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江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知，，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．11
7．已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、多选题
9．现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为，其平均数为，标准差为，极差为，第80百分位数为；第二组数据为，，，…，.则下列说法正确的是（ ）
A．第一组数据去掉，，其剩余数据的平均数和极差都比原来小
B．第二组数据的平均数为
C．第二组数据的第80百分位数为
D．第二组数据的标准差为
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若角的终边过点，则；
B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数；
C．对任意，恒成立；
D．是函数的一条对称轴.
11．已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心O，则（ ）
A．直线与平面所成的角为 B．球的体积为
C．半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D．球O被平面截得的截面圆的面积为
三、填空题
12．已知向量与的夹角为，，，则___________
13．已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________.
14．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________.
四、解答题
15．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：
男性 女性
需要 40 20
不需要 160 280
(1)在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值；
(2)完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．
17．四棱锥，面，，，，，，M是PD中点.
(1)求证：平面；
(2)若，
①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹；
(2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列．
①求直线的斜率；
②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．
19．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
参考答案
1．B
【详解】因为集合，，
所以.
故选：B.
2．B
【详解】由题意可知，
∴.
故选：B
3．B
【详解】当时，则，但是，不是充分条件，
当时，因为，，所以，即，
当且仅当等号成立，所以是必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．B
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
5．D
【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形，
所以，
因为，所以.
根据勾股定理得.
所以该正四棱锥的体积为.
故选：D.
6．C
【详解】因为中只有和中含的项，
的含的项为，的含的项为，
所以的展开式中含的项的系数是.
故选：C.
7．B
解：如图，设，因为,
所以，
由双曲线的定义得：，
所以， ，，，，
所以，在中，，
在中，
因为，
所以，即，
所以
故选：B
8．A
解：由题意：数列满足，，可得且，
所以数列是以1为首项，公差为4的等差数列，可得，，，设，
则，所以是递减数列，，即，
所以，可得，又因为,故的最小值为10，
故选:A.
9．BC
【详解】对于A，第一组数据去掉，，剩余数据平均数可能变小，也可能不变，
所以不能确定其平均数一定比原来小，故A错误；
对于B，第一组数据平均数为，第二组数据是，
则第二组数据平均数为，故B正确；
对于C，第一组数据第80百分位数为，第二组数据是，
则第二组数据第80百分位数为，故C正确；
对于D，第一组数据标准差为，第二组数据是，
则第二组数据标准差为，故D错误.
故选：BC
10．ACD
【详解】对于选项A：若角的终边过点，
则，，
所以，故A正确；
对于选项B：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，故B错误；
对于选项C：设，则，
可知在内单调递增，则，即；
又因为，则，可得，
所以对任意，恒成立，故C正确；
对于选项D：因为为最大值，
所以是函数的一条对称轴，故D正确；
故选：ACD.
11．ABD
【详解】对于A，因，且平面，
故 平面 ，是直线 与平面 所成角，
在中，，则 ，故正确.
对于B，如图，设分别为的中点，连接，
因点是的外心，由对称性，可知该三棱柱的外接球球心 为的中点，
故 ，则球的半径为，球的体积为 ，故 正确；
对于C， 内切圆半径 ，因为 1 ，所以 ，
即半径为 的球不能放入该直三棱柱的内部，故错误；
对于D，由题可得 ，
所以 ，，
设点 到平面 的距离为 ，斜边上的高为，
由 ，得 ，解得 ，
则球被平面截得的截面圆半径 ，
从而所求截面圆面积为 ，故正确.
故选：ABD
12．2
【详解】，
又，
所以，则.
故答案为：2
13．
【详解】令，求导得，
令，求导得.
当时，，此时在上单调递增，由于，
所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意；
时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或；
故答案为：.
14．63
【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，
男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为，
则样本中全部员工的平均体重为，
依题意，方差为
.
化简得，解得 或(舍).
所以女员工的人数为： .
故答案为：63.
15．(1)
(2)该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关，更优的抽样方法是分层抽样
【详解】（1）抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，
频率为，所以的估计值是.
（2）列联表如下：
男性 女性 合计
需要 40 20 60
不需要 160 280 440
合计 200 300 500
，所以根据小概率值的独立性检验，
认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，
因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样.
16．（1） （2）
解:（1）由正弦定理知，所以,
即
所以，化简得
，
因为中，，所以，即，
又， 所以
（2）因为，
所以
，
由，解得
所以的面积
17．(1)
取中点，为中点，
，且，
又，，
，且，
四边形为平行四边形，即，
平面，平面，
平面；
(2)①
②存在点满足题意，
易知，，
假设存在点满足题意，设，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以点到平面的距离，
化简可得，解得或（舍去），即.
【详解】（1）略
（2）
①平面，且，
则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
得，，，，，
，，，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
平面与平面所成角的正弦值为；
②略
18．(1)曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆.
(2)①；②是，．
【详解】（1）由题意： .
所以曲线的方程为：．
所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆.
（2）①设直线方程为，，，，
如图：
由得，
，
所以，.
因为，，且成等比数列，，
，
又，所以，解得．
②，
，
为定值．
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
对函数求导得
所以，而.
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）对求导，可得：.
令，其对称轴为.
当时，的对称轴，且.
所以当时，，即，
所以在上单调递减，所以满足题意.
当时，的对称轴，且，
所以存在，使得，
当时，，即，单调递增，
所以，不满足题意，
因此，的取值范围为.
（3）由（2）可知，当时，，即当且仅当时取等号.
令，则，即.
将两边同时乘以，可得.
所以.
根据对数的运算法则可得.
所以.

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