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5.1 认识二次函数
题型1 二次函数的定义
题型1 二次函数的定义
解｜题｜知｜识 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
【典例1】当m＝　　 时，函数y＝（m﹣1）x|m|+1是二次函数．
【答案】﹣1
【解答】解：依题意可知|m|+1＝2，
解得m＝1或m＝﹣1，
又∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴当m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）x|m|+1是二次函数．
故答案为：﹣1．
【变式1】若二次函数，则k＝ 　　 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意得，k2﹣3k+4＝2，k﹣1≠0，
解得k＝2，
故答案为：2．
【变式2】已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
【答案】（1）m的值为﹣1；
（2）m的值为1．
【解答】解：（1）由条件可知当m2+1＝1时，则m2＝0，
解得m1＝m2＝0，
∴
＝（0+1）x0+1+（0﹣1）x+0﹣2
＝x﹣x﹣2
＝﹣2，不是一次函数，
当m+1＝0时，则m＝﹣1，
∴
＝﹣2x﹣3，
综上所述，m的值为﹣1；
（2）∵是二次函数，
∴m2+1＝2，
m2＝1，
m＝±1，
当m＝﹣1时，
＝﹣2x﹣3，是一次函数，不符合题意，
∴当m＝1时，
＝2x2﹣1，
综上所述，m的值为1．
【变式3】已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；
（2）若这个函数是一次函数，求m的值；
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是二次函数，
即m2﹣m≠0，
即m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；
（2）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是一次函数，
即m2﹣m＝0且m﹣1≠0
∴m＝0
∴当m＝0，函数是一次函数；
（3）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是正比例函数，
即m2﹣m＝0且2﹣2m＝0且m﹣1≠0
∴m不存在
∴函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m不可能是正比例函数．
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝4x2﹣（2x+1）2 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．
【答案】C
【解答】解：A：y＝4x2﹣（2x+1）2＝4x2﹣（4x2+4x+1）＝﹣4x﹣1，为一次函数；
B：y＝ax2+bx+c，当a＝0时不是二次函数，因此不一定为二次函数；
C：s＝2t2﹣2t﹣1，是整式，a＝2≠0，一定为二次函数；
D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数；
故选：C．
2．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D．
【答案】C
【解答】解：A：最高次项为一次，不符合题意；
B：最高次项为一次，不符合题意；
C：满足二次函数的定义，符合题意；
D：y不是整式，不符合题意．
故选：C．
3．下列函数属于二次函数的是（　　）
A． B．y＝（x﹣2）2﹣x2
C．y＝x（x﹣1） D．y＝﹣2x+1
【答案】C
【解答】解：A、函数是反比例函数，不符合二次函数的形式，故不是二次函数；
B、函数y＝（x﹣2）2﹣x2化简为y＝﹣4x+4，是一次函数，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数；
C、函数y＝x（x﹣1）化简为y＝x2﹣x，是二次函数；
D、函数y＝﹣2x+1是一次函数，不符合二次函数的形式，故不是二次函数．
故选：C．
4．下列函数属于关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝（x﹣2）2﹣x2
C．y＝﹣3x2+2x﹣1 D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解答】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误，不符合题意；
B、y＝（x﹣2）2﹣x2＝x2﹣4x+4﹣x2＝﹣4x+4，是一次函数，不是二次函数，选项错误，不符合题意；
C、y＝﹣3x2+2x﹣1是二次函数，选项正确，符合题意；
D、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．下列函数中，①；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④；⑤y＝﹣x+x2，是二次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：根据二次函数的定义可知②y＝﹣x2﹣3x；⑤y＝﹣x+x2是二次函数，
故选：B．
6．下列函数中是二次函数的有（　　）
①；
②；
③y＝x（3﹣5x）；
④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①y＝3；③y＝x（3﹣5x）；是二次函数，共2个，
故选：B．
7．下列函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝﹣2x2+3x3；④；⑤y＝ax2+bx+c．其中，二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：下列函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝﹣2x2+3x3；④；⑤y＝ax2+bx+c中，
①y＝2x﹣1为一次函数，不是二次函数；
②y＝﹣2x2﹣1，是二次函数；
③y＝﹣2x2+3x3，最高次数为3，不是二次函数；
④，含有分式，不是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，a可能为0，不一定是二次函数．
故选：A．
8．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【答案】B
【解答】解：y＝（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1是关于x的二次函数，则|m|+1＝2且m+1≠0，解得：m＝1．
故选：B．
9．下列关于x的函数是二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2+2x C．y＝2（x﹣3） D．
【答案】B
【解答】解：A、y＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B、y＝x2+2x中自变量x的最高指数为2，所以y＝x2+2x是二次函数，故该选项符合题意；
C、y＝2（x﹣3）＝2x﹣6是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D、不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选：B．
10．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（x﹣3） D．y＝2x（x+3）﹣2x2
【答案】C
【解答】解：A、y不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、y＝x2﹣3x是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝2x（x+3）﹣2x2＝6x是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
11．下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C． D．y＝﹣x（x+3）
【答案】D
【解答】解：A、y＝x﹣1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数，不符合题意；
C、y不是二次函数，不符合题意；
D、y＝﹣x（x+3）＝﹣x2﹣3x是二次函数，符合题意．
故选：D．
12．二次函数y＝﹣2x2+6x﹣1的一次项系数是（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣6 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣2x2+6x﹣1，
∴该函数的一次项系数为6，
故选：B．
13．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2
【答案】C
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B不符合题意；
C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C符合题意；
D、y＝x2不是二次函数，故D不符合题意．
故选：C．
14．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（　　）
A．y＝5x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x（x+1） D．y
【答案】C
【解答】解：A：y＝5x﹣1此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，不符合题意；
B：y＝ax2+bx+c二次函数需满足a≠0，但题目未限定a的取值（如a＝0时为一次函数），因此不一定是二次函数，不符合题意；
C：y＝2x（x+1），展开得：y＝2x2+2x，符合y＝ax2+bx+c（a≠0），且为整式函数，因此一定是二次函数，符合题意；
D：，含分式项（即x﹣1），非整式函数，不符合二次函数定义，不符合题意．
故选：C．
15．如图为二次函数．y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有①abc＜0②2a+b＝0； ③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0； ⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝2．（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b），即a+b+c＜am2+bm+c，
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
⑤∵，
∴abx1﹣abx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤，共4个；
故选：C．
16．若y＝（2﹣a）是二次函数，则a的值是（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：由题意得：a2﹣2＝2且2﹣a≠0，
解得：a＝﹣2，
故选：B．
17．若函数是二次函数，则m的值一定是（　　）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
【答案】B
【解答】解：∵此函数是二次函数，
∴，
解得m＝0．
故选：B．
18．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x2﹣1 D．
【答案】C
【解答】解：A、分母中含字母，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
C、y＝2x2﹣1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
19．下列函数中，①；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④；⑤y＝﹣x+x2．是二次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下：
①，不是二次函数，不符合题意；
②y＝﹣x2﹣3x，是二次函数，符合题意；
③y＝x（x2+x+1）＝x3+x2+x，不是二次函数，不符合题意；
④，不是二次函数，不符合题意；
⑤y＝﹣x+x2，是二次函数，符合题意；
故选：B．
20．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
21．若y＝（m﹣2）x+1是二次函数，则m的值是（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2
【答案】C
【解答】解：∵y＝（m﹣2）x+1是关于x的二次函数，
∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
∴m＝﹣2．
故选：C．
22．下列函数关系中，是二次函数的是（　　）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
【答案】D
【解答】解：A、y＝kx+b，是一次函数，错误；
B、t，是反比例函数，错误；
C、C＝3a，是正比例函数，错误；
D、S．是二次函数，正确；
故选：D．
23．已知二次函数y＝1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝﹣3，c＝1
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝1﹣3x+5x2是二次函数，
∴a＝5，b＝﹣3，c＝1．
故选：D．
24．若函数是关于x的二次函数，则m的值为　　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m＝2，
解得：m＝1或m＝﹣2，
∵m+2≠0，
∴m≠﹣2，
∴m＝1，
故答案为：1．
25．已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝　　 ．
【答案】﹣3
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，
∴|m+1|＝2，
解得m＝1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
26．若是关于x的二次函数，则m的值为　　 ．
【答案】2
【解答】解：由条件可知 x 的最高次项为二次，即 m2﹣2＝2．
解方程 m2﹣2＝2，得 m2＝4，所以 m＝2 或 m＝﹣2．
又∵m+2≠0，
∴m＝﹣2 舍去．
∴m＝2．
当 m＝2 时，函数为 y＝4x2+2x+3，满足二次函数定义．
27．若y＝x|m|+3x﹣2是关于x的二次函数，则m＝　　 ．
【答案】2或﹣2．
【解答】解：由题意可得：|m|＝2，
∴m＝2或﹣2．
故答案为：2或﹣2．
28．当m＝　　 时，函数是二次函数．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵函数是二次函数，
∴m2﹣2＝2，
解得m＝±2，
又∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
29．已知函数y＝（k﹣3）x|k|﹣1+x+4是关于x的二次函数，则k的值为　　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：根据题意得，
∴|k|﹣1＝2且k﹣3≠0，
解得k＝﹣3或k＝3，且k≠3，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
30．若函数是关于x的二次函数．则常数m的值是 　　 ．
【答案】﹣1
【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
31．若函数y＝（m﹣2）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是　　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
32．当a＝　　 时，函数y＝（a﹣1）x﹣3是二次函数．
【答案】﹣1．
【解答】解：根据题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
由a﹣1≠0得a≠1，
由a2+1＝2得a＝±1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
33．若y＝（a﹣1）是关于x的二次函数，则a＝ 　　 ．
【答案】﹣1
【解答】解：根据题意得：3a2﹣1＝2；
解得a＝±1；
又因a﹣1≠0；
即a≠1；
∴a＝﹣1．
34．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝　　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|+1是二次函数，
∴，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．5.1 认识二次函数
题型1 二次函数的定义
题型1 二次函数的定义
解｜题｜知｜识 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
【典例1】当m＝　　 时，函数y＝（m﹣1）x|m|+1是二次函数．
【变式1】若二次函数，则k＝ 　　 ．
【变式2】已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
【变式3】已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；
（2）若这个函数是一次函数，求m的值；
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝4x2﹣（2x+1）2 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．
2．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D．
3．下列函数属于二次函数的是（　　）
A． B．y＝（x﹣2）2﹣x2
C．y＝x（x﹣1） D．y＝﹣2x+1
4．下列函数属于关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝（x﹣2）2﹣x2
C．y＝﹣3x2+2x﹣1 D．y＝ax2+bx+c
5．下列函数中，①；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④；⑤y＝﹣x+x2，是二次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列函数中是二次函数的有（　　）
①；
②；
③y＝x（3﹣5x）；
④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝﹣2x2+3x3；④；⑤y＝ax2+bx+c．其中，二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
9．下列关于x的函数是二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2+2x C．y＝2（x﹣3） D．
10．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（x﹣3） D．y＝2x（x+3）﹣2x2
11．下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C． D．y＝﹣x（x+3）
12．二次函数y＝﹣2x2+6x﹣1的一次项系数是（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣6 D．﹣1
13．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2
14．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（　　）
A．y＝5x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x（x+1） D．y
15．如图为二次函数．y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有①abc＜0②2a+b＝0； ③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0； ⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝2．（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．若y＝（2﹣a）是二次函数，则a的值是（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定
17．若函数是二次函数，则m的值一定是（　　）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
18．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x2﹣1 D．
19．下列函数中，①；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④；⑤y＝﹣x+x2．是二次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
21．若y＝（m﹣2）x+1是二次函数，则m的值是（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2
22．下列函数关系中，是二次函数的是（　　）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
23．已知二次函数y＝1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝﹣3，c＝1
24．若函数是关于x的二次函数，则m的值为　　 ．
25．已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝　　 ．
26．若是关于x的二次函数，则m的值为　　 ．
27．若y＝x|m|+3x﹣2是关于x的二次函数，则m＝　　 ．
28．当m＝　　 时，函数是二次函数．
29．已知函数y＝（k﹣3）x|k|﹣1+x+4是关于x的二次函数，则k的值为　　 ．
30．若函数是关于x的二次函数．则常数m的值是 　　 ．
31．若函数y＝（m﹣2）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是　　 ．
32．当a＝　　 时，函数y＝（a﹣1）x﹣3是二次函数．
33．若y＝（a﹣1）是关于x的二次函数，则a＝ 　　 ．
34．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝　　 ．

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