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29.1圆的有关概念
29.1.1　圆的有关概念
圆的定义
1.在下列条件中,能确定唯一一个圆的是 (　　)
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径　
C.以点O为圆心,5 cm长为半径
D.半径为2 cm且经过点A
2.在同一平面内,到点O的距离等于8 cm的点的集合是以点　　　　为圆心,以　　　　cm长为半径的圆.
点与圆的位置关系
3.已知☉O外一点A到圆心O的距离为4,则☉O的半径可能是 (　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
4.在平面直角坐标系中,点P(-3,4)与以坐标原点O为圆心,半径为6的☉O的位置关系是 (　　)
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.不能确定
5.(2025云南中考)已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上,则点P到圆心O的距离为　　　　 cm.
与圆有关的概念
6.小明在半径为6 cm的圆中测量弦AB的长度,测量结果可能是 (　　)
A.24 cm B.18 cm
C.13 cm D.12 cm
7.下列说法不正确的是 (　　)
A.过圆心的弦是圆的直径
B.等弧的长度一定相等
C.周长相等的两个圆是等圆
D.直径是弦,半圆不是弧
8.如图,在☉O中,弦有　　　　　,直径是　　　　,优弧有　　　　　　,劣弧有　　　　.
9.如图,AB,CD为☉O的两条直径,点E,F在直径CD上,且CE=DF,连接AF,BE.
求证:AF=BE.
对圆的有关概念理解不透彻而致错
10.下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧,弧不一定是半圆;④优弧一定大于劣弧;⑤直径是圆中最长的弦.其中正确的说法为 (　　)
A.①③④ B.①③⑤
C.②③⑤ D.③④⑤
1.如图,点B为线段AC上一点,分别以线段AB,BC为直径作圆,O1,O2为圆心,AC=10,则O1O2的长为 (　　)
A.4　　　　B.4.5　　　　C.5　　　　D.5.5
2.(2026南京鼓楼区期中)已知☉O的半径为1,点P在☉O上.若平面内一点A满足PA=3,则点A与☉O的位置关系是 (　　)
A.点A在☉O内 B.点A在☉O上
C.点A在☉O外 D.无法确定
3.如图,AB,MN是☉O中互相垂直的直径,点P在上,且不与点A,M重合,过点P作AB,MN的垂线,垂足分别为D,C.当点P在上移动时,矩形PCOD的形状、大小随之变化,则PC2+PD2的值 (　　)
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.不能确定
4.已知点P到圆上的最远距离是5 cm,最近距离是1 cm,则此圆的半径是　　　　 cm.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CB的长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长为　　　　.
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=5,BC=8,CD=6,AD=5.试判断点A,B,C,D是否在同一圆上 若在,请证明,并求出该圆的面积;若不在,请说明理由.
微专题7　连接半径构造等腰三角形
同圆或等圆中的半径相等,所以连接圆心和圆上任意两个不构成直径的点就会构成等腰三角形.
1.如图,☉O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=87°,则∠E= (　　)
A.42° 　　B.29°　　C.21°　　D.20°
2.如图,OA,OB是☉O的半径,C是☉O上一点,∠AOB=40°,∠OBC=50°,则∠OAC=　　　　 °.
3.如图,将半径为1的☉A向右平移个单位长度至☉B,与☉A相交于C,D两点,则CD的长为　　　　.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.O　8　3.A　4.A　5.5　6.D
7.D
8.AC,AB　AB　,　,
9.证明:∵AB,CD为☉O的直径,
∴OA=OB,OC=OD.
∵CE=DF,
∴OC-CE=OD-DF,即OE=OF.
在△AOF和△BOE中,
∴△AOF≌△BOE(SAS).
∴AF=BE.
10.B　解析:①直径是弦,正确;②弦是直径,错误,弦不一定是直径;③半圆是弧,弧不一定是半圆,正确;④优弧一定大于劣弧,错误,在同圆或等圆中,优弧一定大于劣弧;⑤直径是圆中最长的弦,正确.故选B.
能力提升
1.C　解析:根据题意知O1O2=O1B+O2B=AB+BC=AC=5.故选C.
2.C　解析:当P,A,O三点在同一条直线上时,∵PA=3,OP=1,∴OA=PA+OP=4,或OA=PA-OP=2;当P,A,O三点不在同一条直线上时,由三角形三边关系得PA-OPr,∴点A在☉O外.故选C.
3.C　解析:如图,连接OP,CD.
∵四边形PCOD是矩形,∴△CPD为直角三角形.∴PC2+PD2=CD2.∵在矩形PCOD中,OP=CD,∴PC2+PD2=OP2.即PC2+PD2的值始终等于半径的平方.故选C.
4.3或2　解析:当点P在圆内时,∵点P到圆上的最远距离是5 cm,最近距离是1 cm,
∴圆的直径是5+1=6(cm),∴半径是3 cm;
当点P在圆外时,∵点P到圆上的最远距离是5 cm,最近距离是1 cm,∴圆的直径是5-1=4(cm),∴半径是2 cm.
∴圆的半径是3 cm或2 cm.
5.5　解析:连接CD,如图.
根据题意得CD=CB.在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,AB=10,所以CD=AB=×10=5,所以CB=5.在Rt△ABC中,AC===5.
6.解:点A,B,C,D在同一圆上.
证明:如图,连接BD,设BD的中点为O,连接OA,OC.
∵∠BAD=90°,
∴BD===10.
∵62+82=102,∴CD2+BC2=BD2.
∴△BCD是直角三角形,∠BCD=90°.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得OA=OB=OC=OD,
∴点A,B,C,D同在以点O为圆心,BD为直径的圆上.
∴圆的半径为BD=5.
∴圆的面积为π×52=25π.
微专题7
1.B　解析:连接OD,如图.
∵OB=DE,OB=OD,∴DO=DE,∴∠E=∠DOE,∵∠1=∠DOE+∠E,∴∠1=2∠E.∵OC=OD,∴∠C=∠1,∴∠C=2∠E,∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E,∴∠E=∠AOC=×87°=29°.故选B.
2.30　解析:如图,连接OC.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=50°,
∴∠BOC=180°-50°×2=80°,
∴∠AOC=80°+40°=120°.
∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA==30°.　
3.　解析:如图,连接AC,BC,AD,BD.设AB,CD交于点E.∵将半径为1的☉A向右平移个单位长度至☉B,∴AC=BC=1,AB=,∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.∵AC=BC=AD=BD=1,∴四边形ADBC是正方形.∴CD=AB=.

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