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2024-2025学年八年级第二学期期中考试数学试卷
※注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，超出答题区域或在本试卷作答无效
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）
3．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ）
A. 30° B. 75° C. 30°或 75° D. 105°
若关于的不等式组恰有4个整数解，则字母的取值范围是（ ）
5．若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22
6.下列说法中，正确的结论有( )
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；③ “对顶角相等＂ 的逆命题是真命题；④反证法证明”一个三角形中最小角不大于60°"应先假设这个三角形中最小角大于60°.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图.托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D转动，支撑板的顶端C好是托板AB的中点.现量得AB=10cm, 当 CD⊥AB,且射线DB 恰好是∠CDE 的平分线时，点B到直线DE的距离是( ）
A.5cm B.6cm C.8cm D.10cm
(7题） (8题） (9题）
如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②,则其旋转中心是( )
A.点A B. 点B C. 点C D. 点D
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x和y=ax+2相交于点A(m,1), 则不等式-2xA. B. C.x>1 D.x<1
10.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 当x= 时，分式的值为0.
12. 如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路(图中阴影部分),余下部分绿化，小路的宽为2 m,则绿化面积为 m .
13.阳春三月，正值放风筝的好时节.某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于20%,请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按
折销售.
若a、b、c是△ABC的三边，且a、b满足关系式∣a－∣+(b－5)2=0,c是不等式组的最大整数解，则△ABC的形状是 .
15.如图，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为________．
三、解答题（共75分）
16. (12分)计算：
(1)解不等式：,并在数轴上表示出它的解集.
(2)解不等式组：,并求出它的整数解的和.
(3)分解因式：①； ②．
(8分)如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A(-2,-4),B(0,-4),C(1,-1).
(1)将△ABC向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1,画出平移后的三角形；
(2)点A 到直线BC 的距离= ；
(3)将△ABC绕着点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2.
18. (6分)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，若BD＝ED．
（1）求证：∠ACB＝2∠E；
（2）求证：△ABC是等边三角形；
19.（8分单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠，该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
20.（8分）如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，AB＝DE．
（1）判断：AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）连接AD，AE，若AC＝a，BC＝b，AB＝c，通过用不同方法
计算四边形ACBD的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
21.（10分）在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（xy）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4），
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc） （分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2 （直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣1﹣2ab；
（2）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，求式子a2﹣ac﹣ab+bc的值；
（3）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+2c2＝2ac+2bc，试判断△ABC的形状，请说明理由．
22.(9分)近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”全球票房达到了一百五十亿，某商家推出A 种哪吒纪念娃娃，B 种敖丙纪念娃娃.已知购进4件A 种娃娃和购进5件B 种娃娃的费用相同； 每个A 种娃娃的进价比每个B 种娃娃的进价多2元，且A 种娃娃售价为15元/个，B 种娃娃售价为10元/个.
(1)每个A 种娃娃的进价是 元，每个B 种娃娃的进价是 元.
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A,B两种娃娃共200 个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案商家获利最大 最大利润是多少？
23.（14分）【背景资料】在已知△abc所在平面上求一点p使它到三角形的三个顶点的距离之和最小，这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的所求的点被人们称为费马点或托里拆利点，该问题也被称为“将军巡营问题”。
（1）下面是该问题的一种常见解决方法，请补充以下推理过程：（其中①从直角和等边中选择填空，②从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③填写角度数）
当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕点C顺时针旋接60°得到△A'P' C，连接 PP'，由PC=P'C,∠PCP’=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP’=PC, 又P’A’=PA,故PA+PB+PC=P’A’+PB+PP’≥A’B由 ② 可知 当B,P, P', A’在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题：
如图3，等边△ABC内有一点P，若点P到项点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数。为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP’处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ；
如图4, △ABC中，∠CAB=90°, AB=AC, E, F为BC上的点，且∠EAF=45°判断BE, EF, FC之间的数量关系为 ；
【问题解决】怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢 为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的项点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题.
如图5，△ARC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABD，连接CD，在CD上取点P，使∠BPC=120°，连接AP、BP，求证：点P是△ABC的费马点.
(2)如图6，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP,则PA+PB+PC的值为__________.
【学以致用】(1)如图7所示是一个三角形公园，其中项点A，B，C为公园的出口, ∠A=75°,AB=2km, AC=4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则PA+PB+PC的最小值是_______.
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)2024--2025学年下学期八年级数学期中考试
答题卡
一、选择题。（共10题、每小题3分，共30分）
二、填空题。（共6题、每小题3分，共18分）
三、解答题。
装
线
密
封
线
班 级
考 号
姓 名
（密 封 线 内 不 要 答 题）
条 形 码 粘 贴 处
18.（7分）
19、（8分）
①；
②．
1. [A] [B] [C] [D] 2. [A] [B] [C] [D] 3. [A] [B] [C] [D] 4. [A] [B] [C] [D]
5. [A] [B] [C] [D] 6. [A] [B] [C] [D] 7. [A] [B] [C] [D] 8. [A] [B] [C] [D]
9. [A] [B] [C] [D] 10. [A] [B] [C] [D]
11. _____________ 12. ______________ 13. ______________
14. _____________15. ______________
17.(6分）
16.（12分）
（1）；
（2）；
（9分）
__________ _____、____________________
23.（14分）
【背景资料】
①_____________;②_______________________________;
③___________.
【知识生成】
∠APB= ；
BE,EF,FC之间的数量关为 ；
【问题解决】
求证：点P是△ABC的费马点.
（2）____________
【学以致用】
PA+PB+PC的最小值是_______
20. （9分）
21.（10分）

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