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(共28张PPT)
第三章 圆的基本性质
3.2.2 圆心角(2)
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
03
通过自主学习，经历体验圆心角定理的逆定理的形成过程，培养分析问题、探究问题的能力。
经历探索圆心角定理的逆定理的过程。
会运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决简单的几何问题。
02
新知导入
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等， 所对的弦心距也相等.
圆心角定理：
A
B
C
D
o
E
F
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
03
新知探究
探究一
合作学习:
定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
定理2：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦及其弦心距相等.
你能写出这两个定理的逆命题吗？
命题1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.
命题2：在同圆或等圆中，相等的弦或弦心距所对的圆心角相等.
这两个命题成立吗？试试画出图形，并说明理由。
新课探究
【小组合作】设计一个实验，探索在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.
实验过程：在两张透明的纸上，分别作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下. 在⊙O和⊙O′上分别作AB=CD，将两圆重合，圆心固定. 将其中的一个圆旋转一个角度，使AB与CD重合.
）
）
）
）
∠AOB与∠COD相等吗？
02
新知导入
【小组合作】用上述实验探究在同圆或等圆中，相等的弦或弦心距所对的圆心角是否相等.
通过实验你能发现什么？
02
新知导入
【总结归纳】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
）
）
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
03
新知讲解
(2)由于一条弦(非直径)对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中的
“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．
思考：(1)定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
03
新知讲解
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
______ ,______ , ______.
（3）如果AB=CD 那么
___________, ______ , ______.
做一做
已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，填空：
（1）如果AB=CD，那么
_________________,___________,___________.
∠AOB= ∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
（2）如果OE=OF，那么
____________, ______ ,______.
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
F
E
03
新知讲解
例3
如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC，判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.
解：四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°
同理：∠COD=60°
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形.
03
新知讲解
例4
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E.
求证： AD=DE=EB
E
03
新知讲解
证明：如图，连结OD，OE.
在等边三角形ABC中，∠A=60°.
∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形.
∴∠AOD=60°.
同理，∠BOE=60°,
∴∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE
=180°-60°-60°=60°,
∴∠AOD=∠DOE=∠BOE,
∴AD=DE=EB.
03
新知讲解
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
圆的中心对称性
（旋转不变性）
【点悟】 在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
D
1.如图，在⊙O中，AB＝CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，下列结论中错误的是(　　) .
A．OE＝OF
B．AB＝CD
C．∠AOB＝∠COD
D．AE＞CF
）
）
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2. 2.22.如图， ， 是 的两条弦，要使 ，在不添加线段与字母的条件下，需要补充的条件是_________________（补充一个即可）.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2. 2.22.如图， ， 是 的两条弦，要使 ，在不添加线段与字母的条件下，需要补充的条件是_________________（补充一个即可）.
（答案不唯一）
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图， 为 的直径，半径 弦 ，判断 与 是否相等，并说明理由.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图， 为 的直径，半径 弦 ，判断 与 是否相等，并说明理由.
解：相等.理由：如图，连结 ，
，
， .
，
，
，
.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
4.如图，在直径为10cm的☉O中，直径AC与BD所在的角∠AOB=120°，求四边形ABCD的周长和面积.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
4.如图，在直径为10cm的☉O中，直径AC与BD所在的角∠AOB=120°，求四边形ABCD的周长和面积.
周长：10+10
面积：25
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形）
△AＯＤ是等边三角形
05
课堂小结
圆心角定理的逆定理:
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等.
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
圆心角
弧
弦
弦心距
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列说法中正确的是(　 　)
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F.且AC＝DB.
求证：AE＝BF.
）
）
证明：连结OA，OB，如图所示．
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.
∵AC＝DB，∴∠AOE＝∠BOF.
∴△AOE≌△BOF.
∴AE＝BF.
）
）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
证明：如图，连结AC，BD.
∵C，D是AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD.∴AC＝CD＝BD，
∠AOC＝∠COD＝∠BOD.
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
）
）
）
）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
Thanks!
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