 m,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计).若宽3 m,高3.5 m的两辆车并排行驶,能否安全通过 请说明理由.
运动类问题
3.标枪是一项技巧与力量相结合的田径运动.在一名运动员投掷标枪后,标枪的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,标枪的飞行高度y(单位:m)关于水平距离x(单位:m)的函数解析式为y=-x2+x+,则标枪落地点到运动员的距离为 (　　)
A.65 m B.66 m
C.67 m D.68 m
4.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分.如图,甲在点O正上方1 m的点P发出一球,羽毛球飞行的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间满足函数解析式:y=a(x-4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.
(1)当a=-时,
①求h的值;
②通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.
1.如图,足球训练中,小辉从球门正前方A处射门,球射向球门的路线呈抛物线,对应的函数解析式为y=a(x-2)2+3,已知球门高OB为2.44 m,忽略其他因素,能满足球能射进球门的a值可能是 (　　)
A.-0.01 B.-0.1
C.-0.12 D.-0.5
2.如图,一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分,当水面宽度为4 m时,拱顶离水面2 m.有下列结论:
①该抛物线对应的函数解析式为y=-2.45x2;
②当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m;
③当水面下降2 m时,水面宽度增加了(4-4)m.其中,正确结论的个数为 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
3.小明想知道如图1所示的隧道顶端到地面的距离,于是他查阅了相关资料,知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.如图2所示,以矩形的顶点A为坐标原点,地面AB所在直线为x轴,竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系,抛物线对应的函数解析式为y=-x2+bx+c.若AB=8 m,AD=2 m,则隧道顶端点N到地面AB的距离为 (　　)
　　
图1　　　　　　　　　　图2
A.8 m　　　　B.7 m　　　　C.6 m　　　　D.5 m
4.(应用意识)综合与实践
问题情境:青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人,其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面60 cm,起跳点与落地点之间的距离为160 cm.
数学建模:如图1,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为N,对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点,OM所在直线为x轴,过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
　　　图1　　　　　　　　　图2
(1)点N的坐标是　　　　,该抛物线对应的函数解析式是　　　　　　　　　　.
问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变.
(2)如图1,若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳,落地点为Q,点P的坐标为(0,75),点Q在x轴的正半轴上,则起跳点P与落地点Q之间的水平距离OQ的长为　　　　 cm.
(3)实验表明:仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm,才能安全通过.如图2,水平地面上有一个障碍物,其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°,AB=57 cm,BC=40 cm,CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台,仿青蛙机器人从平台上起跳,则刚好安全通过该障碍物.求该平台的高度.(平台的大小忽略不计,障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)
【详解答案】
基础达标
1.B　
2.解:(1)由题意得,抛物线的顶点为,即(6,8),
设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0),
代入点(12,0),得a(12-6)2+8=0,
解得a=-,
∴抛物线对应的函数解析式为y=-(x-6)2+8(0≤x≤12).
(2)能安全通过,理由如下:
如图,
由题意,得xA=--3=2,
将x=2代入y=-(x-6)2+8,得
y=-×(2-6)2+8=.
∵-3.5=>0.5,
∴能安全通过.
3.B
4.解:(1)①由题意,得当a=-时,
y=-(x-4)2+h,
又∵抛物线过点P(0,1),
∴-×16+h=1,
∴h=.
②把x=5代入y=-(x-4)2+,
得y=-×(5-4)2+=1.625.
∵1.625>1.55,∴此球能过网.
(2)由题意,把(0,1),代入
y=a(x-4)2+h,得
解得
∴a=-.
能力提升
1.D　解析:当x=0时,y=4a+3,
∵足球能射进球门,∴0∴解得-0.75故选D.
2.C　解析:设该抛物线对应的函数解析式为y=ax2,由题意得点(2,-2)在该抛物线上,将(2,-2)代入y=ax2,得-2=a·22,解得a=-0.5,故该抛物线对应的函数解析式为y=-0.5x2,所以①错误.当水面宽度为5 m时,即x=±2.5,把x=2.5代入y=-0.5x2,得y=-0.5×2.52=-0.5×6.25=-3.125.原来水面宽度为4 m时,y=-2,则水面下降的高度为|-3.125-(-2)|=|-1.125|=1.125(m),所以②正确.当水面下降2 m时,y=-4,把y=-4代入y=-0.5x2,得-4=-0.5x2,则x2=8,解得x=±2,此时水面宽度为2×2=4(m),原来水面宽度为4 m,则水面宽度增加了(4-4)m,所以③正确.故选C.
3.C　解析:由题意,得点D的坐标为(0,2),点C的坐标为(8,2).将点D,C的坐标代入抛物线对应的函数解析式,得
解得
∴y=-x2+2x+2.由抛物线的对称性可知,点N的横坐标为4,令x=4,得y=-×42+2×4+2=6.故选C.
4.解:(1)(80,60)　y=-(x-80)2+60
解析:由题意得,抛物线的对称轴为x=80,顶点N的纵坐标为60,
∴顶点N的坐标为(80,60).
设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-80)2+60,
∵图象过原点,
∴a(0-80)2+60=0,
解得a=-,
∴y=-(x-80)2+60.
(2)200
解析:∵抛物线的形状不变,点P(0,75),
故新的抛物线可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的,
∴新的抛物线对应的函数解析式为y=-×(x-80)2+60+75=-(x-80)2+135,
当y=0时,-(x-80)2+135=0,
解得x1=200,x2=-40(舍去),
故起跳点P与落地点Q之间的水平距离OQ的长为200 cm.
(3)设该平台的高度为k cm,由题意,得新的抛物线对应的函数解析式为y=-(x-80)2+60+k,
由题可知A(80,57),B(80,0),C(120,0),D(120,48),
设直线AD对应的函数解析式为y=kx+b,
则解得
∴直线AD对应的函数解析式为y=-x+75(80≤x≤120),
∴h=-(x-80)2+60+k+x-75=-x2+x+k-75.
∵图象的对称轴为x=92,80≤x≤120,仿青蛙机器人刚好通过该障碍物,
∴当x=120时,h有最小值3,
∴-×1202+×120+k-75=3,
解得k=6,
故该平台的高度为6 cm.

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