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山西省太原市小店区部分学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试卷
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．如图，，，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
8．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．反比例函数y= 的图象在第________象限．
12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ．
13．小凯沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了26米，那么他上升的高度是______．
14．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______．
15．如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为_____ ．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2)
17．三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）．
(1)根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置；
(2)画出影子为的竹竿（用线段表示）；
(3)若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题）
A．变长 B．不变 C．变短 D．无法确定
18．如图，在中．

【实践与操作】请利用尺规作图完成以下操作：
（1）作的角平分线，交边于点D；
（2）作线段的垂直平分线，分别交边，于点E，F；
（3）连接，连接．
（要求：不写作法，标明字母）；
【猜想与证明】试猜想四边形的形状，并加以证明．
19．问题情境：
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型：
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式；
小型车辆 行驶时间 平均速度
问题解决：
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是．
(2)在图②中画一条格点线段，交于点P，使．
21．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
22．圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下：
课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长）
工具 测量仪器等
示意图
说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数．
参考数据 ，，，，，
23．综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片和探究旋转的性质，将矩形纸片绕点逆时针旋转，其中．
初步探究：
（1）如图1，连接，在矩形纸片旋转的过程中，的值为___________；
问题解决：
（2）如图2，连接，当点恰好落在上（不与点重合）时，与边交于点，延长交边于点，求的长；
（3）连接，当时，请直接写出的面积．
参考答案
1．A
【详解】，
故选：A.
2．C
【详解】解：把代入，得
．
故选C．
3．B
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．
故选∶D．
5．B
【详解】解：，
反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，
点，都在反比例函数的图象上，，
．
∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∴.
故选：B．
6．A
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
7．A
【详解】解：由题意得：
∴千米
故选：A
8．C
【详解】
解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
9．B
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
10．C
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
11．一、三
【详解】∵k=6>0，
∴函数图象在一、三象限.
故答案为一、三.
12．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为，
∴，
即，
故答案为：．
13．10米
【详解】解：设坡度的高为x米，则水平距离为米，
由题意可得：，解得：．
所以他上升的高度是10米．
故答案为：10米．
14．3
【详解】解：由题意得：，
，
，
（m）．
故答案为：3．
15．3
【详解】解：如图，过点F作交于点M，
在中，，，，
，
，，，
，
则在中，，
，，
即，，
，，
平分，
，
在和中，
，
（），
，
，
在中，，
则，即，
，
，，
，
，
，即
，
．
故答案为：3．
16．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，；
（2）解： ，
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
∴，．
17．(1)
如图所示，点为光源的位置；
(2)如图所示，为所求；
(3)C
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由图可知，影子的长度变短．
故选：C．
18．实践与操作：见解析；猜想与证明：菱形，见解析
【详解】解：[实践与操作]
如图，即为所求；

[猜想与证明]
四边形为菱形，理由如下：
∵垂直平分，交点为O，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．

19．（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于．
【详解】解：（）由表格可知，，
∴与之间的函数关系式为；
（）当时，，
答：它的平均速度是．
（）根据题意，得，解得，
答：行驶时间应不少于．
20．(1)
解：如图，为所作的图形．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，且相似比为，
∴．
(2)
解：如图，为所作的线段．
连接，如图
由图可知，
∴．
【详解】（1）略
（2）略
21．40元
【详解】解：设应涨价x元，
根据题意可得：，
解得：，
因为要更大优惠让利消费者，售价应更低，所以取，舍去，
∴售价应定为（元），
答：售价应定为40元．
22．9米
【详解】解：设，
∵，
∴（），
在中，，
∴（），
在中，'，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴（），
答：损坏的“表”原来的高度（即的长）约为米．
23．（1）；（2）；（3）16或64
【详解】解：∵四边形，是矩形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）连接，交于点H，
∵在矩形和矩形中，，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
，
∴，，
∴在中，，
在中，，
∴，，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
（3）分两种情况讨论：
①如图，若，
∵，
∴，
∴点A，E，C在同一直线上，
∴在中，，
∴，
∵在矩形中，，
∴．
②如图，若，
∵在矩形中，，
∴与重合，
∴，
∴．
综上所述，当时， 的面积为16或64．

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