资源简介

2.1 认识一元二次方程
题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式
题型3 一元二次方程的解
题型1 一元二次方程的定义
解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【典例1】下列不是一元二次方程的是（　　）
A．3x+2＝5x﹣3 B．x2＝4
C．2x﹣1＝x2 D．x2﹣4＝2（x+2）2
【变式1】下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2＝1 B．x2+y＝2 C．2x2+x＝1 D．
【变式2】下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x1
【变式3】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0
C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1
题型2 一元二次方程的一般形式
解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【典例1】将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　）
A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0
C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0
【变式1】一元二次方程2x2＝x+3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，﹣1，﹣3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，0，3
【变式2】一元二次方程x2﹣5x+2＝0的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别为（　　）
A．5，2 B．5，﹣2 C．﹣5，2 D．﹣5，﹣2
【变式3】将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x
题型3 一元二次方程的解
解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
【典例1】已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【变式1】若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【变式2】如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【变式3】根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0
2．下列等式中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+3＝﹣2x B．x+3＝﹣2x
C．x+3＝﹣2y D．
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．3x2+x＝20
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
5．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．（x+3）（x﹣2）＝x B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x3+x2+1＝0
6．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．
B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2
C．5x2﹣1＝0
D．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数）
7．下列方程中，关于x的一元二次方程有（　　）
①x2＝0；②；③；④（x+1）2＝x2﹣9；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知关于x的方程是一元二次方程，则m＝　　 ．
9．关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　）
A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6
C．常数项为0 D．它是一元二次方程
10．将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
11．关于x的一元二次方程x2﹣6x＝7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7
12．一元二次方程3x2+2＝﹣6x化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣6，2 B．6，2 C．﹣6x，2 D．6x，2
13．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（　　）
A．二次项系数是2 B．一次项系数是3
C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根
14．将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（　　）
A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x
15．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　　 ．
16．将一元二次方程5x2﹣6＝3x化成一般形式后，若二次项的系数是5，则一次项的系数是　 　 ．
17．一元二次方程2x2﹣3x+2＝4的常数项是　 　 ．
18．将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　 ．
19．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
20．若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
21．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　）
A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2
C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4
22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根为1，则m＝　　 ．
23．若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣2m2+6m+19的值为 　　 ．
24．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值．
（3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值．
25．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
（1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由．
（2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程．
26．有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝．
阅读下列例题：
设a3+a﹣1＝0，求a3+a+2018的值．
解：由a3+a﹣1＝0得a3+a＝1，
代入，有a3+a+2018＝1+2018＝2019（整体代入或换元思想）
试一试：当a是一元二次方程x2﹣2018x+1＝0的一个根时，
求：的值．
27．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，求方程的另一个根．
28．如果x＝1是一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个解，求另外一个解和b值．
29．先化简，再求值：，其中m满足方程m2+3m+1＝0．2.1 认识一元二次方程
题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式
题型3 一元二次方程的解
题型1 一元二次方程的定义
解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【典例1】下列不是一元二次方程的是（　　）
A．3x+2＝5x﹣3 B．x2＝4
C．2x﹣1＝x2 D．x2﹣4＝2（x+2）2
【答案】A
【解答】解：A．3x+2＝5x﹣3是一元一次方程，符合题意；
B．x2＝4是一元二次方程，不符合题意；
C．2x﹣1＝x2是一元二次方程，不符合题意；
D．x2﹣4＝2（x+2）2是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
【变式1】下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2＝1 B．x2+y＝2 C．2x2+x＝1 D．
【答案】C
【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x1
【答案】C
【解答】解：A．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式3】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0
C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1
【答案】B
【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、是二元二次方程，故本选项错误；
D、当m＝1时，是一元一次方程，故本选项错误．
故选：B．
题型2 一元二次方程的一般形式
解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【典例1】将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　）
A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0
C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0
【答案】D
【解答】解：将原方程整理得3x2﹣x﹣2＝0；
故选：D．
【变式1】一元二次方程2x2＝x+3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，﹣1，﹣3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，0，3
【答案】A
【解答】解：2x2＝x+3化为一般形式为2x2﹣x﹣3＝0，
2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：2，﹣1，﹣3．
故选：A．
【变式2】一元二次方程x2﹣5x+2＝0的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别为（　　）
A．5，2 B．5，﹣2 C．﹣5，2 D．﹣5，﹣2
【答案】C
【解答】解：由题意可得：一次项系数为﹣5，常数项为2，
故选：C．
【变式3】将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x
【答案】A
【解答】解：2x2+1＝5x，
移项得：2x2﹣5x+1＝0，
此时常数项为1，
二次项系数为：2，一次项系数为：﹣5，
故选：A．
题型3 一元二次方程的解
解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
【典例1】已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【答案】D
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，
∴α2＝2α+4
∴α3+8β+6＝α α2+8β+6
＝α （2α+4）+8β+6
＝2α2+4α+8β+6
＝2（2α+4）+4α+8β+6
＝8α+8β+14
＝8（α+β）+14＝30，
故选：D．
【变式1】若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，
解得m＝2．
故选：C．
【变式2】如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：∵2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，
∴22﹣2c+2＝0，
解得c＝3，
故选：A．
【变式3】根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
【答案】B
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0
【答案】D
【解答】解：A、选项方程是分式方程，不合题意；
B、选项方程含有2个未知数，不合题意；
C、选项方程没有说明a的取值，不合题意；
D、选项方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，
故选：D．
2．下列等式中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+3＝﹣2x B．x+3＝﹣2x
C．x+3＝﹣2y D．
【答案】A
【解答】解：A．x2+3＝﹣2x是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．x+3＝﹣2x是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x+3＝﹣2y含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．含有分式不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．3x2+x＝20
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【答案】B
【解答】解：A．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
B．3x2+x＝20，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．x2+2x＝x2﹣1整理可得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：B．
4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2+1＝2且m+1≠0，
解得：m＝1，
故选：C．
5．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．（x+3）（x﹣2）＝x B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x3+x2+1＝0
【答案】A
【解答】解：A．（x+3）（x﹣2）＝x，整理得：x2﹣6＝0，该方程是一元二次方程，故A符合题意；
B．该方程不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，故B不符合题意；
C．若a≠0，则ax2+bx+c＝0是一元二次方程；若a＝0，则ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故C不符合题意；
D．该方程未知数最高次数是3，则该方程不是一元二次方程，故D不符合题意．
故选：A．
6．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．
B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2
C．5x2﹣1＝0
D．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数）
【答案】C
【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B、（x+2）（2x﹣1）＝2x2可变形为3x﹣2＝0，不是一元二次方程，不符合题意；
C、5x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，正确，符合题意；
D、ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数），当a＝0时，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
7．下列方程中，关于x的一元二次方程有（　　）
①x2＝0；②；③；④（x+1）2＝x2﹣9；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合题意；
②不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
③是一元二次方程，符合题意；
④（x+1）2＝x2﹣9，整理得2x+1＝﹣9，不是一元二次方程，不符合题意；
⑤，当m＝1时，原方程不是一元二次方程，不符合题意．
故①③是一元二次方程，共2个，
故选：A．
8．已知关于x的方程是一元二次方程，则m＝　　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：m＝2．
故答案为：2．
9．关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　）
A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6
C．常数项为0 D．它是一元二次方程
【答案】C
【解答】解：A、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，二次项系数为1，说法正确；
B、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，一次项系数为﹣6，说法正确；
C、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，常数项为3，说法错误；
D、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，它是一元二次方程，说法正确；
故选：C．
10．将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【答案】A
【解答】解：（x+a）2＝b，
则x2+2ax+a2＝b，
∴x2+2ax+a2﹣b＝0，
由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5，
解得：a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
11．关于x的一元二次方程x2﹣6x＝7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7
【答案】D
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x﹣7＝0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，﹣6，﹣7．
故选：D．
12．一元二次方程3x2+2＝﹣6x化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣6，2 B．6，2 C．﹣6x，2 D．6x，2
【答案】B
【解答】解：整理得：3x2+6x+2＝0，
方程的一次项系数和常数项分别是6，2．
故选：B．
13．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（　　）
A．二次项系数是2 B．一次项系数是3
C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根
【答案】B
【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣3x+1＝0，
二次项系数为2，一次项系数为﹣3，常数项为1，
∵x＝1时，左边＝3，右边＝3，
∴左边＝右边，
∴x＝1是方程的根，
故选：B．
14．将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（　　）
A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x
【答案】B
【解答】解：由7x﹣3＝2x2，得2x2﹣7x+3＝0，
所以一次项系数是﹣7，
故选：B．
15．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　　 ．
【答案】2．
【解答】解：根据题意，得
m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m+2≠0，即m≠﹣2，
∴m＝2；
故答案为：2．
16．将一元二次方程5x2﹣6＝3x化成一般形式后，若二次项的系数是5，则一次项的系数是　 　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：5x2﹣6＝3x，
5x2﹣3x﹣6＝0，
其一次项为﹣3x，它的系数是﹣3．
故答案为：﹣3．
17．一元二次方程2x2﹣3x+2＝4的常数项是　 　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：方程整理成一般式为2x2﹣3x﹣2＝0，
故答案为：﹣2．
18．将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　 ．
【答案】x2﹣3x+2＝0
【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4，
则2x2﹣4x+x﹣2＝x2﹣4，
整理得：x2﹣3x+2＝0，
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
19．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：由条件可得：2×1﹣3﹣a＝0，
∴a＝﹣1，
∴（﹣1，3）在第二象限．
故选：B．
20．若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，
∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2，
故选：D．
21．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　）
A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2
C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4
【答案】B
【解答】解：由表可知，当x＝1.1时，x2+12x﹣15＜0，当x＝1.2时，x2+12x﹣15＞0，
∴x2+12x﹣15＝0正根x1的范围是1.1＜x1＜1.2；
故选：B．
22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根为1，则m＝　　 ．
【答案】2．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，
解得m＝2．
故答案为2．
23．若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣2m2+6m+19的值为 　　 ．
【答案】17．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
即m2﹣3m＝1．
∴﹣2m2+6m+19
＝﹣2（m2﹣3m）+19
＝﹣2×1+19
＝﹣2+19
＝17．
故答案为：17．
24．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值．
（3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值．
【答案】（1）①③；
（2）a＝﹣1或；
（3）4．
【解答】解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由：
∵x2＝1，
∴x2﹣1＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝﹣1
∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0，
∴x2＝1是黄金方程；
②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由：
∵（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x2+x﹣2＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，
∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0，
故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程；
③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程，
故答案为：①③；
（2）由条件可知3+b﹣（﹣a）＝0，
∴b＝﹣a﹣3，
∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0，
∴（a+1）（2a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或；
（3）由条件可知2﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣2，
∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4，
∵（b﹣1）2≥0，
∴（b﹣1）2+4≥4，
∴b2﹣2c+1的最小值为4．
25．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
（1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由．
（2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程．
【答案】（1）是美妙方程，理由见解析过程；
（2）这个美妙方程为x2+2x+1＝0．
【解答】解：（1）是美妙方方程．
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8，
∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0．
故此方程为美妙方程．
（2）将x＝﹣1代入原方程得，
a﹣2+c＝0①，
∵此方程为美妙方方程，
∴3a﹣4+c＝0②，
由①②得，
∴这个美妙方程为x2+2x+1＝0．
26．有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝．
阅读下列例题：
设a3+a﹣1＝0，求a3+a+2018的值．
解：由a3+a﹣1＝0得a3+a＝1，
代入，有a3+a+2018＝1+2018＝2019（整体代入或换元思想）
试一试：当a是一元二次方程x2﹣2018x+1＝0的一个根时，
求：的值．
【答案】2017．
【解答】解：由条件可知a2﹣2018a+1＝0，
∴a2+1＝2018a，a2﹣2017a＝a﹣1，
∴
＝2018﹣1
＝2017．
27．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，求方程的另一个根．
【答案】﹣7．
【解答】解：由条件可得22+5×2﹣m＝0，解得m＝14，
∴原方程为x2+5x﹣14＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝2，
故答案为：﹣7．
28．如果x＝1是一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个解，求另外一个解和b值．
【答案】另外一个解为x＝﹣3，b＝2．
【解答】解：由条件可得1+b﹣3＝0，
解得b＝2，
故一元二次方程为x2+2x﹣3＝0，
即（x+3）（x﹣1）＝0，
则另外一个解为x＝﹣3．
29．先化简，再求值：，其中m满足方程m2+3m+1＝0．
【答案】m（m+3）；﹣1．
【解答】解：原式
＝m（m+3），
∵m2+3m+1＝0，
m2+3m＝﹣1，
m（m+3）＝﹣1，
将m（m+3）＝﹣1代入得，m（m+3）＝﹣1．

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