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第2课时　切线长定理
切线长定理
1.如图,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°.下列结论不正确的是 (　　)
A.PA=PB B.∠APO=20°
C.∠OBP=70° D.∠AOP=70°
2.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,并与☉O的另一条切线分别相交于D,C两点,已知PA=6,则△PCD的周长为　　　　.
3.(2026牡丹江期中)如图,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,若AB是☉O的直径,且∠P=70°,求∠BAC的度数.
1.如图,AC是☉O的直径,PB,PC是☉O的两条切线,B,C是切点,若∠P=60°,AC=3,则AB的长为 (　　)
A.1　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
2.如图,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点.若∠APC=60°,PO=5,则直径AB的长是　　　　.
3.(推理能力)如图,O是 ABCD的对称中心,BC与☉O相切于点E.
(1)求证:直线AD是☉O的切线.
选择其中一位同学的想法,完成证明.
(2)当AB与☉O相切时, ABCD是菱形吗 请说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.12
3.解:连接OC,如图.
∵PA,PC是☉O的切线,
∴OA⊥AP,OC⊥CP,
∴∠OAP=∠OCP=90°,
∴∠AOC=360°-90°-90°-70°=110°,
∴∠BAC=(180°-∠AOC)=35°.
能力提升
1.B　解析:如图,连接BC.
∵PB,PC是☉O的两条切线,∴PB=PC,∠ACP=90°.∵∠P=60°,∴△PBC是等边三角形,∴∠BCP=60°,∴∠ACB=90°-60°=30°,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴AC=2AB.∵AC=3,∴AB=.故选B.
2.5　解析:∵PA,PC是☉O的切线,∠APC=60°,∴∠APO=∠CPO=∠APC=30°,OA⊥AP.∵PO=5,∴AO=PO=,∴AB=2AO=5.
3.解:(1)证明:如图,连接EO并延长与AD交于点F,连接BD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AD∥BC,
∴∠OBE=∠ODF.
又∵∠BOE=∠DOF,
∴△BOE≌△DOF(ASA),
∴OE=OF.
∵BC与☉O相切于点E,
∴AD与☉O相切于点F,
即直线AD是☉O的切线.
(答案不唯一)
(2) ABCD是菱形.
理由:如图.
设AB与☉O相切于点G,连接GO并延长与CD交于点H,连接AC.
同理(1),得CD是☉O的切线,AG=CH.
由切线长定理得BG=BE,CE=CH,
∵AG=CH,
∴AG=CE,
∴AB=BC,
∴ ABCD是菱形.30.1.2　圆的切线
第1课时　切线的性质和判定
切线的性质
1.如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是 (　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.　　　　D.6
2.(2025安徽中考)如图,AB是☉O的弦,PB与☉O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P=50°,则∠PAB的大小为　　　　 °.
3.(2025广东中考)如图,O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.
求证:AD平分∠BAC.
切线的判定
4.下列关于圆的切线的说法正确的是 (　　)
A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线　
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线　
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线
5.如图,AB是☉O的弦,BC是过点B的直线,∠AOB=130°.当∠ABC=　　　　°时,BC是☉O的切线.
6.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC=∠D=60°.
求证:AE是☉O的切线.
1.三角尺、量角器和直尺如图摆放,三角尺的斜边BC与半圆O相切于点C,点B,D,E分别与直尺的刻度1,9,19重合,∠ABC=30°,则三角尺的直角边AC的长为 (　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.6
2.(2025自贡中考)PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则∠ACB的度数为 (　　)
A.50°　　 B.100°
C.130°　　　 D.50°或130°
3.如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,嘉嘉说:“这个条件可以是AB=AC”;淇淇说:“满足条件AC∥OD也可以判定DE是☉O的切线”.对于他们的说法,下列判断正确的是 (　　)
A.嘉嘉正确,淇淇错误　
B.嘉嘉错误,淇淇正确
C.他们都正确　
D.他们都错误
4.(跨学科)(2025北京中考)如图,☉O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时,太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为　　　　 °.
5.如图,AB是☉O的直径,=,E是OB的中点,连接CE并延长到点F,使EF=CE,连接AF交☉O于点D,连接BD,BF.
(1)求证:直线BF是☉O的切线.
(2)若OB=4,求BD的长.
6.(几何直观)如图,已知直线AB∥CD,过直线AB上一点E作EG⊥CD于点G,以EG的长为直径作☉O,F为☉O上一点,直线BC过点F,且BE=BF,连接OB,OC.
(1)求证:BC是☉O的切线.
(2)若☉O的半径为3,且S△OBC=3,求CG-BE的值.
【详解答案】
基础达标
1.C　2.20
3.证明:连接OD,如图.
∵以OA为半径的☉O与边BC相切于点D,
∴OD⊥BC.
∵∠ABC=90°,
∴OD∥AB,
∴∠ODA=∠BAD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠BAD=∠OAD,
∴AD平分∠BAC.
4.D　5.65
6.证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵=,
∴∠B=∠D=60°,
∴∠BAC=90°-∠B=90°-60°=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
∴BA⊥AE.
∵AB是☉O的直径,
∴AE是☉O的切线.
能力提升
1.D　解析:连接OC(图略).∵BC与半圆O相切于点C,∴BC⊥OC.∴∠OCB=90°.∵DE是半圆O的直径,且DE=19-9=10,∴OC=OD=DE=5.∵BD=9-1=8,∴OB=BD+OD=8+5=13.∴BC===12.∵∠A=90°,∠ABC=30°,∴AC=BC=6.故选D.
2.D　解析:连接OA,OB,如图.
∵PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°.当点C在优弧AB上时,∠ACB=∠AOB=× 100°=50°;当点C'在劣弧AB上时,∠AC'B=180°-50°=130°.综上所述,∠ACB的度数为50°或130°.故选D.
3.C　解析:如图,连接AD.
当AB=AC时,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC,∴CD=BD.∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位线,∴AC∥OD.∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.当AC∥OD时,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.∴他们都正确.故选C.
4.43　解析:∵∠DOB=∠FOB=23.5°,
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°.
∵GD∥HF,∴∠OFH=180°-∠DOF=180°-47°=133°.
∵FI是☉O的切线,∴OF⊥FI,
∴∠OFI=90°,∴∠IFH=133°-90°=43°.
5.解:(1)证明:如图,连接OC.
∵AB是☉O的直径,=,
∴∠BOC=90°.
∵E是OB的中点,
∴OE=BE.
在△OCE和△BFE中,
∴△OCE≌△BFE(SAS),
∴∠FBE=∠COE=90°,即OB⊥BF.
∵AB为☉O的直径,
∴直线BF是☉O的切线.
(2)∵OB=OC=4,由(1)得△OCE≌△BFE,
∴BF=OC=4.
∵AB=2OB=8,由(1)知∠ABF=90°,
∴AF==4.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AF,
∴S△ABF=AB·BF=AF·BD,
即8×4=4BD,
∴BD=.
6.解:(1)证明:如图,连接OF.
∵AB∥CD,EG⊥CD,
∴EG⊥AB,
∴∠OEB=∠OGC=90°.
在△OBE和△OBF中,
∴△OBE≌△OBF(SSS).
∴∠OEB=∠OFB=90°,即OF⊥BC.
∵OF是☉O的半径,
∴BC是☉O的切线.
(2)如图,过点B作BM⊥DC于点M.
在Rt△OCG和Rt△OCF中,
∵OG=OF,OC=OC,
∴Rt△OCG≌Rt△OCF(HL),
∴CG=CF.
由(1)知△OBE≌△OBF,
∴S△OBE+S△OCG=S△OBF+S△OCF=S△OBC.
∴S梯形BCGE=2S△OBC=6=(CG+BE)×6,
∴CG+BE=2.
∵BE=BF,CG=CF,
∴BC=CF+BF=CG+BE=2.
∵EG⊥CD,BM⊥DC,
∴BM∥EG.
∵AB∥CD,
∴四边形EGMB是平行四边形,
∴BM=EG=6,BE=MG.
∵CG-MG=CM,
∴CG-BE=CM.
在Rt△BMC中,由勾股定理,得
CM==2.
∴CG-BE的值为2.

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