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分课时学案
课题 21.1 认识一元二次方程 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1. 数学抽象：通过多个实际问题列方程，对比一元一次方程特征，抽象概括出一元二次方程的定义与本质特征，区分不同整式方程的差异，完成从具体方程到抽象概念的升华。 2. 模型观念：经历从生活实际问题中提炼数量关系、建立一元二次方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，强化建模意识。 3. 数学运算：掌握整式方程的移项、合并同类项化简方法，能将任意一元二次方程化为标准一般形式，精准识别各项系数，提升代数化简与运算规范性。
重点 1.理解一元二次方程的概念及本质特征； 2.能准确辨别一元二次方程，识别方程的各项及对应系数，检验方程的根。
难点 1. 理解一元二次方程一般形式中a≠0的隐含条件及核心意义； 2. 将复杂的整式方程整理化为标准一般形式，准确辨析带参数的一元二次方程
教学过程
导入新课 【想一想】什么是一元一次方程？ 【做一做】在下列方程：①3x-y=2，②x2-2x-3=0， ③，④，⑤中，是一元一次方程的有哪些
新知讲解 探究一元二次方程的概念 【问题1】绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽. 【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 观察下面两个方程，思考回答下面问题。 x2+10x-900=0. ①5x2 + 10x -2.2=0 ② (1)上面两个方程是一元一次方程吗？ (2)上面方程整理后含有几个未知数？ (3)它的最高次数是几次？ 这是什么方程？ 总结归纳 一元二次方程的定义： 一元二次方程的一般形式： 请分别指出问题1和问题2中两个方程的二次项系数、一次项系数和常数项. x2+10x-900=0. ① 5x2 + 10x -2.2=0 ② 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)3x2-x=2; (2) 7x - 3=2x2; (3) x(2x - 1) -3x(x - 2)=0; (4) 2x(x - 1)=3(x + 5)-4. 拓展提高 要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是( ). A. x2＋1＝0 B.＋2x＝5 C. y＝x2 D. ax2＋2x＋1＝0 2. 若关于x的方程(a－1)x2＋ax＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是_________． 若关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________. 3. 方程2x2＋4x－3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　). A．2，－3，－4 B．2，－4，－3 C．2，－4，3 D．2，4，－3 4. 把方程x(x+1)=5(x-2)化成一般形式ax2+bx+c=0，则a+b+c的值为( ). A. -3 B. 7 C. -5 D. 1 【知识技能类作业】选做题： 5. 关于x的一元二次方程(4-a)x2+a2x=16x+1化为一般形式后不含一次项，则a的值为( ). A. 0 B. ±4 C. 4 D. -4 6. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，则下列结论一定正确的是(　　). A. a＋b＋c＝1 B. a－b＋c＝0 C. a＋b＋c＝0 D. a－b＋c＝1 【综合拓展类作业】 7.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0. (1)当m为何值时，该方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，该方程是一元二次方程？
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.若关于x的方程(m-1)x2-2x-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( ） . A. m≥1 B. m<-1 C. m≠-1 D. m≠1 2. 关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0，则m的值为( ). A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0 【知识技能类作业】选做题： 3.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是 ． 4. 下把一元二次方程4(x+1)=5x2化为一般形式正确的是满足( ) A. 5x2-4x-4=0 B. 5x2-4x+4=0 C. 5x2+4x+4=0 D. 5x2+4x-4=0 【综合拓展类作业】 5. 已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．
答案：
引新
【想一想】什么是一元一次方程？
只含有一个未知数、未知数的最高次数为1，且两边都为整式的等式叫做一元一次方程。
一元一次方程的特点：
(1)只含有一个未知数；
(2)所含未知数的项的最高次数为1；
(3)方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数。
【做一做】在下列方程：①3x-y=2，②x2-2x-3=0，
③，④，⑤中，是一元一次方程的有哪些
方程④和⑤是一元一次方程.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是(　A　).
A. x2＋1＝0 B.＋2x＝5
C. y＝x2 D. ax2＋2x＋1＝0
2. 若关于x的方程(a－1)x2＋ax＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是_____a≠1_____．
若关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝__3______.
3. 方程2x2＋4x－3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　D　).
A．2，－3，－4
B．2，－4，－3
C．2，－4，3
D．2，4，－3
4. 把方程x(x+1)=5(x-2)化成一般形式ax2+bx+c=0，则a+b+c的值为( B ).
A. -3 B. 7 C. -5 D. 1
【知识技能类作业】选做题：
5. 关于x的一元二次方程(4-a)x2+a2x=16x+1化为一般形式后不含一次项，则a的值为( D ).
A. 0 B. ±4 C. 4 D. -4
6. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，则下列结论一定正确的是(　C　).
A. a＋b＋c＝1
B. a－b＋c＝0
C. a＋b＋c＝0
D. a－b＋c＝1
【综合拓展类作业】
7.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0.
(1)当m为何值时，该方程是一元一次方程？
解：由题意，得当m＋2＝0，即m＝－2时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程；
当m＋2≠0，|m|＝1，即m＝±1时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程；
当m＝0时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程．
(2)当m为何值时，该方程是一元二次方程？
解：由题意，得|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.
∴当m＝2时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程．
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.若关于x的方程(m-1)x2-2x-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( D ） .
A. m≥1
B. m<-1
C. m≠-1
D. m≠1
2. 关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0，则m的值为( B ).
A. 1
B. 2
C. 0或2
D. 0
【知识技能类作业】选做题：
3.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是x2+65x 350＝0．
4. 下把一元二次方程4(x+1)=5x2化为一般形式正确的是满足( A )
A. 5x2-4x-4=0
B. 5x2-4x+4=0
C. 5x2+4x+4=0
D. 5x2+4x-4=0
【综合拓展类作业】
5. 已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．
解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7＝0是一元二次方程，
∴|m+1|＝1或2或0，
当|m+1|＝1时，解得m＝0或﹣2，
故原方程可化简为：4x2+x+7＝0或4x2﹣x+7＝0，
二次项系数为：4，一次项系数为：1，常数项为：7；
或二次项系数为：4，一次项系数为：﹣1，常数项为：7；
当|m+1|＝2时，解得m＝1或-3（不合题意舍去），
故原方程可化简为：4x2+2x+7＝0，
二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：7．
当|m+1|＝0时，解得m＝-1，
则二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：5．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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