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第2课时　旋转作图
利用旋转的性质作图
1.如图,△ABC绕点O旋转,顶点A的对应点为点A',请画出旋转后的图形.
2.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上,请按要求完成下列画图.
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1.
(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的△A2B2C2.
确定旋转中心的位置
3.(2026福州仓山区期中)如图,在4×4的正方形网格中,△DEF是由△ABC绕某点旋转一定的角度得到的,G,H,P,Q都在网格线的交点上,则旋转中心是 (　　)
A.点P B.点Q
C.点G D.点H
4.如图,在平面直角坐标系中,格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②,则旋转中心的坐标为　　　　.
利用旋转设计图案
5.在下面的图案中,可以由一个基本图案通过连续旋转45°得到的是　　　　.(填序号)
　　　
①　　　　②　　　　③　　　　④
6.如图4所示的图案可以看成是由基本图案(图1)绕旋转中心每次旋转　　　　°,旋转　　　　次得到的;也可以看成是由基本图案(图2)绕旋转中心每次旋转　　　　°,旋转　　　　次得到的;还可以看成是由基本图案(图3)绕旋转中心旋转　　　　°得到的.
　　　　　　
图1　　　图2　　　图3　　　图4
1.在如图所示的正方形网格中,四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A'B'C'D'(所有顶点都是网格线交点),在网格线交点M,N,P,Q中,是旋转中心的是 (　　)
A.点M　B.点N　C.点P　D.点Q
2.(1)如图1,在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换,由图A得到图B,再由图B得到图C (对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离;对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度)
(2)图2是某设计师设计图案的一部分,请你运用旋转变换的方法,在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°,180°,270°,并画出旋转后所得到的图形,你会得到一个美丽的图案,但涂阴影时不要涂错了位置,否则不会出现理想的效果,你来试一试吧!(注:方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度)
图1　　　　　　图2
3.如图,在矩形ABCD中,点E在AD边上,∠ABE=60°,将△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG,使点A的对应点F在线段BE上.
(1)请在图中作出△FBG.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)FG与BC交于点Q,连接EG,EQ,若AB=2,请求出△EQG的面积.
微专题5 以原点为旋转中心旋转90°的点的坐标特征
将点P(x,y)绕原点顺时针旋转90°得到P'(y,-x);将点P(x,y)绕原点逆时针旋转90°得到P″(-y,x).当一个点以原点为旋转中心旋转90°时,它的对应点的坐标是将原横、纵坐标的绝对值交换位置,再看象限来决定其横、纵坐标的符号.
1.如图,在平面直角坐标系中,已知点D的坐标为(2,-1),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置,则点B的坐标为 (　　)
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,-1) D.(-1,2)
2.如图,在△OAB中,已知OA=AB=5,点B的坐标为(m,4),若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B',则点B'的坐标为　　　　　　.
3.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,5),B(-1,1),C(3,1),将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△AED(点B的对应点为点E),且点E在边AC上.
(1)旋转角α的度数为　　　　,DE的长为　　　　,AD的长为　　　　.
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C',请在图中画出△A'B'C',并直接写出点C'的坐标.
【详解答案】
基础达标
1.解:如图,△A'B'C'即为所求.
2.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
3.D　4.(3,3)　5.②
6.60　5　120　2　180
能力提升
1.A　解析:如图,连接AA',BB',CC',作AA'的垂直平分线,作BB'的垂直平分线,作CC'的垂直平分线,交于点M处,∴旋转中心是点M.故选A.
2.解:(1)将图A向上平移4个单位长度,得到图B.
将图B以点P1为旋转中心顺时针旋转90°,再向右平移4个单位长度得到图C或将图B向右平移4个单位长度,再以点P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图C.
(2)如图所示.
3.解:(1)如图,△FBG即为所求.
(2)如图.∵四边形ABCD是矩形,AB=2,∠ABE=60°,
∴∠A=∠ABC=90°,∠AEB=90°-∠ABE=30°,
∴BE=2AB=4.
在Rt△ABE中,AE==
=2.
由旋转得∠BFG=90°,FG=AE=2,BF=AB=2,
∴EF=BE-BF=2.
∵∠FBQ=90°-∠ABE=30°,
∴BQ=2FQ.
在Rt△BFQ中,BF2=BQ2-FQ2=(2FQ)2-FQ2=3FQ2,即3FQ2=22,
∴FQ=,
∴QG=FG-FQ=2-=,
∴S△EQG=QG×EF=××2=.
微专题5
1.A　解析:∵在Rt△OCD中,∠OCD=90°,D(2,-1),∴OC=2,CD=1.∵将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°得到△OAB,∴OA=OC=2,AB=CD=1,∠OAB=∠OCD=90°,∴点B的坐标为(1,2).故选A.
2.(-4,8)　解析:如图,过点B作BN⊥x轴于点N,过点B'作B'M⊥y轴于点M,
∴∠B'MO=∠BNO=90°.∵OA=AB=5,点B的坐标为(m,4),∴AN=m-5,BN=4.在Rt△ABN中,AB2=AN2+BN2,∴25=(m-5)2+16,解得m=2(舍去)或m=8,∴ON=8.∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B',∴∠BOB'=90°,OB=OB',∠BOA=∠B'OA',∴△NOB≌△MOB'(AAS),∴OM=ON=8,B'M=BN=4,∴B'(-4,8).
3.解:(1)45°　4　4
(2)如图,△A'B'C'即为所求.
点C'的坐标为(1,-3).28.1图形的旋转
第1课时　旋转的有关概念及性质
旋转的有关概念
1.下列选项中的运动,属于旋转变换的是 (　　)
A.升国旗的过程
B.摩天轮的转动
C.汽车刹车时的滑动
D.电梯的运行
2.如图,△AOB绕着点O顺时针旋转至△A'OB'的位置.
(1)点B的对应点是　　　　　　　　　　　　　　　　　.
(2)旋转中心是　　　　,
旋转角是　　　　　　.
(3)∠A的对应角是　　　,线段OB的对应线段是　　　　.
旋转的性质
3.如图,△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD,若∠A=45°,∠D=95°,则∠α的度数是 (　　)
A.30° 　　　　B.40° 　　　　C.50°　　　　　D.60°
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C',则BB'的长为 (　　)
A.5　　　　B.5　　　　C.4　　　　　D.3
5.如图,将Rt△ABC绕点B顺时针旋转θ,使点C落在斜边AB上的点D处,点A和点E是对应点,连接EA,已知∠BAC=52°.
(1)旋转角θ的度数为　　　　.
(2)∠AED的度数为　　　　.
6.如图,在△ABC中,∠CAB=135°,AC=2,△ABC顺时针旋转一定角度后与△ADE重合,点E落在AB边上,且E是AB的中点.
(1)指出旋转中心,并求出旋转角的度数.
(2)连接DC,求DC的长.
1.如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD.若AE∥BD,则∠CAD的度数为 (　　)
A.60° 　　　　B.70°　　　　C.90° 　　　　D.100°
2.(2026武威凉州区期中)如图,D是等边三角形ABC内一点,连接BD,CD,将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACD',连接DD',若BD=4.5 cm,CD=3 cm,则DD'的长为 (　　)
A.5 cm B.4.5 cm　
C.3 cm　 D.4 cm
3.如图,O为等边三角形ABC内一点,AO=8,BO=6,CO=10,将△AOC绕点A顺时针旋转60°,使AC与AB重合,点O旋转至点O1处,连接OO1,则△BOO1的面积是　　　　.
4.如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B',那么点A(-1,4)的对应点A'的坐标是　　　　.
5.(2026天津期中)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作FE的垂线,垂足为H,与BC交于点G.
(1)求证:AH垂直平分EF.
(2)若CG=2,BG=3,求AF的长.
6.(几何直观)(1)感知:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E,连接CD,则线段BC与DE的数量关系为　　　　,△BCD的面积为　　　　.
(2)应用:如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=x,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,用含x的式子表示△BCD的面积,并说明理由.
(3)拓展:如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.若△BCD的面积为16,则CD的长为　　　　.
　　
图1　　　　　　图2
图3
【详解答案】
基础达标
1.B
2.(1)点B'　(2)点O　∠AOA'(或∠BOB')
(3)∠A'　OB'
3.A　4.B　5.(1)38°　(2)19°
6.解:(1)∵△ABC顺时针旋转一定角度后与△ADE重合,
∴旋转中心是点A,旋转角的度数为∠BAD=∠CAB=135°.
(2)如图.
∵△ABC顺时针旋转一定角度后与△ADE重合,
∴△ABC≌△ADE,
∴AC=AE=2,AB=AD.
∵E是AB的中点,
∴AB=AD=2AE=4.
∵∠DAC=360°-2×135°=90°,
∴DC===2.
能力提升
1.A　解析:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,∴AD=AB,∠BAD=∠CAE=100°,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,∴2∠ADB+100°=180°,∴∠ADB=40°.∵AE∥BD,∴∠DAE=∠ADB=40°,∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=60°.故选A.
2.C　解析:∵△ABC是等边三角形,∴∠BCA=60°,AC=BC.∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACD',∴CD=CD',∠DCD'=∠BCA=60°,∴△DCD'是等边三角形,∴DD'=CD.∵CD=3 cm,∴DD'=3 cm.故选C.
3.24　解析:由旋转的性质,得O1B=OC=10,AO1=AO=8,∠OAO1=60°,∴△OAO1是等边三角形,∴O1O=AO=8.在△BOO1中,∵BO2+O1O2=62+82=100,O1B2=102=100,∴BO2+O1O2=O1B2,∴△BOO1是直角三角形,且∠O1OB=90°,∴=OB·OO1=×6×8=24.
4.(4,1)　解析:∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B',∠AOA'=90°,AO=A'O.如图,过点A作AC⊥y轴于点C,过点A'作A'C'⊥x轴于点C',∴∠ACO=∠A'C'O=90°.∵∠COC'=90°,∴∠AOA'-∠COA'=∠COC'-∠COA',∴∠AOC=∠A'OC'.在△ACO和△A'C'O中,
∴△ACO≌△A'C'O(AAS),∴AC=A'C',CO=C'O.∵点A(-1,4),∴AC=1,CO=4,∴A'C'=1,OC'=4,∴点A'的坐标是(4,1).
5.解:(1)证明:∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,
∴AF=AE.
∵AH⊥FE于点H,
∴FH=EH,
∴AH垂直平分EF.
(2)如图,连接EG.
∵四边形ABCD是正方形,CG=2,BG=3,
∴∠ABC=∠C=∠D=90°,AB=AD=CD=BC=CG+BG=2+3=5.
由旋转的性质得BF=DE,∠ABF=∠D=90°,
∴∠ABF+∠ABC=180°,
∴点F在CB的延长线上.
∵CG2+CE2=EG2,且CE=5-DE=5-BF,EG=FG=3+BF,
∴22+(5-BF)2=(3+BF)2,
解得BF=,
∴AF===,
∴AF的长是.
6.解:(1)BC=DE　8
(2)S△BCD=x2.
理由:如图,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E.
∵将AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,
∴AB=BD,∠ABD=90°,
∴∠ABC+∠DBE=90°.
∵∠ACB=90°,DE⊥CB,
∴∠ABC+∠BAC=90°,∠BED=∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠DBE,
∴△ACB≌△BED(AAS),
∴BC=DE=x,
∴S△BCD=BC·DE=x2.
(3)
解析:如图,过点A作AF⊥BC于点F,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E.
∵△ABC是等腰三角形,
∴BF=BC.
与(2)同理,可得△AFB≌△BED,
∴DE=BF=BC,AF=BE,
∴S△BCD=BC·DE=BC2=16,
∴BC=8(负值已舍去),
∴BF=DE=BC=4,
∴BE=AF==3,
∴CE=BC+BE=11,
∴CD==.

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