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2.3 一元二次方程的根与系数的关系
题型1 根与系数的关系
题型1 根与系数的关系
解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【典例1】关于x的方程x2﹣mx﹣5＝0有一个根是﹣1，求另一个根及m的值．
【答案】另一根是x＝5，m＝4．
【解答】解：由条件可得（﹣1）2﹣m×（﹣1）﹣5＝0，
解得m＝4，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴另一根是x＝5，m＝4．
【变式1】关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值．
【答案】（1）m＞0；
（2）8．
【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根，
所以Δ＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣2）≥0，且m≠0，
解得m＞0，
所以m的取值范围是m＞0．
（2）因为关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，
所以．
又因为|x1﹣x2|＝1，
所以（x1﹣x2）2＝1，
则（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，
所以221，
解得m＝8，
经检验m＝8是原方程的解，且符合题意，
所以m的值为8．
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣7＝0．
（1）当方程有实数根时，求m的取值范围；
（2）设方程的两个实根分别是x1，x2，且满足x1+x2＝x1x2﹣10，求m的值．
【答案】（1）m的取值范围为m≤4；
（2）m的值为﹣3．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣7）≥0，
解得m≤4，
即m的取值范围为m≤4；
（2）根据根与系数关系得x1+x2＝2（m﹣1），
∵x1+x2＝x1 x2﹣10，
∴2（m﹣1）＝m2﹣7﹣10，
解得：m1＝5，m2＝﹣3，
∵m≤4，
∴m的值为﹣3．
【变式3】关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
【答案】（1）k＞2；（2）k1＝3．
【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
1．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根满足|x1+x2|＝x1x2.，求k的值
【答案】（1）k；（2）k＝2．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，
解得k；
（2）∵k，
∴x1+x2＝2k+1＞0，
又∵x1 x2＝k2+1＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
∴|x1+x2|＝x1+x2＝2k+1，
∵|x1+x2|＝x1 x2，
∴2k+1＝k2+1，
∴k1＝0，k2＝2，
又∵k，
∴k＝2．
2．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，
∴k≤3；
（2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵4，
∴，
∴，
∴k1＝5，k2＝﹣3，
又k≤3，
∴k＝﹣3，
经检验k＝﹣3是分式方程的解．
所以k＝﹣3．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值．
【答案】（1）m≤4；
（2）m＝﹣5．
【解答】解：（1）由题意得，
Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）由题意得，
x1+x2＝4，x1x2＝m．
∵，
∴m2＝4+21＝25，
解得：m＝﹣5或m＝5（舍），
∴m＝﹣5．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\
＝k2+4k+4﹣8k+4
＝k2﹣4k+4+4
＝（k﹣2）2+4，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为3，
∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝3，x1＝1，
∴另一个根为1，k＝2．
5．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根α，β满足α2+β2＝17，求m的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：整理原方程得，x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∴Δ＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2，
∵无论m为何实数，总有4m2≥0，从而1+4m2＞0，
即Δ＞0．
∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0整理得x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∵方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0的两个实数根α、β，
，α+β＝5，αβ＝6﹣m2，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝25﹣2（6﹣m2）＝13+2m2＝17，
∴解得．
6．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程是“邻根方程”的是 　　 （填序号）．
①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6．
（2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求：
①请求出k的值．
②求方程的两个根．
【答案】（1）②④．
（2）①k；②x1，x2．
【解答】解：（1）①解方程x2+x＝6得x1＝2，x2＝﹣3，
∵x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，
∴方程x2+x＝6不是“邻根方程”；
②解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”；
③解方程x2得x1＝x2，
∵x1﹣x20，
∴方程x2不是“邻根方程”；
④解方程x2﹣5x＝﹣6得x1＝3，x2＝2，
∵x1﹣x2＝3﹣2＝1，
∴方程x2﹣5x＝﹣6是“邻根方程”．
故答案为：②④．
（2）①∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k+1，x1﹣x2＝1，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
∴12＝（﹣2）2﹣4（﹣k+1），
解得k；
②∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根，
∴x1﹣x2＝1，x1+x2＝﹣2，
解得x1，x2．
7．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两根均为负数，求实数k的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）k＞0．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4k
＝k2+2k+1﹣4k
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：由题意，
解得k＞0．
8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根的平方和为21，求m的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得．
（2）设x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个根分别为a，b，
∴a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣1，
∵该方程的两个实数根的平方和为21，即a2+b2＝21，
∴（a+b）2﹣2ab＝21，
∴（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）＝21，
解得：或，
∵，
∴．
9．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k，
由b+c＝2+k＝2（不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣12（m﹣2）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m＝6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣12（m﹣2）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：令x1，x2分别为方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个根，
则有，x1+x2＝m+1，x1x2＝3（m﹣2），
设AB＝x1，AC＝x2，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5，
∴，
∴，即（m+1）2﹣6（m﹣2）＝25，
解得：m1＝﹣2，m2＝6，
当m＝6时，方程为x2﹣7x+12＝0，解得：x1＝3，x2＝4，
当m＝﹣2时，x1+x2＝﹣1＜0（不符合题意，舍去），
此时三边均为正数，且满足三角形的三边关系，符合题意；
∴当m＝6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，
解得m．
12．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 ，x1x2＝ 　　 ；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）的值为或．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2，x1 x2．
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，
∴m+n，mn，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝（）2﹣2×（）
1
；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，
∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，
∴s+t，st，
∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（），
∴t﹣s＝±，
∴±，
∴的值为或．
13．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且，求m的值．
【答案】（1）m≤0；
（2）m＝﹣3．
【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
在一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0中，
a＝1，b＝2m，c＝m2+m，
∵方程有实数根，
∴判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（2m）2﹣4×1 （m2+m）≥0，
化简得，﹣4m≥0，
解得，m≤0；
（2）x2+2mx+m2+m＝0，
由根与系数的关系可知，，，
由完全平方公式可得，，
∴（﹣2m）2＝24+2（m2+m），
化简得，m2﹣m﹣12＝0，
解得，m1＝4，m2＝﹣3，
∵m≤0，
∴m＝﹣3．
14．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根，
∴Δ＝4k2﹣4（k2+k）≥0．
∴k≤0．
（2）由题意，∵方程x2+2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2+k．
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4k2﹣2k2﹣2k＝2k2﹣2k．
∵，
∴2k2﹣2k＝12，即k2﹣k﹣6＝0．
∴k＝﹣2或k＝3．
又∵结合（1）得，k≤0，
∴k＝﹣2．
15．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）
＝k2+8k+16﹣8k﹣16
＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1 x2＝2k+4，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）
＝x1 x2﹣2x1﹣2x2+4
＝x1 x2﹣2（x1+x2）+4
＝2k+4﹣2（k+4）+4
＝2k+4﹣2k﹣8+4
＝0．
16．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
即4﹣4m+4＞0，
解得m＜2；
（2）设方程的另一个实数根为x2，
∵5+x2＝2，
∴x2＝﹣3．
当方程有一个实数根是5，则另一个根为﹣3．
17．已知m，n是关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0的两个不同的解，其中，请求出b和n的值．
【答案】，．
【解答】解：m，n是关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0的两个不同的解，
∴mn＝2，m+n＝﹣b，
∵，
∴，
∴．
18．已知关于X的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实根x1，x2满足x1+x2＝2x1x2﹣1，求m的值．
【答案】（1）m≤3；
（2）m．
【解答】解：（1）∵关于X的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）≥0，
∴16﹣4m﹣4≥0，
解得m≤3；
（2）根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝m+1，
∵x1+x2＝2x1x2﹣1，
∴4＝2（m+1）﹣1，
解得m．
19．已知关于x的方程．设方程的两实根为x1，x2．
（1）当x1 x2＝6时，求k的值；
（2）是否存在k值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为？请通过计算说明．
【答案】（1）k＝4；
（2）假设存在这样的k．则有：．
∵x1+x2＝k+1，，
∴．
解得，．
∵x1+x2＝k+1＞0，即k＞﹣1，且．
∵．
所以，不存在这样的k的值．
【解答】解：（1）根据题意得：，
∴k＝±4．
又∵方程有两个实数根，
∴，即，
∴k＝4．
（2）假设存在这样的k．则有：．
∵x1+x2＝k+1，，
∴．
解得，．
∵x1+x2＝k+1＞0，即k＞﹣1，且．
∵．
所以，不存在这样的k的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【答案】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1 （﹣3m2）＝4+12m2，
∵12m2≥0，
∴4+12m2≥4＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）m＝±1．
【解答】（1）证明：根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac可得：
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1 （﹣3m2）＝4+12m2，
∵12m2≥0，
∴4+12m2≥4＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数关系可知，α+β＝2，α β＝﹣3m2，
∵α+2β＝5，
∴α＝5﹣2β，
∴5﹣2β+β＝2，
解得：β＝3，α＝﹣1，
∴﹣3m2＝﹣1×3＝﹣3，即m＝±1．
21．关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根．
【答案】m的值为12，方程的另一个根为3．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得4+t＝7，4t＝m，
解得t＝3，m＝12，
即m的值为12，方程的另一个根为3．
22．已知关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个实数根α，β，其中α＝﹣2，求另一个根β和k的值．
【答案】k＝﹣14，β＝7．
【解答】解：由条件可知α+β＝5，
∵α＝﹣2，
∴β＝7，
∵αβ＝k，
∴k＝﹣14．
23．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1．x2（x1＜x2），分别以x1．x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点
（1）若一元二次方程为x2﹣2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为　　 ；
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0
①求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）（0，2）；
（2）①（m﹣2，m），②0＜m＜2；
（3）存在，b＝﹣9，c＝18．
【解答】解：（1）原方程分解因式可得：x（x﹣2）＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
∴x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2），
故答案为：（0，2）；
（2）①x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0，
解得（x﹣m+2）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣2，x2＝m，
∴x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0的衍生点为M（m﹣2，m）；
②∵l1：y＝x+5与x轴交于点A，
∴A（﹣5，0），
由①得，M（m﹣2，m），
令m﹣2＝x，m＝y，
∴y＝x+2，
∴M在直线y＝x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2），
令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴﹣2＜m﹣2＜0，
∴0＜m＜2；
（3）存在．
由条件可知x2+bx+c＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，
∴3+6＝﹣b，3×6＝c，
∴b＝﹣9，c＝18．
24．已知x1，x2是方程2x2+5x﹣4＝0的两个根，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：因为x1，x2是方程2x2+5x﹣4＝0的两个根，
所以，x1x2＝﹣2．
（1）．
（2）．
25．关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若k（x1+x2）＝﹣3﹣x1x2，求k的值．
【答案】（1）k≥﹣1；
（2）1．
【解答】解：（1）由条件可知Δ＝22﹣4×1×（﹣k）≥0，
解得：k≥﹣1；
（2）由条件可知x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k，
∵k（x1+x2）＝﹣3﹣x1x2，
∴﹣2k＝﹣3﹣（﹣k），
解得：k＝1．
26．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是x1＝2，x2＝6，则方程x2﹣8x+12＝0是“3倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣4x+3＝0是否是“3倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值．
【答案】（1）x2﹣4x+3＝0是“3倍根方程”；
（2）m2+2m+2＝50或；
（3）m的值为17或﹣15．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∵3x1＝x2，
∴x2﹣4x+3＝0是“3倍根方程”；
（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，
分情况讨论：
①m＝2×3＝6，m2+2m+2＝50；
②；
（3）∵x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”
∴不妨设x2是x1的三倍，由韦达定理：，解得x1＝±4．
①x1＝4，x2＝12，x1+x2＝16＝m﹣1，m＝17．
②x1＝﹣4，x2＝﹣12，x1+x2＝﹣16＝m﹣1，m＝﹣15．
综上所述，m的值为17或﹣15．
27．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，求k的值．
【答案】（1）；
（2）k＝﹣3．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝﹣8k+4≥0，
∴；
（2）∵，，
∴﹣（2k﹣2）＝k2﹣1，
∴k1＝1，k2＝﹣3，
又∵，
∴k＝﹣3．
28．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，
∴Δ≥0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）≥0，
解得：m≥2；
（2）∵x1+x2＝2（m+1），，
又∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝19，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝19，
解得m＝﹣3（舍去），m＝5，
∴m＝5．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m，
∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+9
＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由两根关系得x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵，
∴，
即（m﹣3）2﹣3（﹣m）＝7，
即m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝1．
30．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1．x2满足不等式，且m为整数，求m的值．
【答案】（1）m；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）∵方程2x2﹣2x+m+1＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，
即（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，
解得m．
故实数m的取值范围是m；
（2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1 x2（m+1），
∵4+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴4+6（m+1）＞12，
解得m＞﹣2，
又∵m且m为整数，
∴m的值为﹣1．
31．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣3＝0．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为p和q，且满足pq﹣p﹣q＝0，求m的值．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）m的值为1或﹣3．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根与系数的关系，得p+q＝﹣2m，pq＝m2﹣3，
∵pq﹣p﹣q＝0，
∴m2﹣3+2m＝0，
即m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣3，
∴m的值为：1或﹣3．
32．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0，问：
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为x1，x2，且满足4，求a的值．
【答案】（1）见解析；
（2）0或2．
【解答】（1）证明：关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0，
∴Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣a，x1 x2＝a﹣2，
∵，
∴，
即（﹣a）2﹣2（a﹣2）＝4，
整理得：a2﹣2a＝0，
解得a＝0或a＝2．
33．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2﹣x﹣6＝0；②．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
（3）若关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，令t＝n2﹣4m2，试求t的最大值．
【答案】（1）①不是，②是；
（2）k＝﹣2或k＝﹣4；
（3）．
【解答】解：（1）①解方程得：x1＝3，x2＝﹣2，
∵3﹣（﹣2）＝5，
∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②解方程得：，，
∵，
∴原方程是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x+3）（x﹣k）＝0，
∴x1＝k，x2＝﹣3，
由于方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0是“邻根方程”，
则k﹣（﹣3）＝1或﹣3﹣k＝1，
解得k＝﹣2或k＝﹣4；
（3）解方程得：，
∵关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，
∴，
整理得n2＝m2+8m，
∵t＝n2﹣4m2，
∴，
∴当时，t有最大值．2.3 一元二次方程的根与系数的关系
题型1 根与系数的关系
题型1 根与系数的关系
解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【典例1】关于x的方程x2﹣mx﹣5＝0有一个根是﹣1，求另一个根及m的值．
【变式1】关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值．
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣7＝0．
（1）当方程有实数根时，求m的取值范围；
（2）设方程的两个实根分别是x1，x2，且满足x1+x2＝x1x2﹣10，求m的值．
【变式3】关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
1．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根满足|x1+x2|＝x1x2.，求k的值
2．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
5．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根α，β满足α2+β2＝17，求m的值．
6．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程是“邻根方程”的是 　　 （填序号）．
①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6．
（2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求：
①请求出k的值．
②求方程的两个根．
7．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两根均为负数，求实数k的取值范围．
8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根的平方和为21，求m的值．
9．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
12．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 ，x1x2＝ 　　 ；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．
13．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且，求m的值．
14．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值．
15．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值．
16．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根．
17．已知m，n是关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0的两个不同的解，其中，请求出b和n的值．
18．已知关于X的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实根x1，x2满足x1+x2＝2x1x2﹣1，求m的值．
19．已知关于x的方程．设方程的两实根为x1，x2．
（1）当x1 x2＝6时，求k的值；
（2）是否存在k值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为？请通过计算说明．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
21．关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根．
22．已知关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个实数根α，β，其中α＝﹣2，求另一个根β和k的值．
23．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1．x2（x1＜x2），分别以x1．x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点
（1）若一元二次方程为x2﹣2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为　　 ；
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0
①求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
24．已知x1，x2是方程2x2+5x﹣4＝0的两个根，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
25．关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若k（x1+x2）＝﹣3﹣x1x2，求k的值．
26．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是x1＝2，x2＝6，则方程x2﹣8x+12＝0是“3倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣4x+3＝0是否是“3倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值．
27．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，求k的值．
28．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，求m的值．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值．
30．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1．x2满足不等式，且m为整数，求m的值．
31．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣3＝0．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为p和q，且满足pq﹣p﹣q＝0，求m的值．
32．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0，问：
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为x1，x2，且满足4，求a的值．
33．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2﹣x﹣6＝0；②．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
（3）若关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，令t＝n2﹣4m2，试求t的最大值．

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