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3.3 相似三角形判定定理的证明
题型1 相似三角形的判定 题型2 平行线分线段成比例
题型1 相似三角形的判定
解｜题｜知｜识 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，连接AF交BD于点E，延长AF交DC的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DG，AD∥BC，
由AD∥BC可得，△ADE∽△FBE，△ADG∽△FCG；
由AB∥DG可得△DEG∽△BEA，△ABF∽△GCF；
由平行四边形性质可得△ABD∽△CDB，
由相似传递性可得△ABF∽△ADG；
综上所述：相似三角形共有6对．
故选：D．
【变式1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　）
A．∠AED＝∠B B．
C．AD BC＝DE AC D．∠ADE＝∠C
【答案】C
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A正确，不符合题意；
∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B正确，不符合题意；
∵AD BC＝DE AC，
∴，无法判断△ADE∽△ACB，
故C符合题意，
∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】A
【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
【变式3】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【答案】D
【解答】解：∵△ABP与△ACB有公共角∠A，
当添加条件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，
都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，
故添加条件A、B能判断△ABP∽△ACB；
由于AB、AP、AC、AB都是夹着∠A的边，当添加条件时，
满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法，
故添加条件C能判断△ABP∽△ACB；
当添加条件时，不满足相似三角形的判定方法，
故添加条件D不能判断△ABP∽△ACB．
故选：D．
题型2 平行线分线段成比例
解｜题｜知｜识 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
【典例1】如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF；
∵DE∥BC，
∴，
，
∵EF∥AB，
∴，，
∴，
故选：C．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　）
A．12 B．6 C．18 D．16
【答案】A
【解答】解：∵DF：DC＝1：3，
∴DF：FC＝1：2，
∵在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．
∴，则，
∴BE＝12．
故选：A．
【变式2】如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
【答案】C
【解答】解：方法1，
∵AC∥BD，BD＝2AC，
∴，
∴点P把线段AB分成1：2的两条线段；
方法2，如图，连接BC，AD，
∵BC∥AD，AD＝2BC，
∴，
∴点P把线段AB分成1：2的两条线段；
∴方法1，2都对．
故选：C．
【变式3】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝8，BC＝12，EF＝9，
∴，
解得：DE＝6，
故选：B．
1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，P是边AC的中点．按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB于点D，交线段BC于点E；
②以点P为圆心，BD长为半径画弧，交线段AP于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G；
④作直线PG，交线段AB于点Q．
以下结论不一定成立的是（　　）
A．∠APQ＝∠B
B．∠BQP+∠C＝180°
C．△APQ与△ABC的相似比为1：2
D．△ABC∽△APQ
【答案】C
【解答】解：由作法得∠APQ＝∠B，所以A选项不符合题意；
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠AQP＝∠C，
∵∠BQP+∠AQP＝180°，
∴∠BQP+∠C＝180°，所以B选项不符合题意；
∴△APQ∽△ABC，所以D选项不符合题意；
∴相似比为，
而AB与AC不一定相等，APAC，
∴相似比不一定为，所以C选项符合题意；
故选：C．
3．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝（　　）时，△ABC∽△CBD．
A． B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝∠CBD＝90°，
当时，△ABC∽△CBD，
∵AC＝8，CB＝2，
即，
解得，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：如图1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
故A不符合题意；
如图2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，
∴△FGC∽△ABC，
故B不符合题意；
如图3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
故C不符合题意；
如图4，△IBJ与△ABC的对应边不成比例，
∴△IBJ与△ABC不相似，
故D符合题意，
故选：D．
5．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C． D．AB2＝AD AC
【答案】C
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、∵AB2＝AD AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．
故选：C．
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论中①A、B、C、D四点共圆；②MN⊥BD；③MN＝2；④；⑤△BAD∽△COD，正确的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．
如图所示，连接BM，DM．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别为AC、BD的中点，
∴，
∴A、B、C、D四点共圆，故①正确；
∵N是BD的中点，
∴MN是BD的垂直平分线，
∴MN⊥BD．故②正确；
∵∠ACD＝15°，，
∴∠DCA＝∠CDM＝15°，
∴∠DMA＝30°．
∵OD＝OM，
∴∠ODM＝∠DMA＝30°．
∵AC＝8，，
∴DM＝4．
在Rt△DMN中，
∠DNM＝90°，∠NDM＝30°，
∴．故③正确；
∵在Rt△DNM，∠NDM＝30°，
∴∠DMN＝60°，
∵∠DMO＝30°，
∴∠OMN＝30°，
∵MN是BD的垂直平分线，
∴∠BMN＝∠DMN＝60°，
∴∠BMO＝90°，
∴∠BMC＝180°﹣∠BMO＝90°，
∴BM⊥AC，
∴AB＝BC
∵AC＝8，
∴BA2+BC2＝AC2＝64，即2BA2＝64，
∴（舍负），故④错误；
∵AM＝BM，∠AMB＝90°，
∴∠ABM＝∠BAM＝45°，
∵∠DBM＝30°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠AOB＝∠DOC
∵∠BDC＝∠BAM＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠ODC，
∴△BAD∽△COD，故⑤正确．
故选：C．
7．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB，BC＝2，AC，
选项A中三角形三边为1，，，而，所以A选项中的三角形与△ABC不相似；
选项B中三角形三边为1，，2，而，所以B选项中的三角形与△ABC不相似；
选项C中三角形三边为1，，，因为，所以C选项中的三角形与△ABC相似；
选项D中三角形三边为，，，而，所以D选项中的三角形与△ABC不相似．
故选：C．
8．下列两个三角形一定相似的是（　　）
A．两个直角三角形
B．有一个角是30°的两个等腰三角形
C．两个等边三角形
D．两个面积相等的三角形
【答案】C
【解答】解：A．两个直角三角形只可以确定一组角相等，无法判定相似，不符合题意；
B．不能确定30°是底角，还是顶角，无法判定相似，不符合题意；
C．两个等边三角形三个角对应相等，可以判定相似，符合题意；
D．两个面积相等的三角形，只能得到底和高的积相等，无法判定相似，不符合题意．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列条件中：①AC2＝AP AB；②∠ACP＝∠B；③∠APC＝∠ACB；④AB CP＝AP CB．能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△APC，所以②正确；
当∠APC＝∠ACB时，△ACP∽△APC，所以③正确；
当，即AC2＝AP AB时，△ACP∽△APC，所以①正确，④错误．
故选：B．
10．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意∠ABC＝135°，BC＝2，，
∴，
选项A中的三角形是有一个角为135°，且该角度的邻边之比为，符合题意．
故选：A．
11．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（　　）
A．①组和②组的两个三角形都相似
B．①组和②组的两个三角形都不相似
C．只有①组的两个三角形相似
D．只有②组的两个三角形相似
【答案】A
【解答】解：如图①∵∠A＝35°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵∠E＝75°，∠F＝70°，
∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，
∴△ABC∽△DEF；
如图②，∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，
，
∵∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC∽△DOB．
故选：A．
12．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】C
【解答】解：如图，连接BF，
网格可知，
，
∴，
∴△ABC∽△BCF，
故选：C．
13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为　 ．
【答案】2或或3．
【解答】解：如图1，若DP∥AB，则△CDP∽△CBA．
∴．
∵AB＝6，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，
∴．
∴DP＝2．
如图2，若DP∥AC，则△BDP∽△BCA，
∴，
∴，
∴；
如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C，
则△CDP∽△CAB．
∴，
∴，
∴PD＝3，
综上所述，PD的长为2或或3，
故答案为：2或或3．
14．如图所示，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（s）表示时间（0≤x≤6）．
（1）当x＝ 　　 s时，△POQ的面积是8cm2；
（2）当x＝ 　　 s时，以P、O，Q为顶点的三角形与△AOB相似．
【答案】（1）2或4；
（2）3或．
【解答】解：（1）根据题意，，
∵动点P的速度为2cm/s，动点Q的速度为1cm/s，设运动时间为xs，
∴BQ＝xcm，OQ＝OB﹣BQ＝（6﹣x）cm，OP＝2xcm，
故，
整理，得x2﹣6x+8＝0，
解得x＝2或x＝4，
故x＝2s或4s，
故答案为：2或4．
（2）当△AOB∽△QOP时，
∴，
∴，
解得；
当△AOB∽△POQ时，
∴，
∴，
解得x＝3；
故答案为：3或．
15．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED，求证：△ABC∽△DEC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠CED，
∴△ABC∽△DEC．
16．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4，
求证：△CDB∽△CBA．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4，
∴，，
∴．
∵∠BCD＝∠ACB，
∴△CDB∽△CBA．
17．如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD，AC＝4，AD＝2，BD＝6，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵D在AB边上，AC＝4，AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，
∵AC2＝AD AB＝2×8＝16，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
18．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点．
（1）以上三人方法正确的有哪些　　 ．（填序号）
（2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC；
（3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，，求AP的长．
【答案】（1）①②；
（2）小红的证明：
∵，
∴△ACP∽△ABC．
（3）2．
【解答】（1）解：①小星的证明：
∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC；
②小红的证明：
∵，
∴△ACP∽△ABC；
③小亮的证明：由，
不能证明△ACP∽△ABC，
∴小星和小红对，小亮错．
故答案为：①②；
（2）证明：小红的证明：
∵，
∴△ACP∽△ABC．
（3）解：∵△ACP∽△ABC，
∴，
∵BP＝1，，
∴，
解得AP＝2．（负值已舍去）
19．如图，AE，BF是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档AB，CD，EF互相平行．已知 AC＝50cm，AE＝75cm，DF＝20cm，那么BD的长为（　　）
A．50cm B．30cm C．60cm D．40cm
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC＝50cm，AE＝75cm，
∴CE＝AE﹣AC＝75﹣50＝25（cm）；
∴，
∴BD＝40cm．
故选：D．
20．如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB＝6，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　）
A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5
【答案】B
【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝6，BC＝4，EF＝3，
∴，即，
∴，
故选：B．
21．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，EF＝4，则DF的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．
∴，
∵AB＝3，BC＝5，EF＝4，
∴，
∴，
故选：A．
22．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，，
∴选项B符合题意．
故选：B．
23．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，①；②；③；④．其中正确的有　　 ．
【答案】①②④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴，，，，
故①②④正确；③错误；
故答案为：①②④．
24．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比．已知OD＝3，则AD的长为　 　 ．
【答案】．
【解答】解：由条件可知，即，
∴，
∴AD，
故答案为：．
25．如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点A，B，C．若，则AB的长是 　　 cm．
【答案】．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CM于点E，交NB于点D，
∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得，，
故答案为：．
26．阅读题
请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB：AC＝BD：CD．
下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作CE//DA，交BA的延长线于E，
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图（3），已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决）
【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】（1）证明：如图（2），过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E，
∵CE∥DA，
∴BD：CD＝BA：EA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴AB：AC＝BD：CD；
（2）解：如图（3），∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC5，
∵AD平分∠BAC，
∴，即，
∴BDBC．
27．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝FC，DF＝EC
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∵AC＝8，BC＝12，
∴AF＝2，DF＝3
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6，
∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3
∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18．
答：四边形DECF的周长是18．
28．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝3：2，FC＝2，AC＝6，求DE和CE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴，
∵AC＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝6﹣CE，
∴，解得CE＝2.4，
∵EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴BC＝DE+CF＝DE+2，
∵AD：BD＝3：2，
∴AD：AB＝3：5，
∴，
即，解得DE＝3．
29．如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F．
（1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ 　　 ；
（2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ 　　 ；
（3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ 　　 ；
（4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ 　　 ，并证明．
【答案】（1）1：3；
（2）1：5；
（3）1：7；
（4）1：（2n+1），理由见解析．
【解答】解：（1）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴DG是△BCF的中位线，
∴DG∥EF，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
又FG＝CG，
∴，
即AF：AC＝1：3，
故答案为：1：3；
（2）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴DG∥EF，
∴，
又FG＝CG，
∴，
即AF：AC＝1：5，
故答案为：1：5；
（3）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴DG∥EF，
∴，
∵AE：ED＝1：3，
∴，
又FG＝CG，
∴，
即AF：AC＝1：7，
故答案为：1：7；
（4）AF：AC＝1：（2n+1）．
理由：取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴DG∥EF，
∴，
∵AE：ED＝1：n，
∴，
又FG＝CG，
∴，
即AF：AC＝1：（2n+1），
故答案为：1：（2n+1）．
30．如图，在△ABC中，DE∥BC，．
求：（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵，
∴；
（2）∵DE∥BC，
∴，
又∵，
∴，
∴．3.3 相似三角形判定定理的证明
题型1 相似三角形的判定 题型2 平行线分线段成比例
题型1 相似三角形的判定
解｜题｜知｜识 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，连接AF交BD于点E，延长AF交DC的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【变式1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　）
A．∠AED＝∠B B．
C．AD BC＝DE AC D．∠ADE＝∠C
【变式2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【变式3】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
题型2 平行线分线段成比例
解｜题｜知｜识 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
【典例1】如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　）
A．12 B．6 C．18 D．16
【变式2】如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
【变式3】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
2．如图，在△ABC中，P是边AC的中点．按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB于点D，交线段BC于点E；
②以点P为圆心，BD长为半径画弧，交线段AP于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G；
④作直线PG，交线段AB于点Q．
以下结论不一定成立的是（　　）
A．∠APQ＝∠B
B．∠BQP+∠C＝180°
C．△APQ与△ABC的相似比为1：2
D．△ABC∽△APQ
3．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝（　　）时，△ABC∽△CBD．
A． B． C． D．1
4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C． D．AB2＝AD AC
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论中①A、B、C、D四点共圆；②MN⊥BD；③MN＝2；④；⑤△BAD∽△COD，正确的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列两个三角形一定相似的是（　　）
A．两个直角三角形
B．有一个角是30°的两个等腰三角形
C．两个等边三角形
D．两个面积相等的三角形
9．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列条件中：①AC2＝AP AB；②∠ACP＝∠B；③∠APC＝∠ACB；④AB CP＝AP CB．能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
10．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（　　）
A．①组和②组的两个三角形都相似
B．①组和②组的两个三角形都不相似
C．只有①组的两个三角形相似
D．只有②组的两个三角形相似
12．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为　 ．
14．如图所示，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（s）表示时间（0≤x≤6）．
（1）当x＝ 　　 s时，△POQ的面积是8cm2；
（2）当x＝ 　　 s时，以P、O，Q为顶点的三角形与△AOB相似．
15．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED，求证：△ABC∽△DEC．
16．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4，
求证：△CDB∽△CBA．
17．如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD，AC＝4，AD＝2，BD＝6，求证：△ACD∽△ABC．
18．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点．
（1）以上三人方法正确的有哪些　　 ．（填序号）
（2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC；
（3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，，求AP的长．
19．如图，AE，BF是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档AB，CD，EF互相平行．已知 AC＝50cm，AE＝75cm，DF＝20cm，那么BD的长为（　　）
A．50cm B．30cm C．60cm D．40cm
20．如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB＝6，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　）
A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5
21．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，EF＝4，则DF的长为（　　）
A． B． C．2 D．
22．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
23．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，①；②；③；④．其中正确的有　　 ．
24．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比．已知OD＝3，则AD的长为　 　 ．
25．如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点A，B，C．若，则AB的长是 　　 cm．
26．阅读题
请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB：AC＝BD：CD．
下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作CE//DA，交BA的延长线于E，
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图（3），已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决）
27．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长．
28．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝3：2，FC＝2，AC＝6，求DE和CE的长．
29．如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F．
（1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ 　　 ；
（2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ 　　 ；
（3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ 　　 ；
（4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ 　　 ，并证明．
30．如图，在△ABC中，DE∥BC，．
求：（1）；
（2）．

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