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一轮复习02
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式
解题方法及技巧提炼 2
题型通法及变式提升 3
题型一：利用柯西不等式求整式的最值 3
题型二：利用柯西不等式求分式的最值 4
题型三：利用柯西不等式求根式的最值 6
题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值 8
题型五：利用柯西不等式求变量范围（值） 9
题型六：利用反柯西不等式求最值 11
题型七：利用权方和不等式求最值 12
重难专题分层过关练 14
巩固过关 14
创新提升 20
一、柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
（，当且仅当时，等号成立）.
2．二维形式的柯西不等式的变式
（1）（，当且仅当时，等号成立）.
（2）（，当且仅当时，等号成立）.
（3）（，当且仅当时，等号成立）.
3．柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立．
4．柯西不等式的向量形式：，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立．
二、反柯西不等式
1．
2．设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等．
三、权方和不等式
1．二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立）.
2．一般形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立. 称之为权方和不等式. 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
题型一：利用柯西不等式求整式的最值
典例1-1．已知，且，则的最小值为 ．
【答案】36
【详解】由柯西不等式可得，
所以，即，
当且仅当即也即时取得等号，
故答案为:36.
典例1-2．设实数，满足，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】由柯西不等式知
．
变式1-1．若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值．
【答案】
【详解】因为，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
故，即的最小值为．
变式1-2．已知，求的最小值．
【答案】12
【详解】根据柯西不等式，
，
所以，
当且仅当时，即，，，时取到等号，
所以的最小值为12．
题型二：利用柯西不等式求分式的最值
典例2-1．已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解法一：因为，
所以，且，
又因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，
所以的最小值为．
解法二：因为，
所以，且，
所以
，
所以的最小值为．
故选：D．
典例2-2．已知正数a，b，c，d满足，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
又正数a，b，c，d满足，所以.
（2）因为正数a，b，c，d满足，
所以由柯西不等式，可得
，
当且仅当，时，等号成立，
故.
变式2-1．已知、、，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为、、，且满足，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
变式2-2．已知．
(1)若，证明与中至少有一个小于0；
(2)若均为正数，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：假设与中没有一个小于0，即，
因为，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，
所以与中至少有一个小于0；
（2）解：，
因为均为正数，所以由柯西不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
题型三：利用柯西不等式求根式的最值
典例3-1．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得：
，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选：A
典例3-2．已知x，y为正实数，，求函数的最大值．
【答案】
【详解】x，y为正实数，，
由柯西不等式可得，
即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故最大值为.
变式3-1．求函数的最大值．
【答案】5
【详解】根据题意，要使函数有意义则有，所以，
所以函数的定义域是，且，
利用柯西不等式可得，
，
当且仅当时等号成立，即时函数取最大值5．
故答案为：5.
变式3-2．求函数（）的最大值．
【答案】
【详解】
．
当且仅当即时等号成立，
故Z的最大值为．
题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值
典例4-1．的最小值为 .
【答案】/
【详解】
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式4-1．已知为正数，且满足，求证：．
【答案】详见解析
【详解】由柯西不等式，得
≤＝．
【点睛】本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题．
变式4-2．求的最小值．
【答案】
【详解】由柯西不等式得：
．
所以，且当且仅当时等号成立．
故．
题型五：利用柯西不等式求变量范围（值）
典例5-1．设，，，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1），且，由柯西不等式可得：
，
可得，
即的最小值为；
（2）由柯西不等式可得
；
可得，
即的最小值是，
若成立，则，
即或，解得:或.
【点睛】本题考查柯西不等式的运用，求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题型.
典例5-2．已知，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】由柯西不等式：，
当且仅当，
即，
即，即，
即，即，
即时等号成立，
因为，
则，
∴左边右边，
∴.
变式5-1．已知，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，求的取值范围．
【答案】(1) 最小值为．(2)
【详解】（1）由柯西不等式，
得：
即：，
，当且仅当时等号成立，
故：的最小值为．
（2）由柯西不等式，
得：．
即： ，
当且仅当时取等号，只需，
解得：．
故：的取值范围为：
【点睛】本题考查了柯西不等式的运用能力，考查学生的计算能力．属于基础题
变式5-2．已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】D
【详解】根据柯西不等式，有，
从而，
因此e的取值范围是．
故选：D.
题型六：利用反柯西不等式求最值
典例6-1．的最小值为 ．
【答案】/
【详解】
当且仅当即时取等号，
故的最小值为．
故答案为：.
变式6-1．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
【答案】
【详解】由题意得，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，则，
所以，最小值为，此时．
故答案为：.
题型七：利用权方和不等式求最值
典例7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
典例7-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故选：C．
变式7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
【答案】B
【详解】因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立.
所以函数的最小值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值.
变式7-2．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 .
【答案】8
【详解】，
当且仅当时，即时，取等号.
故答案为：8
巩固过关
1．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【详解】，由，解得，
当时，，当，，
当，则，
此时且，
由柯西不等式可得，
当且仅当，即时取等号，此时，即，
所以函数的最大值为2.
故选：C.
2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【详解】由，则，，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
3．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【详解】对于A选项，根据柯西不等式.
因为，所以，即.
所以，则，当且仅当时取等号，
A选项正确.
对于B选项，令，，则.
根据柯西不等式.
即.当且仅当取等号，
所以，B选项错误.
对于C选项，根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误.
对于D选项，令，，则.
根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.
所以，D选项正确.
故选：AD.
4．已知 ，，则 的最小值为 ．
【答案】10
【详解】由,得
所以
当且仅当,即时,等号成立,
故的最小值为10.
故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式,当且仅当时,等号成立)求最小值,技巧性较强.
5．存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
【答案】3
【详解】解:由柯西不等式可知
由能成立.
故答案为：3.
6．求函数（x，）的最大值．
【答案】
【详解】根据柯西不等式得
即，
当，时等号成立,
所以函数的最大值为．
7．设正数，，满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由柯西不等式知：．
，，
当，，时，取到最小值为．
（2）由柯西不等式和（1）得
，
，所以．
8．设正数，，满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由三维形式的柯西不等式知：
．
，，
当且仅当，即，时，取最小值．
（2）由柯西不等式知：
，
所以．
9．某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
解：由权方和不等式得，
所以的最大值是5.
【详解】这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立.
由，消去得，因为，所以本方程无实数解，
所以，的最大值不是5.
10．利用二维柯西不等式：，求的最大值，并写出等号取到的条件；
【详解】已知柯西不等式，
令，，，，则有.
计算不等式右边的值：，
即.
因为，
对两边同时开平方可得.
当且仅当，即时，等号成立.
对两边同时平方可得，
展开得，解得.
因此的最大值，当且仅当取得.
11．在中，若，，求：的最小值；
【详解】根据柯西不等式：

（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48.
12．正实数满足，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】由柯西不等式：，
故，
同理，，
，
因为，所以，
所以
，
所以．
创新提升
1．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】由得：，
（当且仅当，即时取等号），
（当且仅当时取等号），
即当时，，
，解得：，可能的取值为.
故选：BCD.
2．正实数满足，求证：．
【答案】证明见解析.
【详解】因为.
所以.
同理.
由柯西不等式
所以
即,证毕
【点睛】结论点睛：
3．已知，，，求a的最大值．
【答案】．
【详解】令，，所以，，
因为，所以，
所以，
又，
得，
得，即a的最大值为．
4．若均为锐角，且满足.求证:.
【答案】证明见解析
【详解】如图，设为长方体的3条棱长，
其对角线与面，面，面所成角分别为，
则，且
则 ，，
因，等号成立时，
则，等号成立时，
故
.
当且仅当，即 时取等号.
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一轮复习02
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式
解题方法及技巧提炼 2
题型通法及变式提升 3
题型一：利用柯西不等式求整式的最值 3
题型二：利用柯西不等式求分式的最值 3
题型三：利用柯西不等式求根式的最值 4
题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值 5
题型五：利用柯西不等式求变量范围（值） 6
题型六：利用反柯西不等式求最值 7
题型七：利用权方和不等式求最值 7
重难专题分层过关练 8
巩固过关 8
创新提升 11
一、柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
（，当且仅当时，等号成立）.
2．二维形式的柯西不等式的变式
（1）（，当且仅当时，等号成立）.
（2）（，当且仅当时，等号成立）.
（3）（，当且仅当时，等号成立）.
3．柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立．
4．柯西不等式的向量形式：，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立．
二、反柯西不等式
1．
2．设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等．
三、权方和不等式
1．二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立）.
2．一般形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立. 称之为权方和不等式. 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
题型一：利用柯西不等式求整式的最值
典例1-1．已知，且，则的最小值为 ．
典例1-2．设实数，满足，求证：.
变式1-1．若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值．
变式1-2．已知，求的最小值．
题型二：利用柯西不等式求分式的最值
典例2-1．已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
典例2-2．已知正数a，b，c，d满足，证明：
(1)；
(2).
变式2-1．已知、、，且满足，则的最小值为 .
变式2-2．已知．
(1)若，证明与中至少有一个小于0；
(2)若均为正数，求的最小值．
题型三：利用柯西不等式求根式的最值
典例3-1．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
典例3-2．已知x，y为正实数，，求函数的最大值．
变式3-1．求函数的最大值．
变式3-2．求函数（）的最大值．
题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值
典例4-1．的最小值为 .
变式4-1．已知为正数，且满足，求证：．
变式4-2．求的最小值．
题型五：利用柯西不等式求变量范围（值）
典例5-1．设，，，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，求实数的取值范围.
典例5-2．已知，求证：.
变式5-1．已知，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，求的取值范围．
变式5-2．已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
题型六：利用反柯西不等式求最值
典例6-1．的最小值为 ．
变式6-1．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
题型七：利用权方和不等式求最值
典例7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
典例7-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
变式7-2．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 .
巩固过关
1．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
3．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知 ，，则 的最小值为 ．
5．存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
6．求函数（x，）的最大值．
7．设正数，，满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
8．设正数，，满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
9．某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
解：由权方和不等式得，
所以的最大值是5.
10．利用二维柯西不等式：，求的最大值，并写出等号取到的条件；
11．在中，若，，求：的最小值；
12．正实数满足，求证：．
创新提升
1．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．正实数满足，求证：．
3．已知，，，求a的最大值．
4．若均为锐角，且满足.求证:.
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