资源简介

3.1 相似多边形
题型1 比例的性质 题型2 比例线段
题型3 相似图形 题型4 相似多边形的性质
题型1 比例的性质
解｜题｜知｜识 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
【典例1】如果5m＝6n（n≠0），那么下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、∵，∴6m＝5n，不符合题意；
B、∵，∴5m＝6n，符合题意；
C、∵，∴6m＝5n，不符合题意；
D、∵，∴mn＝30，不符合题意．
故选：B．
【变式1】已知，则下列结论一定正确的是（　　）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C． D．
【答案】D
【解答】解：∵，
∴3x＝2y，
∴A、B选项错误；
∵，
∴yx
∴，
∴C选项错误；
∵，
∴11，
∴D选项正确；
故选：D．
【变式2】已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A． B．2x＝3y C． D．
【答案】A
【解答】解：∵，
∴2x＝3y，
，
，
∴，
无法得到．
故选：A．
【变式3】若2x＝3y，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵2x＝3y，
∴．
故选：C．
题型2 比例线段
解｜题｜知｜识 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
【典例1】下面四组线段中不能成比例线段的是（　　）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、、、 D．、、2、
【答案】B
【解答】解：A．2×6＝3×4，能成比例，不符合题意；
B．4×10≠6×8，不能成比例，符合题意；
C．，能成比例，不符合题意；
D．，能成比例，不符合题意．
故选：B．
【变式1】下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝1，b＝1，c＝1，d＝5
B．a＝2，，，
C．a＝1，，，d＝8
D．，b＝3，c＝2，d＝8
【答案】B
【解答】解：A、5×1≠1×1，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、，四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．11cm
【答案】B
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
而a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，
∴d4（cm）．
故选：B．
【变式3】下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．4cm、2cm、1cm、3cm
B．2cm、3cm、5cm、6cm
C．1cm、2cm、20cm、40cm
D．25cm、35cm、45cm、55cm
【答案】C
【解答】解：A、∵4×3≠2×1，
∴4cm，2cm，1cm，3cm四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×6≠3×5，
∴2cm，3cm，5cm，6cm四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵1×40＝2×20，
∴1cm，2cm，20cm，40cm四条线段成比例，符合题意；
D、∵25×55≠35×45，
∴25cm，35cm，45cm，55cm四条线段不成比例，不符合题意；
故选：C．
题型3 相似图形
解｜题｜知｜识 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
【典例1】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　）
A．图形的平移 B．图形的轴对称
C．图形的相似 D．图形的旋转
【答案】C
【解答】解：∵图形形状相同但大小改变，
∴湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中图形的相似，
故选：C．
【变式1】下列各选项中内外两个图形，是相似图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
B、内外两个图形的形状相同，大小不同，故是相似图形，符合题意；
C、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
D、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形，不符合题意．
故选：B．
【变式2】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　）
A．图形的平移 B．图形的轴对称
C．图形的相似 D．图形的旋转
【答案】C
【解答】解：∵剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，
∴图形相似，即体现了数学中图形的相似．
故选：C．
【变式3】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】D
【解答】解：由题意可得新矩形边长为：7和10，
，
故两矩形不相似，
当新三角形的对应边间距离均为1时，则两三角形的对应边平行，且对应点连线相交于一点，故两三角形位似，即相似，
故选：D．
题型4 相似多边形的性质
解｜题｜知｜识 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等．
【典例1】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D'＝55°，则∠C的度数为（　　）
A．125° B．135° C．115° D．120°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝55°，
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝135°，
故选：B．
【变式1】若两个相似六边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　）
A．2：1 B．1：2 C．1：4 D．4：1
【答案】B
【解答】解：根据相似图形的面积比等于相似比的平方可得：
相似比的平方为1：4，
∴相似比为1：2．
故选：B．
【变式2】在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　）
A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元
【答案】C
【解答】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的1.2倍，
∴面积扩大为原来的1.22＝1.44（倍），
∵一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元，
∴扩大后展板的成本为1.44a（元），
故选：C．
【变式3】矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
【答案】B
【解答】解：∵原矩形的长为25，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为5，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
解得：x＝5或﹣5（舍去），
故选：B．
1．已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、，则2a＝3b，故正确，符合题意；
B、，则3a＝2b，故错误，不符合题意；
C、，则ab＝6，故错误，不符合题意；
D、，则3a＝2b，故错误，不符合题意．
故选：A．
2．已知3a＝4b（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、∵，
∴3b＝4a，
故A不符合题意；
B、∵，
∴4b＝3a，
故B符合题意；
C、∵，
∴ab＝12，
故C不符合题意；
D、∵，
∴4a＝3b，
故D不符合题意；
故选：B．
3．若，则的值为 　　 ．
【答案】
【解答】解：∵，
∴ab，
∴．
故答案为：．
4．若3，则的值为 　　 ．
【答案】4
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：4
5．已知，则　 ．
【答案】
【解答】解：∵，
∴3a＝2b，
∴ba，
∴．
故答案为：．
6．如果（b+d≠0），那么 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
7．若，则 　 ．
【答案】
【解答】解：∵，
∴xy，
∴．
故答案为：．
8．若3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　　 ．
【答案】12．
【解答】解：由可得，
∵b+d+f＝4，
∴a+c+e＝12，
故答案为：12．
9．已知，则的值是　 ．
【答案】．
【解答】解：设 a＝2k，b＝3k，c＝4k（k≠0），代入 得：
分子：2×2k+3k﹣4k＝4k+3k﹣4k＝3k，
分母：2k+2×3k+4k＝2k+6k+4k＝12k，
所以 ；
故答案为：．
10．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵2x+3y﹣z＝18，
∴4k+9k﹣4k＝18，
∴k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8，
∴x+y+z＝4+6+8＝18．
11．已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．
【答案】20．
【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
代入3a﹣2b+c＝9得，
15k﹣14k+8k＝9，
解得：k＝1，
则a＝5，b＝7，c＝8，
所以△ABC的周长是：5+7+8＝20．
12．已知，求的值．
【答案】．
【解答】解：设t，则x＝4t，y＝6t，z＝7t，
所以原式．
13．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　）
A．6cm B． C．1.5cm D．3cm
【答案】A
【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即2：4＝3：d，
解得d＝6（cm）．
故选：A．
14．下列各组线段是成比例线段的是（　　）
A．2，3，4，5 B．2，4，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8
【答案】B
【解答】解：在四条线段中，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，
A、2×5≠3×4，故A选项不符合题意；
B、2×12＝4×6，故B选项符合题意；
C、3×12≠6×8，故C选项不符合题意；
D、2×8≠4×6，故D选项不符合题意．
故选：B．
15．下列各组线段中，能够组成比例的是（　　）
A．a＝2，，c＝3，d＝6 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8
C．a＝1，，c＝2， D．a＝100，b＝20，c＝4，d＝1
【答案】C
【解答】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、2×8≠6×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意；
D、100×1≠4×20，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，
故选：C．
16．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝6，c＝2，则d＝　　 ．
【答案】4．
【解答】解：由题知，
因为a、b、c、d是成比例线段，
所以ad＝bc．
因为a＝3，b＝6，c＝2，
所以3×d＝6×2，
解得d＝4．
故答案为：4．
17．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4，
∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k，
∵a+2b+c＝33，
∴3k+4k+4k＝33，
∴k＝3，
∴a＝9，b＝6，c＝12；
（2）由题意x2＝ab＝54，
∴x＝3（负根已经舍去）．
18．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值．
【答案】a＝6，b＝4，c＝12．
【解答】解：∵线段a、b、c满足，
∴设，则a＝3k，b＝2k，c＝6k．
∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12．
19．书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm，若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求a的值．
【答案】a的值为0.1m．
【解答】解：∵AB＝1.2+c+d＝1.2+2c＝1.2+4a，AD＝0.8+a+b＝0.8+2a，
∴，
∴a＝0.1，
经检验a＝0.1是原方程的解．
∴a的值为0.1m．
20．已知线段a，b，c满足，且a+b+c＝30．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
【答案】（1）a＝6，b＝15，c＝9；
（2）3．
【解答】解：（1）设，则a＝2k，b＝5k，c＝3k，
又a+b+c＝30，
∴2k+5k+3k＝30，
解得k＝3，
∴a＝2k＝2×3＝6，b＝5k＝5×3＝15，c＝3k＝3×3＝9，即a＝6，b＝15，c＝9；
（2）∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴k2＝ab＝6×15＝90，
解得或（舍去），
∴线段．
21．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　　）
A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁
【答案】D
【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，
故选：D．
22．下列说法中错误的是（　　）
A．所有等边三角形都相似
B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似
C．所有菱形都相似
D．所有的正方形都相似
【答案】C
【解答】解：A、∵等边三角形的角都为60°，∴所有等边三角形都相似，故不符合题意；
B、相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，故不符合题意；
C、菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，故符合题意；
D、∵正方形的每个内角都为90°，∴所有的正方形都相似，故不符合题意，
故选：C．
23．下列说法正确的个数有（　　）
①所有正方形都相似；
②所有的矩形都相似；
③所有的菱形都相似；
④所有的等腰三角形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：①所有正方形都相似，故此选项符合题意；
②所有的矩形都相似，矩形对应边不一定成比例，故此选项不合题意；
③所有的菱形都相似，菱形对应角不一定相等，故此选项不合题意；
④所有的等腰三角形都相似，等腰对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故此选项不合题意．
故选：A．
24．甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似．
乙说：将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【解答】解：∵三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个三角形相似．
∵矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个矩形不相似，
故选：C．
25．下列说法不正确的是（　　）
A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
【答案】B
【解答】解：A、两三角形对应角相等，故相似；
B、所有的矩形的对应角相等，对应边的比不相等，故不相似；
C、所有边数相等的正多边形相似的；
D、所有的等边三角形都相似．
故选：B．
26．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　　 ．
【答案】11
【解答】解：由两个枫叶图案相似，
可得，
解得x＝11，
即x的值为11．
故答案为：11．
27．同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题．
（1）数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为an，那么（其中n≥1）．
①试求a10＝　　 ，连续三项an、an+1、an+2的关系是an+2＝an+an+1 ；
②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）；
（2）在矩形ABCD中，AB＜AD，点E、F在边AD和BC上，四边形EFCD是正方形，已知矩形BFEA与矩形ABCD相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）；
（3）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜∠A＝　　 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD）
【答案】（1）①55，an+an+1；②，x2+x﹣1＝0；
（2）；
（3）36，
由，不妨设BC＝x，AB＝1，
又AB＝AC，
故AB＝AC＝1，
以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD，
根据题意，CD＝BC＝x，
又BD＝AB﹣AD＝1﹣AD，且x与上面（2）中的一致，
∴，
∴，
∴AD＝x，
∴AD＝CD＝BC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BDC，
又∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，
∴∠B＝∠ACB＝2∠A，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
【解答】解：（1）①1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，
故a10＝55；
根据题意，得第n项为，
，，
故
＝an+2，
故答案为：55；an+an+1．
②根据前面的解答，得知an+an+1＝an+2，
等式的两边同时除以an+1，得，
继续变形得：，
又，
故，
整理，得x2+x﹣1＝0．
（2）设，
则，
在矩形ABCD中，
得AB＝CD，AD＝BC，
又四边形EFCD是正方形，
故EF＝FC＝CD＝DE，
故AB＝EF＝FC＝CD＝DE，
故，
又矩形BFEA与矩形ABCD相似，
故，
∴，
∴，
∴，
整理，得x2+x﹣1＝0，
解得，
∴，（舍去），
经检验，是分式方程的根，
故x的值为．
（3）由，不妨设BC＝x，AB＝1，
又AB＝AC，
故AB＝AC＝1，
以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD，
根据题意，CD＝BC＝x，
又BD＝AB﹣AD＝1﹣AD，且x与上面（2）中的一致，
∴，
∴，
∴AD＝x，
∴AD＝CD＝BC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BDC，
又∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，
∴∠B＝∠ACB＝2∠A，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
解得∠A＝36°，
故答案为：36．
28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE＝（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】D
【解答】解：设CE＝x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴，
∵AB＝3，BE＝2，EF＝AB，
∴，
解得：x＝4.5，
故选：D．
29．如图，已知 ABCD∽ EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°．
（1）求∠M的度数；
（2）若ME＝3，求DE的长．
【答案】（1）50°；
（2）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°，
∵ ABCD∽ EMFC，
∴∠M＝∠B＝50°；
故答案为：50；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD
∵ ABCD∽ EMFC，
∴
∵AB＝4，BC＝6，ME＝3，
∴，
∴，
∴．
30．综合与实践
学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下：
活动任务 设计数学文化节展板
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm．
版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm．
问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：…
（1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值；
（2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　　 ．
【答案】（1）20；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得AB＝120cm，AD＝240cm．
∵矩形EFGH∽矩形ABCD，
∴，
∵a＝10，
∴EF＝AB﹣2a＝120﹣10×2＝100cm．
∵EH＝AD﹣2b＝（240﹣2b）cm，
∴，
解得b＝20．
答：b的值为20．
（2）∵矩形MNGH∽矩形ABCD，
∴，
∴，
∵AD＝240cm，AB＝120cm，
∴，
由图可得，，
∴，
，
﹣4a＝﹣5b，
，
故答案为：．
31．如图，已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，求x，y和∠C1．
【答案】∠C1＝75°，x＝24，y＝28．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠A＝∠A1＝70°，∠D＝∠D1＝85°，
∵∠B1＝130°，
∴∠C1＝360°﹣∠A1﹣∠B1﹣∠D1＝75°，
∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴，
解得：x＝24，y＝28．3.1 相似多边形
题型1 比例的性质 题型2 比例线段
题型3 相似图形 题型4 相似多边形的性质
题型1 比例的性质
解｜题｜知｜识 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
【典例1】如果5m＝6n（n≠0），那么下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】已知，则下列结论一定正确的是（　　）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C． D．
【变式2】已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A． B．2x＝3y C． D．
【变式3】若2x＝3y，则的值为（　　）
A． B． C． D．
题型2 比例线段
解｜题｜知｜识 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
【典例1】下面四组线段中不能成比例线段的是（　　）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、、、 D．、、2、
【变式1】下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝1，b＝1，c＝1，d＝5
B．a＝2，，，
C．a＝1，，，d＝8
D．，b＝3，c＝2，d＝8
【变式2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．11cm
【变式3】下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．4cm、2cm、1cm、3cm
B．2cm、3cm、5cm、6cm
C．1cm、2cm、20cm、40cm
D．25cm、35cm、45cm、55cm
题型3 相似图形
解｜题｜知｜识 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
【典例1】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　）
A．图形的平移 B．图形的轴对称
C．图形的相似 D．图形的旋转
【变式1】下列各选项中内外两个图形，是相似图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　）
A．图形的平移 B．图形的轴对称
C．图形的相似 D．图形的旋转
【变式3】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对
题型4 相似多边形的性质
解｜题｜知｜识 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等．
【典例1】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D'＝55°，则∠C的度数为（　　）
A．125° B．135° C．115° D．120°
【变式1】若两个相似六边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　）
A．2：1 B．1：2 C．1：4 D．4：1
【变式2】在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　）
A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元
【变式3】矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
1．已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知3a＝4b（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若，则的值为 　　 ．
4．若3，则的值为 　　 ．
5．已知，则　 ．
6．如果（b+d≠0），那么 　　 ．
7．若，则 　 ．
8．若3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　　 ．
9．已知，则的值是　 ．
10．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
11．已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．
12．已知，求的值．
13．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　）
A．6cm B． C．1.5cm D．3cm
14．下列各组线段是成比例线段的是（　　）
A．2，3，4，5 B．2，4，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8
15．下列各组线段中，能够组成比例的是（　　）
A．a＝2，，c＝3，d＝6 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8
C．a＝1，，c＝2， D．a＝100，b＝20，c＝4，d＝1
16．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝6，c＝2，则d＝　　 ．
17．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
18．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值．
19．书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm，若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求a的值．
20．已知线段a，b，c满足，且a+b+c＝30．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
21．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　　）
A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁
22．下列说法中错误的是（　　）
A．所有等边三角形都相似
B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似
C．所有菱形都相似
D．所有的正方形都相似
23．下列说法正确的个数有（　　）
①所有正方形都相似；
②所有的矩形都相似；
③所有的菱形都相似；
④所有的等腰三角形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似．
乙说：将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
25．下列说法不正确的是（　　）
A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
26．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　　 ．
27．同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题．
（1）数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为an，那么（其中n≥1）．
①试求a10＝　　 ，连续三项an、an+1、an+2的关系是an+2＝an+an+1 ；
②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）；
（2）在矩形ABCD中，AB＜AD，点E、F在边AD和BC上，四边形EFCD是正方形，已知矩形BFEA与矩形ABCD相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）；
（3）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜∠A＝　　 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD）
28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE＝（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
29．如图，已知 ABCD∽ EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°．
（1）求∠M的度数；
（2）若ME＝3，求DE的长．
30．综合与实践
学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下：
活动任务 设计数学文化节展板
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm．
版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm．
问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：…
（1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值；
（2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　　 ．
31．如图，已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，求x，y和∠C1．

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