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30.3　正多边形与圆
正多边形的相关概念
1.下列说法不正确的是 (　　)
A.圆内接正n边形的中心角为
B.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的多边形是正多边形
与正多边形有关的计算
2.若一个圆内接正多边形的中心角是40°,则这个正多边形的边数是 (　　)
A.10　　　　B.9　　　　　C.8　　　　　D.6
3.(2026启东期中)已知正六边形的半径是4 cm,则它的边心距是 (　　)
A.2 cm　 B.2 cm
C.2 cm D.4 cm
4.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,CP与☉O相切于点C,则∠BCP的度数为 (　　)
A.120° B.108°
C.144°　 D.162°
5.如图,已知☉O的内接正五边形ABCDE,连接AC,则∠BAC的度数为　　　　.
6.如图,A,B,C,D是一个外角为40°的正多边形相邻的四个顶点,点O是该正多边形的中心,则∠AOD的度数为　　　　.
7.如图,☉O的半径为,☉O的一个内接正多边形的边心距OC为1,求这个正多边形的中心角的度数、边长和面积.
正多边形的画法
8.画一个半径为2 cm的正六边形.
1.如图,将☉O的圆周十二等分,A,B,C是等分点,则∠ADB的度数可能为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.65°
2.如图,A,B,C,D均为圆周上的十二等分点,用直尺测量弦CD的长时,发现点C,D分别与刻度1和4对齐,则A,B两点之间的距离是 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.6
3.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若AC=2,则AE=　　　　.
4.如图,将☉O的圆周十二等分,则圆内接六边形ABCDEF的面积与内接四边形ABDE的面积比值为　　　　.
5.如图,正六边形ABCDEF的顶点A,F分别在正方形BMGH的边BH,GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为　　　　.
6.如图,A,B,C,D,E,F是正n边形的六个连续顶点,AE与CF交于点G,若∠EGF=30°,则n=　　　　.
7.(数学文化)司南(如图1)是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早在战国时期就已被发明,是现在所用指南针的始祖.如图2,司南中心为一圆形,圆心为点O,直径为20,根据八个方位将圆形八等分(点A~H),过点E作☉O的切线与AG的延长线交于点M,连接EG.
　　　
图1　　　　　　　　　　图2
(1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为　　　　.
(2)求AG的长.
(3)求ME的长.
8.(推理能力)如图,图1、图2、图3……图n分别是☉O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE……正n边形ABCD…,点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM交BN于点P.
(1)图1中∠APN的度数是　　　　,图2中∠APN的度数是　　　　,图3中∠APN的度数是　　　　.
(2)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系:　　　　　　　　　　.
　　
图1　　　　　　图2
　　
图3　　　　　　图n
【详解答案】
基础达标
1.D　2.B　3.C　4.C　5.36°　6.120°
7.解:连接OB,如图.
∵在Rt△AOC中,AC===1,
∴AC=OC,
∴∠AOC=∠OAC=45°.
∵OA=OB,OC⊥AB,
∴AB=2AC=2,∠AOB=2∠AOC=2×45°=90°,
∴这个内接正多边形是正方形,面积为AB2=22=4.
∴这个正多边形的中心角的度数为90°,边长为2,面积为4.
8.解:画法:(1)画一个半径为2 cm的☉O.
(2)用量角器画一个60°的圆心角.
(3)在☉O上依次截取与60°的圆心角所对的弧相等的弧,可得6个等分点.
(4)顺次连接6个等分点,就可得到半径为2 cm的正六边形.
如图所示,正六边形ABCDEF即为所求.
能力提升
1.D　解析:将☉O的圆周十二等分,则每一等份所对的圆心角度数为=30°.∵A,B,C是等分点,∴∠ACB=×4×30°=60°.又∵∠ADB是△CDB的一个外角,∴∠ADB>∠ACB,即∠ADB>60°.因此满足条件的是选项D.故选D.
2.C　解析:设点O是圆内接正十二边形的中心,如图,连接AD,AC,OC,由正十二边形及圆的对称性可知,AD是☉O的直径.∵A,B,C,D均为圆周上的十二等分点,∴∠COD=×2=60°.∵=,∴AB=AC.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,∠CAD=∠COD=30°.在Rt△ACD中,∠CAD=30°,CD=4-1=3,∴AD=2CD=6.∴AC==3.∴AB=AC=3.故选C.
3.2　解析:如图,连接AG,GE,EC,则四边形ACEG为正方形,∴AE=AC=2.
4.　解析:根据题意得S圆内接正六边形ABCDEF=6S△AOB,S圆内接四边形ABDE=4S△AOB,所以圆内接六边形ABCDEF的面积与内接四边形ABDE的面积比值为=.
5.4　解析:设AF=x,则AB=x,AH=6-x.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF==120°,∴∠HAF=60°,∵∠AHF=90°,∴∠AFH=30°,∴AF=2AH,∴x=2(6-x),解得x=4,∴AB=4,即正六边形ABCDEF的边长为4.
6.18　解析:如图,连接CE,正n边形的中心角的度数为,则∠ECF=×,∠AEC=.∵∠EGF=30°,∴∠ECF+∠AEC=30°,∴×+=30°,解得n=18.
7.解:(1)45°
(2)∵AE为☉O的直径,
∴∠AGE=90°,
∵=,
∴AG=EG,
∴∠GAE=∠AEG=45°,
∴AG=EG==10.
(3)∵ME为☉O的切线,
∴∠AEM=90°.
由(2)知∠GAE=45°,
∴ME=AE=20.
8.(1)60°　90°　108°　解析:点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动,∴∠BAM=∠CBN,∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°.同理可得,题图2中,∠APN=∠ABC=90°;题图3中,∠APN=∠ABC=108°.　
(2)∠APN=

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