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(共28张PPT)
第三章 圆的基本性质
3.3.1 垂径定理(1)
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
03
掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。
通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性。
掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
02
新知导入
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么
C
D
·
O
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.
03
新知探究
探究一
合作学习:
在刚刚操作的基础上，再作一条和直径CD垂直的弦AB，AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？
C
D
·
O
A
B
E
点A与点B重合，AE与BE重合，，.
请你将你的发现归纳成一般结论.
新课探究
一般地，圆有下面的性质：
垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
你能证明这个性质吗？
02
新知导入
CD 是已⊙O 的直径，AB⊥CD 于点 E，连结 AO，BO，则 AO＝BO.
在等腰三角形OAB中，OC⊥AB，得AE=BE.
所以把图沿直径CD对折时，射线EA与射线EB 重合,可知点A与点B重合，则弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别重合，所以弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别相等，记做弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
这样便证明了垂径定理.
02
新知导入
【总结归纳】
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分弦所对的弧。
符号语言：
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE=BE，
AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
03
新知讲解
【拓展提高】
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
03
新知讲解
特别提醒
条件
结论
(1) 过圆心
(2) 垂直于弦
(1) 平分弦
(2) 平分弦所对的优弧
(3) 平分弦所对的劣弧
03
新知讲解
垂径定理的几个基本图形
03
新知讲解
弧的中点
分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
如图，C是 的中点，D是的中点；
OE的长就是弦AB的弦心距.
弦心距
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
·
C
A
D
B
E
O
03
新知讲解
例3
例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．
A
B
C
D
E
作法：
1.连结AB.
2.作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
如图所示，点E就是所求弧AB的中点．
03
新知讲解
变式： 求弧AB的四等分点．
C
D
A
B
E
F
G
m
n
03
新知讲解
例4
一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆圆心O到水面的距离OC.
O
A
B
03
新知讲解
解：先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OC⊥AB，
∴AC=BC=AB =×16=8，
由勾股定理，得OC=
==6，
答：截面圆圆心O到水面的距离为6．
O
A
B
C
图中，OC 的长就是弦 AB 的弦心距.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
B
1．
如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，则下列结论错误的是(　　)
A．AE＝BE
B．EO＝ED
C.AD＝BD
D. AC＝BC
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.如图，已知 是半圆 的直径，弦 ， ， ，则CD与 之间的距离是___.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.如图，已知 是半圆 的直径，弦 ， ， ，则CD与 之间的距离是___.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，求桥拱所在圆的半径．
解：由题意得CD⊥AB，CD＝8 m，
AB＝8 m，∴AD＝DB＝4 m.
如图所示，连结OA. 设OA＝r m，
则OD＝(8－r)m.
在Rt△ODA中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5.
∴桥拱所在圆的半径为5 m .
05
课堂小结
垂直于弦的直径
平分弦所对的两条弧
平分弦
>
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图（1），筒车边缘装有盛水桶．如图（2），当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心，5米为半径的圆，圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 长8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为( )
B
A.1 B.2米 C.3 D.4米
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则木材的直径是_____(1尺＝10寸)
26寸
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.已知⊙O的半径为25 cm，弦AB＝40 cm，弦CD＝48 cm，AB∥CD.
求两条平行弦AB，CD之间的距离．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
06
作业布置
【综合拓展类作业】
Thanks!
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