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3.4 相似三角形的性质
题型1 相似三角形的判定与性质
题型1 相似三角形的判定与性质
解｜题｜知｜识 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
【典例1】在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过O作OM∥BC交CD于M，
∵在 ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∴，
∴OM是△BCD的中位线，
∴，
∵CE＝2，
∴EM＝CM+CE＝2+2＝4，
∵OM∥CF，
∴△CFE∽△MOE，
∴，即，
∴．
故选：B．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为（　　）
A．6 B．9 C．18 D．36
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝2EC，
∴BA∥DC，BA＝DC＝2EC+EC＝3EC，
∴，
∵BA∥DE，
∴△ABF∽△DEF，
∴，
∵S△DEF＝4，
∴S△ABFS△DEF4＝9，
故选：B．
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，
∵∠GEF＝90°，
∴∠AEG+∠BEF＝90°，
∴∠AGE＝∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵AG＝1，BF＝2，
∴，
解得：BE＝AE，
在Rt△AEG中，GE2＝AG2+AE2＝3，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝6，
∴在Rt△GEF中，GF3．
故选：B．
【变式3】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【答案】C
【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，
∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故C不正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故D正确；
故选：C．
1．如图，直线l1∥l2，直线AB、CD相交于点E，若AE＝4，BE＝8，DE＝6，则线段CE的长为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BCE，
∴，
∵AE＝4，BE＝8，DE＝6，
∴，
解得：CE＝3，
故选：A．
2．如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，CD∥BA，CD＝AB，
∴△CBE∽△FDE，
∴；
∵CD∥BG，
∴△EDC∽△EBG，
∴，
∴，
∴，
故A正确；
∵，
∴，
∴CF＝4EF，
∵CD∥BG，
∴△AGF∽△DCF，
∴，
∴，
∴B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
∵，
∴；
∵AD∥BC，
∴△GAF∽△GBC，
∴，
∴；
故D错误．
故选：D．
3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．若BD＝6，CE＝3，则△ABC的边长为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．14
【答案】C
【解答】解：设△ABC的边长为x，则AB＝BC＝AC＝x，
∵BD＝6，CE＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝x﹣6，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠CDE＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
又∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
即△ABC的边长为12，
故选：C．
4．如图，两条直线m，n被三条平行线（L1，L2，L3）所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，过点A作AF的垂线，交L3于点G连接DG交L2于点H，若DG＝10，∠DGF＝30°则EH的长度为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解答】解：过点D作DT⊥GF于点T，
∵L1∥L2∥L3，AB：BC＝2：3，DE＝4
∴，
∴，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10＝DG，
∴∠DGF＝∠DFG＝30°，
∴，
∴，
∵DG＝DF，DT⊥GF，
∴，
∵L2∥L3，
∴△DHE∽△DGF，
∴，
∴，
∴若DG＝10，∠DGF＝30°，则，
故选：A．
5．如图，在 ABCD中，E是边AB上一点，连结AC，DE相交于点F．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴，△AEF∽△CDF，
∴．
故选：C．
6．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　）
A．30cm B． C．20cm D．
【答案】B
【解答】解：根据题意得CD∥AB，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∵AB＝50cm，
∴，
故选：B．
7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　）
A．y B．y C．y D．y
【答案】A
【解答】解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC＝FG：AB，
即，
∴y．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，P是边AB的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交AB、BC于点D、E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AC于点Q．则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中，P是边AB的中点，
∴AB＝2AP．
由作图过程可得，∠APQ＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，BC＝15，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若AD：DB＝2：3，则线段BF的长为（　　）
A．10 B．9 C．6 D．5
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AD：AB，
∵AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝2：5，
∴DE：15＝2：5，
∴DE＝6，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BF＝DE＝6．
故选：C．
10．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．AB2＝AP AC
【答案】C
【解答】解：A、当∠ABP＝∠C且∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，
添加条件正确，
故该选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC且∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，
添加条件正确，
故该选项不符合题意；
C、当时，无法得到△ABP∽△ACB，
添加条件错误，
故该选项符合题意；
D、当AB2＝AP AC，即，且∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，
添加条件正确，
故该选项不符合题意．
故选：C．
11．如图，在 ABCD中，AE：ED＝1：2，S△AEF＝2，则S△ABC＝（　　）
A．6 B．18 C．20 D．24
【答案】D
【解答】解：∵ ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
∴，S△AEF：S△CBF＝1：9，
∴，S△CBF＝9S△AEF＝18，
∴S△CBF：S△ABC＝3：4，
∴S△ABC＝24；
故选：D．
12．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AEAD，BE的延长线交AC于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：过点D作DM∥AC交BF于点M，如图所示．
∵AD是△ABC的中线，
∴BDBC．
∵DM∥AC，
∴△AEF∽△DEM，△BDM∽△BCF，
∴，，
∴ ．
故选：D．
13．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（　　）
A．∠ADC＝∠BAC B．
C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC CD
【答案】B
【解答】解：∵△ADC∽△BAC，
∴∠ADC＝∠BAC，所以A选项不符合题意；
，所以B选项符合题意；
∵△ADC∽△BAC，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴CA平分∠BCD，所以C选项不符合题意；
∵△ADC∽△BAC，
∴AC：BC＝CD：AC，
∴AC2＝BC CD，所以D选项不符合题意．
故选：B．
14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则AE的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AD∥FG，
∴AD∥FG∥BC，
∴△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA，
∴，，
∴，
解得：BC＝6，
∴，
故选：B．
15．如图，点O是△ABC的中线AD上一点，AO＝2DO，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E，F，现随机向△ABC内部抛一粒米，则米落在图中阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴，
∵EF∥BC，AO＝2DO，
∴△AOF∽△ADC，且相似比为2：3，
∴S△AOF：S△ADC＝4：9，
即，
则米落在图中阴影部分的概率为．
故选：D．
16．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，则∠A+∠E的度数为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】A
【解答】解：∵，，AB＝5，
，DF＝2，，
∴，
∴△ABC∽△FED，
∴∠A+∠E＝∠E+∠F＝180°﹣135°＝45°，
故选：A．
17．如图，点E在矩形ABCD边CD上，且AB＝BE，AC与BE相交于点F．已知CE＝3，AD＝4，则EF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点E在矩形ABCD边CD上，CE＝3，AD＝4，
∴BC＝AD＝4，∠BCD＝90°，DC∥AB，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得：
∴，
又∵AB＝BE，
∴BE＝5，
∵DC∥AB，
∴∠ECF＝∠BAF，∠CEF＝∠ABF，
∴△CEF∽△ABF，
∴，即，
∴，
故选：B．
18．如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：依题得：EG＝HF＝2a，PF＝a，PE＝4a﹣a＝3a，
AD＝6，∠A＝∠D＝∠P＝∠PEG＝∠PFH＝90°，
∴，∠PEF+∠PFE＝90°，
∠DFH+∠PFE＝90°，∠PEF+∠AEG＝90°，
∠DFH+∠DHF＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°，
∴∠PFE＝∠AEG＝∠DHF，∠PEF＝∠DFH＝∠AGE，
∴△DHF∽△PFE，△AEG∽△PFE，
∴，，
∴，，
∵AD＝AE+EF+DF＝6，
即，
解得．
故选：B．
19．如图，在 ABCD中，E是CD上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，△DEF的周长为4，则△ABF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE＝2EC，
∴AB＝CD＝3CE，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴，即，即C△BAF＝6．
∴△ABF的周长为6．
故选：A．
20．如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED＝3：5，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵AC与BD相交于点E，AB∥DC，
∴△ABE∽△CDE，
∵BE：ED＝3：5，
∴，
故选：C．
21．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDB＝4：7，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A．16：49 B．16：121 C．4：11 D．4：49
【答案】A
【解答】解：∵S△BDE：S△CDB＝4：7，
∴BE：BC＝4：7．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∴，
故选：A．
22．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH PC；④．以上结论中，正确的有　　 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②③．
【解答】解：正方形中∠ABC＝90°，在等边△BPC中，∠PBC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，则BE＝2AE，结论①正确；
由AD∥BC得∠PFD＝∠PCB＝60°，
∴∠PFD＝∠HPB＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，△BPC是等边三角形，
∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°，BC＝PC＝CD，
∴，
又∠BDC＝45°，
∴∠PDH＝30°，
∴∠PDF＝45°﹣30°＝15°，
又∠PBC＝60°，∠DBC＝45°，
∴∠HBP＝60°﹣45°＝15°，
即∠PDF＝∠HBP＝15°，
在△DFP与△BPH中，
，
∴△DFP∽△BPH，结论②正确；
∵∠DHP＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠PDC＝75°，
即∠PDC＝∠DHP＝75°，
又∠DPH＝∠CPD，
∴△DPH∽△CPD，
∴，即DP2＝PH PC，结论③正确；
过点P作PM⊥CD，PN⊥BC，如图，
设正方形ABCD的边长为4，则正方形ABCD的面积为16，
∵△BPC是等边三角形，
∴PB＝PC＝BC＝CD＝4，∠PBC＝PCB＝60°，
∴∠PCD＝∠BPN＝30°，
在Rt△PCM中，，则，
在Rt△BNP中，，则，
∵S△BPD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD
，
∴，结论④错误．
故答案为：①②③．
23．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB＝3AD，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则的值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AB＝3AD，
∴AC2＝AB AD＝3AD2，
∴，
∴，
∵∠CAD、∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，
∴，
∴．
故答案为：．
24．如图，在 ABCD中，，BD与MC相交于点O，则S△COD：S四边形AMOB＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，
∵，
∴DMADBC，
∵AD∥BC，
∴，△DOM∽△BOC，
∴，，
设S△DOC＝2k，则S△BOC＝3k，
∴S△DOMk，S△BCD＝S△DOC+S△BOC＝5k，
∴S△ADB＝S△BDC＝5k，
∴S四边形AMOB＝S△ADB﹣S△DOMk，
∴S△COD：S四边形AMOB．
故答案为：．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴设AD＝k，CD＝2k，
∴AC，
∴，
∵∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴（）2．
故答案为：．
26．如图，已知AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E，∠CAE＝∠BAD，AC＝3，AB＝5，AD＝10．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）求线段DE的长．
【答案】（1）∵AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E，
∴∠ACB＝∠AED＝90°，
∵∠CAE＝∠BAD，∠CAE+∠BAE＝∠CAB，∠BAD+∠BAE＝∠EAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴△ABC∽△ADE；
（2）8．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E，
∴∠ACB＝∠AED＝90°，
∵∠CAE＝∠BAD，∠CAE+∠BAE＝∠CAB，∠BAD+∠BAE＝∠EAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得：，
∵△ABC∽△ADE，
∴，即，
解得：DE＝8（经检验，是分式方程的解，且符合题意）．
27．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，
∴，
∵CD，CP＝BC﹣BP＝x﹣1，BP＝1，
即，
解得：AB＝3．
即△ABC的边长为3．
28．如图，在正方形ABCD中，E为边AB的中点，G，F分别为边AD，BC上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【答案】6．
【解答】解：如图，延长GE交CB的延长线于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE＝∠M，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE，
在△AEG和△BEM中，
，
∴△AEG≌△BEM（AAS），
∴GE＝EM，AG＝BM＝2．
又∵EF⊥MG，
∴EF垂直平分GM，
∴FG＝FM．
∵BF＝4，
∴MF＝BF+BM＝4+2＝6，
∴GF＝FM＝6．
答：GF的长为6．3.4 相似三角形的性质
题型1 相似三角形的判定与性质
题型1 相似三角形的判定与性质
解｜题｜知｜识 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
【典例1】在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为（　　）
A．6 B．9 C．18 D．36
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
1．如图，直线l1∥l2，直线AB、CD相交于点E，若AE＝4，BE＝8，DE＝6，则线段CE的长为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．若BD＝6，CE＝3，则△ABC的边长为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．14
4．如图，两条直线m，n被三条平行线（L1，L2，L3）所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，过点A作AF的垂线，交L3于点G连接DG交L2于点H，若DG＝10，∠DGF＝30°则EH的长度为（　　）
A． B．2 C． D．4
5．如图，在 ABCD中，E是边AB上一点，连结AC，DE相交于点F．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　）
A．30cm B． C．20cm D．
7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　）
A．y B．y C．y D．y
8．如图，在△ABC中，P是边AB的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交AB、BC于点D、E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AC于点Q．则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
9．如图，在△ABC中，BC＝15，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若AD：DB＝2：3，则线段BF的长为（　　）
A．10 B．9 C．6 D．5
10．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．AB2＝AP AC
11．如图，在 ABCD中，AE：ED＝1：2，S△AEF＝2，则S△ABC＝（　　）
A．6 B．18 C．20 D．24
12．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AEAD，BE的延长线交AC于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（　　）
A．∠ADC＝∠BAC B．
C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC CD
14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则AE的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
15．如图，点O是△ABC的中线AD上一点，AO＝2DO，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E，F，现随机向△ABC内部抛一粒米，则米落在图中阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，则∠A+∠E的度数为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
17．如图，点E在矩形ABCD边CD上，且AB＝BE，AC与BE相交于点F．已知CE＝3，AD＝4，则EF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
18．如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，在 ABCD中，E是CD上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，△DEF的周长为4，则△ABF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
20．如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED＝3：5，则的值为（　　）
A． B． C． D．
21．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDB＝4：7，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A．16：49 B．16：121 C．4：11 D．4：49
22．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH PC；④．以上结论中，正确的有　　 （填写所有正确结论的序号）．
23．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB＝3AD，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则的值为　　 ．
24．如图，在 ABCD中，，BD与MC相交于点O，则S△COD：S四边形AMOB＝　　 ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　 ．
26．如图，已知AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E，∠CAE＝∠BAD，AC＝3，AB＝5，AD＝10．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）求线段DE的长．
27．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
28．如图，在正方形ABCD中，E为边AB的中点，G，F分别为边AD，BC上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．

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