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7.4最大公因数和最小公倍数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．两个自然数的和是252，最大公因数是28，这两个数有（ ）组。
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
2．a和b是两个相邻的非0自然数，它们的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．1 D．ab
3．最简分数的分子和分母（ ）。
A．没有公因数 B．只有公因数1 C．全是奇数 D．全是质数
4．用短除法求“5、16和10”的最小公倍数是（ ）。
A．120 B．80 C．72 D．240
5．甲、乙两人都参加了少年宫活动，甲每2天去训练一次，乙每5天去训练一次。若12月28日这天他们两人在少年宫碰面，则他们下一次在少年宫碰面是（ ）。
A．1月3日 B．1月5日 C．1月6日 D．1月7日
6．两根铁丝，一根长24厘米，另一根长32厘米，要把它们剪成同样长的小段，且没有剩余（每段长都是整厘米数），每一段的铁丝不可能是（ ）厘米。
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
7．1路、4路和6路车上午7点30分同时从起始站发车，1路车每6分钟发一次车，4路车每9分钟发一次车，6路车每12分钟发一次车。它们下一次同时发车是上午( )时( )分。
8．m和n都是整数，而且n÷m＝5，那么n和m的最大公因数是( )。
9．把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找出它们的最小公倍数。
6和8的最小公倍数是（ ）。
10．39和78的最大公因数是( )，最小公倍数是( )
11．一个班的学生无论6人一组还是5人一组都多4人，这个班至少有( )人。
12．在括号里写出每组分数的两个分母的最小公倍数。
和( ) 和( ) 和( )
13．写出每组分数两个分母的最小公倍数。
和( )和( )和( ) 和( )
14．剪纸社团的同学们将大的红纸裁剪成大小相同的正方形。一张红纸长72cm，宽54cm，可以裁成( )种不同边长的正方形，边长最大是( )cm。
15．A与B的最大公因数是1，最小公倍数是18，A、B可能是( )和( )或者( )和( )。
16．已知甲、乙，则甲、乙两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
三、判断题
17．若甲数是乙数的倍数（甲、乙均不为0），则甲数是它们的最小公倍数。( )
18．如果a÷b＝10（a、b为非0自然数），那么a、b的最大公因数是10。( )
19．两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数一定是这两个数的积。( )
20．把一个班的学生分组栽树，无论是12人一组，还是18人一组都正好，没有剩余，这个班的人数至少有72人。( )
21．两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。( )
四、解答题
22．一筐苹果不超过350个，3个3个地数，5个5个地数，7个7个地数都恰好数完。请问这筐苹果最多有多少个？
23．两个数的积一定是这两个数的公倍数。（ ）
理由：
24．一班有48人，二班有54人，如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？
25．如果b是a的2倍（a、b为非零自然数），那么a、b的最大公因数是a，最小公倍数是b。（ ）
理由：
26．食品店有70多个松花蛋。如果把它们装进4个一排的蛋托中，正好装完；如果把它们装进6个一排的蛋托中，也正好装完。一共有多少个松花蛋？
《7.4最大公因数和最小公倍数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D B B D C
1．C
【分析】求两个数的最大公因数，先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积；已知两个自然数的最大公因数是28，根据因数和倍数的意义，可知它们都是28的倍数，假设其中一个自然数为28a，另一个自然数为28b，a和b是互质数，又已知这两个自然数的和是252，可的28a＋28b＝252，据此推出a和b，进而求出对应的两个自然数的值。
【详解】假设其中一个自然数为28a，另一个自然数为28b，
28a＋28b＝252
解：28（a＋b）＝252
a＋b＝252÷28
a＋b＝9
9＝1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5
1和8互质，2和7互质，3和6不互质，4和5互质，
1×28＝28
8×28＝224
2×28＝56
7×28＝196
4×28＝112
5×28＝140
所以符合题意的有3组，即28和224，56和196，112和140。
故答案为：C
【点睛】本题考查了最大公因数的认识和应用。
2．D
【分析】两个相邻的非0自然数，它们一定是互质数；当两个数是互质数时，这两个数的乘积就是它们的最小公倍数，据此解答。
【详解】根据分析得，a和b是互质数，它们的最小公倍数是a×b＝ab。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查当两个数是互质数时的最小公倍数的求法。
3．B
【分析】最简分数定义：分子、分母只有公因数1的分数，或者说分子和分母互质的分数。
【详解】由最简分数的定义可知：最简分数的分子和分母只有公因数1。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查最简分数的意义。
4．B
【分析】求三个数的最小公倍数时，先用三个数的公因数去除，如果三个数没有公因数，就用两个数的公因数去除（另一个数照写下来），直到除到三个商中每两个数都是互质数为止，最后把所有的除数和商都相乘，求出的积就是这三个数的最小公倍数。
【详解】
5、16和10的最小公倍数是：2×5×1×8×1＝80
故答案为：B。
【点睛】熟练掌握利用短除法求最小公倍数和最大公因数的方法。
5．D
【分析】甲每2天去一次，乙每5天去一次，两人要再次相遇，经过的天数必须是2和5的公倍数，求“下一次”相遇，就是求它们的最小公倍数。因为2和5是互质数（只有公因数1），所以最小公倍数 ＝2×5＝10，即两人再过10天会再次相遇。12月是大月，有31天。从12月28日到12月31日，经过的天数：31－28＝3天。总共需要等10天，已经过了3天，还需要等：10－3＝7 天。因此，相遇日期就是次年的1月7日。
【详解】求2和5的最小公倍数：2×5＝10（天），即再过10天相遇。
12月有31天，31－28＝3（天）
剩余天数：10－3＝7（天），即次年1月7日。
所以他们下一次在少年宫碰面是1月7日。
故答案为：D
6．C
【分析】要把两根铁丝剪成同样长的小段，且没有剩余（每段长都是整厘米数），求每段的长度，就是在求24和32的公因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。先分别找出24和32的因数，再找出它们的公因数，据此解答。
【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6；
32＝1×32＝2×16＝4×8
32的因数有1、32、2、16、4、8；
24和32公有的因数是1、2、4、8。
所以每一段的铁丝可能是1厘米、2厘米、4厘米或8厘米。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了公因数的求法和应用。
7． 8 6
【分析】1路车每6分钟发一次车，4路车每9分钟发一次车，6路车每12分钟发一次车。这3路车下一次同时发车的时间既是6的倍数，同时又是9、12的倍数，根据求三个数的最小公倍数的方法解答即可。
【详解】6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60……
9的倍数：9、18、27、36、45、54、63……
12的倍数：12、24、36、48、60……
6、9和12的最小公倍数是36。
7时30分＋36分＝8时6分
1路、4路和6路车上午7点30分同时从起始站发车，1路车每6分钟发一次车，4路车每9分钟发一次车，6路车每12分钟发一次车。它们下一次同时发车是上午8时6分。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握求三个数的最小公倍数的方法及应用。
8．m
【分析】n÷m＝5，n和m不是0，n是m的5倍，那么m是n的因数，n和m的最大因数是m，据此解答。
【详解】根据分析可知，m和n都是整数，而且n÷m＝5，那么n和m的最大因数是m。
【点睛】当两个数存在倍数关系时，这两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
9．见详解；24
【分析】求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数，据此写出6和8的倍数，然后填在圈里。
【详解】
6和8的最小公倍数是24。
10． 39 78
【分析】如果两个数中，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
【详解】，所以78是39的倍数，由分析可知，39和78的最大公因数是39，最小公倍数是78。
11．34
【分析】这个班至少的人数是5和6的最小公倍数再加上4人，5和6是互质数，它们的公倍数是它们的积，然后再加上4即可。
【详解】6×5＋4
＝30＋4
＝34（人）
【点睛】明确要求的问题即求比5和6的最小公倍数多4的数，是解答此题的关键。
12． 12 24 18
【分析】两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数；其中最小的叫最小公倍数。
用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数：两个数公有的质因数与每个数独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。
最小公倍数的两种特殊情况：
①两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积；
②两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数。
【详解】（1）12和6是倍数关系，所以12和6的最小公倍数是12；
（2）8和3是互质数，所以8和3的最小公倍数是：8×3＝24；
（3）9＝3×3，6＝2×3
9和6的最小公倍数是：2×3×3＝18。
13． 16 35 45 36
【分析】两个数的最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数是两个数的乘积；如果两个数为倍数关系，较大的那个数就是最小公倍数，据此解答。
【详解】和，，16是8的倍数，所以16和8的最小公倍数是16；
和，5和7互质，，所以5和7的最小公倍数是35；
和，，，，所以9和15的最小公倍数是45；
和，，，，所以12和18的最小公倍数是36。
14． 6 18
【分析】由题意可知，正方形的边长应是红纸的长与宽的公因数，边长最大就是它们的最大公因数，据此解答即可。
【详解】72＝2×3×3×4
54＝2×3×3×3
72和54的最大公因数是2×3×3＝18，则72和54的公因数有：1、2、3、6、9、18
则可以裁成6种不同边长的正方形，边长最大是18cm。
15． 1 18 2 9
【分析】存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
【详解】A与B的最大公因数是1，最小公倍数是18，A、B可能是1和18或者2和9。
【点睛】此题考查了最大公因数和最小公倍数问题，牢记当两个数之间有特殊关系时最大公因数和最小公倍数的求法。
16． 6 210
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】2×3＝6、2×3×5×7＝210
甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是210。
【点睛】关键是掌握最大公因数和最小公倍数的求法。
17．√
【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，最小公倍数为较大的数；由此根据情况解决问题。
【详解】若甲数是乙数的倍数（甲、乙均不为0），两数是倍数关系，并且甲数＞乙数，所以甲数和乙数的最小公倍数是甲数。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数。
18．×
【分析】由a÷b＝10可知：a是b的倍数。当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。a是较大数，b是较小数，所以a、b的最大公因数是b。
【详解】如果a÷b＝10，那么a、b的最大公因数是b。比如：20÷2＝10，20的因数有1，2，4，5，10，20。2的因数有1，2。20和2的最大公因数是2。所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】在求两个数的最大公因数时，可首先考虑两个数是否存在倍数关系或互质关系这两种特殊情况。
19．√
【分析】当两个数的最大公因数是1时，说明这两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是这两个数的乘积，据此判断。
【详解】如：3和5是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是3×5＝15。
因此当两个数的最大公因数是1，这两个数的最小公倍数一定是这两个数的积，原题干的说法是正确的。
故答案为：√
20．×
【分析】无论是12人一组，还是18人一组都正好，没有剩余，说明这个班的人数是18和12的整数倍，要求至少有学生多少，只要求出18和12的最小公倍数，即可得解。
【详解】
所以18和12的最小公倍数是（人）
故答案为：×
【点睛】掌握求最小公倍数的方法是解决问题的关键。
21．√
【分析】两个数的最大公因数是这两个数共有的因数，能同时整除这两个数；最小公倍数是这两个数共有的倍数，能同时被这两个数整除。
【详解】比如6和9，最大公因数是3，最小公倍数是18，18是3的倍数；
再比如4和5，最大公因数是1，最小公倍数是20，20也是1的倍数，所以原题说法成立。
故答案为：√
22．315个
【分析】先求3，5，7的最小公倍数，因为3，5，7两两互质，所以它们的最小公倍数为105，找出不超过350的公倍数分别有105，210， 315，420（超过350，舍去）， 因此不超过350的最大公倍数是315。
【详解】3，5和7的最小公倍数：
（个）
（个）
答：这筐苹果最多有315个。
【点睛】先确定苹果个数是3、5、7的公倍数，再找出不超过350的最大公倍数。
23．√；见详解
【分析】两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数；举例说明。
【详解】如：①2的倍数有：2，4，6，8，…；
3的倍数有：3，6，9，12，…；
2×3＝6，6是2和3的公倍数；
②4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，…；
8的倍数有：8，16，24，32，40，…；
4×8＝32，32是4和8的公倍数；
所以，两个数的积一定是这两个数的公倍数。
原题说法正确。
故答案为：√
理由：两个数的积是它们公有的倍数，所以两个数的积一定是它们的公倍数。
24．6人
【分析】要使两个班每个小组的人数相同，则每个小组的人数既是48的因数，又是54的因数，所以每组人数应该是它们的公因数，题干又要求每组人数最多，则每个小组的人数应该是48和54的最大公因数。据此解答即可。
【详解】48＝2×2×2×2×3，54＝2×3×3×3
所以48和54的最大公因数是：2×3＝6
即要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有6人。
答：要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有6人。
【点睛】本题考查求最大公因数，明确求最大公因数的方法是解题的关键。
25．√
理由：两个数（均为非零自然数）中一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公因数。
【分析】两个数（均为非零自然数）中一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公因数。据此解答。
【详解】b÷a＝2，题目描述正确。
故答案为：√
理由：两个数（均为非零自然数）中一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公因数。
26．72个
【分析】装进4个一排的蛋托中正好装完；装进6个一排的蛋托中也正好装完。说明松花蛋的数量正好是4和6的公倍数，先根据求一个数的倍数的方法，分别求出4和6的倍数，再找出这两个数的公倍数，并且这个公倍数的大小要满足在70~80之间，据此解答。
【详解】4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60、64、68、72、76、80、84……
6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84……
4和6的公倍数有：12、24、36、48、60、72、84……
72在70~80之间
答：一共有72个松花蛋。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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