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1.4 正方形的性质与判定
题型1 正方形的性质 题型2 正方形的判定
题型3 正方形的判定与性质
题型1 正方形的性质
解｜题｜知｜识 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【典例1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别为BC、AD上一点，，OA＝10，则DF的长度是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边CD上一点，CF⊥BE于点F，，CF＝2，则正方形的边长为（　　）
A．4 B． C． D．
【变式2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC的中点，连结AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F．下列结论：
①；
②AP＝FP；
③若△CQD的面积为8，则正方形ABCD的面积为36；
④CE EF＝EQ DE．
其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式3】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°， ABCD是矩形
B．当AC＝BD， ABCD是矩形
C．当AB＝BC， ABCD是菱形
D．当AC⊥BD， ABCD是正方形
题型2 正方形的判定
解｜题｜知｜识 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【典例1】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D
【变式1】下列说法正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【变式2】下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【变式3】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（　　）
①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型3 正方形的判定与性质
解｜题｜知｜识 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【典例1】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【变式2】下列说法不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴
D．正方形的对角线平分一组对角
【变式3】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 　 　 ．
1．如图，正方形ABCD的边长为，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
3．如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，正方形ABCD的边长为5，点M是边BC上的点，DE⊥AM于点E，BF∥DE，交AM于点F．若E是AF的中点，则DE的长为（　　）
A． B．2 C．4 D．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则△CEF的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（1，2），点D在第二象限，点A在第三象限．若CD∥x轴，则点A的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（　　）
A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
9．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
11．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 ．
12．如图，正方形OABC的边长为6，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 　 　 ．
13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长．
14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
15．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．菱形一条对角线平分一组对角
C．有两个角是直角，有一组对边平行的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　　　 ，使得菱形ABCD为正方形．
17．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EFBC，证明：平行四边形EGFH是正方形．
18．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，过点C作DA的平行线CE，且CE＝CD，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当△ABC满足　　 时，四边形ADCE是正方形．请说明理由．
20．已知：如图△ABC中，在AB上截取BD＝BC，连接DC，取DC的中点E，过点C作CF∥AB，交线段BE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：FC＝BD；
（2）请你给△ABC添加一个条件，使四边形FDBC成为正方形，并说明理由．
21．已知：如图，在 ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当∠A＝　　 °时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
23．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是三角形ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？（不用证明）
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
25．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF．
观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　 　 ；
（2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　　 ；
（3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为　　；
探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？
26．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
27．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　　 °（直接写出结果不写解答过程）
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 　　 （直接写出结果不写解答过程）．
28．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
29．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．1.4 正方形的性质与判定
题型1 正方形的性质 题型2 正方形的判定
题型3 正方形的判定与性质
题型1 正方形的性质
解｜题｜知｜识 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【典例1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别为BC、AD上一点，，OA＝10，则DF的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD，
∴OA＝OD＝10，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵在△OFA和△OEC中，
∴△OFA≌△OEC（ASA），
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边CD上一点，CF⊥BE于点F，，CF＝2，则正方形的边长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接AC，AC交BE于M，作ON⊥OF交BE于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，
∴∠FON＝∠BOC＝90°，
∴∠COF＝∠BON＝90°﹣∠CON，
∵CF⊥BE，
∴∠CFM＝90°＝∠BOM，°
∵∠CMF＝∠BMO，
∴∠OBN＝∠OCF，
在△CFO与△BNO中，
，
∴△CFO≌△BNO（ASA），
∴BN＝CF＝2，，
由勾股定理考点，，
∴BF＝FN+BN＝4+2＝6，
由勾股定理考点，，
即正方形ABCD的边长是．
故选：D．
【变式2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC的中点，连结AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F．下列结论：
①；
②AP＝FP；
③若△CQD的面积为8，则正方形ABCD的面积为36；
④CE EF＝EQ DE．
其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PI⊥AB于I，PH⊥BC于H，
∴∠PIA＝∠PHB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，
∴四边形BIPH是矩形，BI＝PI，
∴四边形BIPH是正方形，
∴PI＝PH，
∵PF⊥AE，
∴∠API+∠IPF＝90°＝∠IPF+∠HPF，
∴∠API＝∠HPF，
在△AIP和△FHP中，
，
∴△AIP≌△FHP（ASA），
∴AP＝FP，
故②正确；
设正方形边长为1，
∵E是边BC的中点，
∴，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
故①正确；
∵AD∥CE，
∴△ADQ∽△CEQ，
∵E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
∴，
∴，
∵△CQD的面积为8，
∴S△CED＝12，
∵S正方形ABCD＝BC CD
＝2CE CD
∴S△CED＝12，
∴S正方形ABCD＝4×12＝48，
故③错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PF⊥AE，
∴∠EPF＝90°，
∵BE＝CE，∠ABC＝∠DCB，AB＝CD，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠FEP＝∠DEC，
又∵∠EPF＝∠ECD＝90°，
∴△FPE∽△DCE，
∴，
∵∠BEP＝∠DEC，BE＝CE，∠DBC＝∠ACB，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴PE＝QE，
∵，
∴，
即CE EF＝EQ DE，
故④正确，
综上所述，结论正确的是①②④，
故选：C．
【变式3】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°， ABCD是矩形
B．当AC＝BD， ABCD是矩形
C．当AB＝BC， ABCD是菱形
D．当AC⊥BD， ABCD是正方形
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
题型2 正方形的判定
解｜题｜知｜识 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【典例1】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D
【答案】D
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意；
故选：D．
【变式1】下列说法正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故不符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故不符合题意；
故选：B．
【变式2】下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】B
【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；
C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；
故选：B．
【变式3】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（　　）
①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝DC时，无法证明平行四边形ABCD是菱形，故①结论错误；
当AC⊥BD时，即平行四边形ABCD是菱形，故②结论正确；
当∠ABC＝90°时，即平行四边形ABCD是矩形，故③结论正确；
当AC＝BD时，即平行四边形ABCD是矩形，故④结论错误；
故选：C．
题型3 正方形的判定与性质
解｜题｜知｜识 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【典例1】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴FO＝EO，
∵∠OFE＝∠ODF＝45°，
∴∠DOF＝∠CFE，
设∠DOF＝α，
∴∠OGF＝45°+α，
∵∠COF＝90°﹣α，
当45°+α＝90°﹣α时，α＝22.5°，OF＝FG，
故③不正确；
④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，
故④正确；
⑤在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，
根据勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2，
故⑤正确；
综上所述，正确的是①②④⑤，
故选：C．
【变式1】如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【解答】解：①如图，过E作EM⊥BC于点M，过E作EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
②当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故②错误；
③由①知：DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
故③正确；
④∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，
∴ACAB6，
∴AC＝AE+CE＝CG+CE＝6．
故④正确；
故选：B．
【变式2】下列说法不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴
D．正方形的对角线平分一组对角
【答案】B
【解答】解：对于选项A，
∵一组邻边相等的矩形是正方形，
∴该选项正确，不符合题意；
对于选项B，
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴该选项不正确，符合题意；
对于选项C，
∵正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，
∴该选项正确，不符合题意；
对于选项D，
∵正方形的对角线平分一组对角，
∴该选项正确，不符合题意．
故选：B．
【变式3】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 　 　 ．
【答案】①②③④．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2，
∵OE＝OF，
∴2OE2＝EF2，
∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2，
∵BE＝CF，
∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
1．如图，正方形ABCD的边长为，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，设AC与BD交于点O，如图所示：
设EF＝a，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，ODBD，∠CDB＝45°，AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD，EF⊥CD，EO⊥AC，
∴EO＝EF＝a，
∵∠CDB＝45°，
∴△EFD是等腰直角三角形，
∴EF＝DF＝a，
由勾股定理得：DE，
∴OD＝DE+OE，
在Rt△BCD中，BD2，
∴ODBD＝1，
∴，
∴a，
∴DE．
故选：A．
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
在△AGE和MGD中，
，
∴△AGE≌△MGD（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DMABCD，
∴CMCD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GHFM，
∵F为BC的中点，
∴CFBC＝2，
∴FM2，
∴GH，
故选：C．
3．如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，
则S△BCE＝S△BCP+S△BEP，
即BE hBC PNBE PM，
∵BE＝BC，
∴h＝PN+PM，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，，
∴
∴，
故选：B．
4．如图，正方形ABCD的边长为5，点M是边BC上的点，DE⊥AM于点E，BF∥DE，交AM于点F．若E是AF的中点，则DE的长为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°
∵DE⊥AG，
∴∠DEM＝∠AED＝90°
∴∠ADE+∠DAE＝90°
又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED．
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF＝AE，
∵BF∥DE，∠AED＝90°
∴∠AFB＝90°，
∵E是AF的中点，
∴AE＝EF，
又∵BF＝AE，
∴BF＝EF＝AE，
设BF为x，则AF为2x，
∵AB2＝AF2+BF2，
∴52＝（2x）2+x2，
解得x（舍去），
∴AF＝2x，
∵DE＝AF，
∴DE，
故选：B．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则△CEF的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：过点E作EJ⊥BC于点J，过点F作FK⊥BC于点K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∠ACB＝45°，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝4，
∴∠EBC＝90°﹣60°＝30°，
∴EJBE＝2，
∴△BEC的面积 BC EJ4×2＝4，
设FK＝CK＝m，则BKm，
∵CK+BK＝4，
∴mm＝4，
∴m＝22，
∴△BCF的面积 BC FK4×（22）＝44，
∴△ECF的面积＝△ECB的面积﹣△BCF的面积＝4﹣（44）＝8﹣4．
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（1，2），点D在第二象限，点A在第三象限．若CD∥x轴，则点A的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
【答案】A
【解答】解：设AB、BC，CD，DA分别与坐标轴交于E，F，H，T，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，CD∥x轴，
∴CD⊥y轴，AB⊥y轴，BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∵点C（1，2），
∴CH＝BE＝1，CF＝BF＝2，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AE＝4﹣1＝3，AT＝BF＝4﹣2＝2，
又∵点A在第三象限，
∴点A的坐标为（﹣3，﹣2），
故选：A．
7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接A′C，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，
∴BC＝1，∠BCD＝90°，∠DCD′＝45°，∠A′CD′＝∠D′A′C＝45°，A′D′＝CD′＝1，
∴∠BCD′＝∠BCD﹣∠DCD′＝45°，，
∵∠BCD′＝∠A′CD′＝45°，
∴A′，B，C三点共线，
∴，∠A′BE＝90°，
∵∠D′A′B＝45°，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（　　）
A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
【答案】B
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示：
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BAE＝α，
∴∠AEB＝90°﹣α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，
∴∠EFC＝180°﹣90°﹣∠FEC＝90﹣2a，
故选：B．
9．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：标记G、E、G、H、M如图所示，直线l上方有三个正方形a，b，c，a，b的面积分别为1和9，
∴∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH，
∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠HGM＝90°，
∴∠FEG＝∠HGM，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG＝MH，GM＝EF，
∴EF2＝1，EG2＝9，
∴c的面积为：HM2＝FG2＝EG2﹣EF2＝9﹣1＝8，
故选：C．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
在△AEM和△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x．
故选：D．
11．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，
∵O为正方形对角线AC和BD的交点，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝3，
在△OHM与△EHC中，
，
∴△OHM≌△EHC（AAS），
∴点H、点G分别为OE、FE的中点，
∴GH为△OEF的中位线，
∴GHOF，
在Rt△OMF中，FM＝DM+DF＝3+2＝5，
由勾股定理可得OF，
∴GHOF，
故答案为：．
12．如图，正方形OABC的边长为6，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 　 　 ．
【答案】
【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BOA＝45°，
∵OA与x轴负半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝30°，
∵正方形的边长为6，
∴；
Rt△OBD中，，∠BOD＝30°，
则；
故，
将点B坐标代入抛物线的解析式得：，
解得，
故答案为：．
13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）解：∵正方形ABCD，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝15°，EP⊥BD，
∴∠EBP＝30°，∠EPD＝45°＝∠EDP，
∴BP＝2EP，DE＝EP，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
设正方形ABCD的边长为x，则BC＝x，CP＝x﹣2，
由勾股定理得，BP2＝BC2+CP2，即，
解得，或（舍去），
∴正方形ABCD的边长为．
14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
【答案】C
【解答】解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形
B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；
D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故选：C．
15．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．菱形一条对角线平分一组对角
C．有两个角是直角，有一组对边平行的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线平分一组对角，故本选项符合题意；
C、有两个角是直角，有一组对边平行的四边形也可能是直角梯形，故本选项不符合题意；
D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意；
故选：B．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　　　 ，使得菱形ABCD为正方形．
【答案】AC＝BD（答案不唯一）．
【解答】解：添加AC＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，
∴菱形ABCD为正方形．
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
17．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EFBC，证明：平行四边形EGFH是正方形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GFEC．
又∵H是EC的中点，EHEC，
∴GF∥EH且GF＝EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接GH，EF．
∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GHBC．
又∵EF⊥BC且EFBC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF＝GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．
18．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）当ADAB，四边形BEDH是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEF＝∠CHG，
∵BE＝2AB，DH＝2CD，
∴BE＝DH，
∴BE﹣AB＝DH﹣DC，
∴AE＝CH，
∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠EAF＝∠GCH，
∴△EAF≌△HCG（ASA），
∴AF＝CG；
（2）当ADAB时，四边形BEDH是正方形，
理由：∵BE∥DH，BE＝DH，
∴四边形EBHD是平行四边形，
∵EH⊥BD，
∴四边形EBHD是菱形，
∴ED＝EB＝2AB，
当AE2+DE2＝AD2时，
则∠BED＝90°，
∴四边形BEDH是正方形，
即AB2+（2AB）2＝AD2，
∴ADAB，
∴当ADAB，四边形BEDH是正方形．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，过点C作DA的平行线CE，且CE＝CD，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当△ABC满足　　 时，四边形ADCE是正方形．请说明理由．
【答案】（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵CE＝CD，
∴AD＝CE（等量代换），
∵AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CE＝CD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）AB＝AC，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°（垂直的定义），
∴菱形ADCE是正方形，
故答案为：AB＝AC．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵CE＝CD，
∴AD＝CE（等量代换），
∵AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CE＝CD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是正方形，理由如下：
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°（垂直的定义），
∴菱形ADCE是正方形，
故答案为：AB＝AC．
20．已知：如图△ABC中，在AB上截取BD＝BC，连接DC，取DC的中点E，过点C作CF∥AB，交线段BE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：FC＝BD；
（2）请你给△ABC添加一个条件，使四边形FDBC成为正方形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）△ABC添加一个条件为∠ABC＝90°，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵BD＝BC，点E是CD的中点，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵CF∥AB，
∴∠CFB＝∠DBF，
∴∠CFB＝∠CBF，
∴CF＝BC，
∴CF＝BD；
（2）解：△ABC添加一个条件为∠ABC＝90°，
理由：∵CF∥AB，
∴CF∥BD，
∵CF＝BD，
∴四边形FDBC是平行四边形，
∵BD＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴四边形FDBC为菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FDBC为正方形．
21．已知：如图，在 ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当∠A＝　　 °时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；
（2）45．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵AB＝BD，
∴CD＝BD，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴BF⊥AD，DE⊥BC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BEDF是正方形，
证明：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∵∠A＝45°，AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴BF＝DFAD，
∴四边形BEDF是正方形，
故答案为：45．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）四边形AEFD能够成为菱形，t＝10；
（2）四边形BEDF不能为正方形，理由见解答．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．
在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4tcm，
∴DFCD＝AE＝2t，
∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t＝2t，解得：t＝10，
即当t＝10时，四边形AEFD是菱形；
（2）四边形BEDF不能为正方形，理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝4t，
∴DF＝2t＝AE，
∴AD＝4t，
∴4t+4t＝60，
∴t时，∠EDF＝90°
但BF≠DF，
∴四边形BEDF不可能为正方形．
23．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是三角形ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？（不用证明）
【答案】（1）见解析；
（2）△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴，
∵AN是△ABC外角∠MAC的角平分线，
∴，
∵∠BAC+∠CAM＝180°，
∴，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD＝CD，
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【答案】（1）见解析；
（2）菱形，理由见解析；
（3）∠A＝45°，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
25．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF．
观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　 　 ；
（2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　　 ；
（3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为　　；
探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？
【答案】（1）16；
（2）16；
（3）m2；
（4）相等．
【解答】解：（1）四边形ABFD的面积＝42（4+1）×1（4+1）×1＝16；
故答案为：16；
（2）四边形ABFD的面积；
故答案为：16；
（3）四边形ABFD的面积；
故答案为：m2；
（4）∵正方形ABCD的面积＝a2；四边形ABFD的面积；
故四边形ABFD的面积等于正方形ABCD的面积．
26．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF，
∴正方形DEFG的面积DF2（）2．
27．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　　 °（直接写出结果不写解答过程）
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 　　 （直接写出结果不写解答过程）．
【答案】（1）45；
（2）①证明见解析；②15；
（3）2.8．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣90°＝270°，
∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，
∴，，
∴，
∴∠EAF＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45；
（2）①证明：过点A作AG⊥EF于G，
∵AE平分∠BEF，AB⊥EB，AG⊥EF，
∴AB＝AG，
同理可得AD＝AG，
∴AB＝AD，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②∵AG⊥EF，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝GE＝3，
同理可得DF＝GF，
设DF＝GF＝x，
∴EF＝3+x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝3+3＝6，
∴CD＝AB＝AG＝6，
∴CF＝6﹣x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝2，
∴EF＝3+2＝5，
∴；
（3）解：如图2所示，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由折叠可得PD＝PH＝PM＝7，QD＝QH＝3，MR＝HR，∠DPQ＝∠HPQ，∠MPR＝∠HPR，∠D＝∠PHQ＝90°，∠M＝∠PHR＝90°，
∴∠DPM＝2∠HPQ+2∠HPR＝2（∠HPQ+∠HPR）＝2∠QPR＝90°，
∴∠D＝∠DPM＝∠M＝90°，
∴四边形PMGD是矩形，
∵PD＝PM，
∴四边形PMGD是正方形，
∴DG＝MG＝PD＝7，
∴GQ＝DG﹣QD＝7﹣3＝4，
设MR＝HR＝a，则QR＝3+a，GR＝7﹣a，
在Rt△GQR中，GQ2+GR2＝QR2，
∴42+（7﹣a）2＝（3+a）2，
解得a＝2.8，
∴HR＝2.8，
故答案为：2.8．
28．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
29．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）点F到线段AE的距离为．
【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO＝45°，
∴∠DAO＝∠ADO＝45°，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，
∴AC BD＝72，
∴4BO2＝72，
∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，
∴AC＝12，
∵BF＝4，
∴OF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积AC EF＝24，
在Rt△AOE中，AE2，
设点F到线段AE的距离为h，
∴AE h＝24，
即2h＝24，
∴h．
即点F到线段AE的距离为．

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