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(共30张PPT)
第三章 圆的基本性质
3.3.2 垂径定理(2)
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
03
明确理解“知二得三”的意义。
经历探索垂径定理的推论的过程，掌握垂径定理的推论。
学会运用垂径定理的推论解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。
02
新知导入
【想一想】垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE=BE，
03
新知探究
探究一
合作学习:
【思考】若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？
平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？
若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？
平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？
新课探究
请在白纸上画一个以点O为圆心， OA为半径的圆，在⊙O上任意画出一条弦CD (不是直径).
探索一
A
O
C
D
①找到弦CD的中点E；
②过点E作⊙O的直径MN；
③测量∠MED的度数.
E
M
N
∠MED=90°，即MN⊥CD.
如果弦CD是直径呢？
02
新知导入
当弦CD是直径时，平分弦的直径不一定垂直于这条弦.
O
C
D
M
N
M1
N1
M2
N2
02
新知导入
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
求证：CD⊥AB，AC=BC.
）
）
证明：连结OA，OB，则AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形.
∵ AP=BP，∴CD⊥AB,
∴AC=BC(垂直于弦的直径平分弦所对的弧).
）
）
03
新知讲解
定理 1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
【总结归纳】
符号语言：
∵CD是直径，AP=BP，
∴CD⊥AB，AC=BC.
）
）
03
新知讲解
请在白纸上画一个以点O为圆心， OA为半径的圆，在⊙O上任意找出一段弧CD，连结CD.
A
O
C
D
①找到弧CD的中点E；
②过点E作⊙O的直径EF，交弦CD于点P；
③测量∠FPD的度数.
∠FPD=90°，即EF⊥CD.
E
F
P
探索二
03
新知讲解
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC.
求证：CD⊥AB，AP=BP.
）
）
证明：当AC=BC时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则AC与BC重合.
所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB.
）
）
）
）
03
新知讲解
定理 2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
【总结归纳】
符号语言：
∵CD是直径，AC=BC，
∴CD⊥AB，AP=BP.
）
）
03
新知讲解
比较垂径定理、推论1、推论2的条件和结论，
你发现了什么？
垂径定理及其推论可以看成由五个事项构成：
①两条弦互相垂直； ②一条弦经过圆心；
③一条弦(不是直径)被平分； ④平分弦所对的一条弧；
⑤平分弦所对的另一条弧.
这五个事项中，已知其中任意两个，必然能推出其余的三个.
03
新知讲解
例3
赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
03
新知讲解
解：如图，用AB表示桥拱圆弧，
设AB所在圆的圆心为O，半径为R(m).
C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，
就有OC垂直平分AB. 所以CD就是拱高.
由题意，得AB=37.02m，CD=7.23m，
）
）
）
03
新知讲解
由题意，得 AB=37.02m，CD=7.23m，
∴AD=AB=×37.02=18.51(m)，
OD=OC－DC=(R－7.23) (m)，
在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2，
∴R2=18.512+(R－7.23)2，
解这个方程，得R≈27.3.
答：赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.3 m.
03
新知讲解
【拓展提高】
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
提示：弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形，弓形的高度是指弧的中点到弦长的距离.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
C
1.下列命题中，正确的是(　　)
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦中点的直线必经过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
D．弦的垂线平分弦所对的弧
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为________m.
2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？
2
1.5
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：如图所示：连结OA，作OC⊥AB，
假设一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧
道，此时OC=3-2=1，
在直角△AOC中，
AC=，
所以AB=2OC= ＜2.3，
故一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车
不能顺利通过这个隧道.
2
1.5
O
A
B
C
05
课堂小结
　垂直于弦
平分
垂直　
平分　
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.有下列四个条件：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四个条件组成的命题中，是假命题的是(　　)
A．①② ③④ B．①③ ②④
C．①④ ②③ D．②③ ①④
B
O
C
D
B
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是______．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是______．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.
D
E
┛
=56 (cm)
BD=
.
=
.
=
.
=
.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，求该脸盆所在圆的半径.
06
作业布置
【综合实践类作业】
Thanks!
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