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【期末真题汇编】【专题14】选择、填空压轴专题（含解析）
一、单选题
1．（2026八上·临海期末）如图， 点D， E， F分别在等边三角形ABC的三边上， 且BD=CE=CF， 连接AE， BF， CD，AE与CD交于点N， 与BF交于点H， 若AE⊥BF， NE+NC=2， 则FH的长度为(　　)
A．1 B．1.3 C． D．
2．（2026八上·临平期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2026八上·海曙期末）如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确结论的序号有（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
4．（2026八上·嘉兴期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以AB为边向下作等边三角形ABE，若DE的最小值为1，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
5．（2026八上·杭州期末） 如图， △ABC中， ∠BAC=60°， ∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD 相交于D. DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD； ③DM平分∠EDF； ④AB+AC= AD；正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
6．（2026八上·宁波期末） 如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作，垂足为点H. 与的面积之比为（　　）
A． B．
C． D．比值不确定，与b的值有关
7．（2026八上·黄岩期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足则下列说法正确的是（　　）
A．AB=AC B．2AB=AC C．2AB=BC D．2AC=BC
8．（2026八上·温岭期末） 如图， 在. 中， 点 D， E分别在边AB， BC上， 连接DE， 点F， G分别是AC， DE的中点， 连接FG， 若DE=6， 则 FG的最小值是（　　)
A．1.8 B．2 C． D．2.5
9．（2026八下·义乌开学考）如图， 在△ABC中， AC边上的中线 点E在BD上，且∠AED=2∠CBD， 若AC=6， AB=4， 则BE的长为(　　)
A． B．2 C． D．
10．（2026八上·温州期末）已知一次函数 与 的图象关于x轴对称，过点 P(t，0)作x轴的垂线，分别交y1， y2于点M， N．当2≤t≤9时， 则MN的最大值为(　　)
A．8 B．12 C．16 D．20
11．（2026八上·金东期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加 米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2026八上·东阳期末）如图，BM是△ABC的中线，CD⊥BM，过点B作AB的垂线交DC延长线于点E，若AB=BE，MD=1，则CE的长是（　　）
A．3 B．2.5 C． D．2
13．（2026八上·浦江期末） 如图， 在Rt△ABC中， ∠A=90°， AB=8， BC=10， BD平分∠ABC交AC于点D， 则CD的长为(　　)
A．3 B． C． D．4
14．（2026八上·余杭期末） 如图，在△ABC中，AB>AC>BC，点 D 在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A 的对称点为 E，CE与AB交于点 F， 设∠ACD为x°，∠BFC=y°，y关于x的函数图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．∠A=45° B．∠B=45°
C．当△ACF为等腰三角形时，x=15 D．当点D为AB中点时，y=90
15．（2026八上·慈溪期末） 如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AB= ， D是AB的中点， P是BC边上的点， 连结 PD。若PD=1， 则PC·PB 的值为 (　　)
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
16．（2026八上·临海期末）如图1，在△ABC中， ∠ACB=90°， 点 P从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，PC的长度y(单位： cm)随时间x(单位：s)变化而变化的函数图象，则a的值为　 　， △ABC的面积为　 　cm2.
17．（2026八上·舟山期末） 定义运算：当时，则；当时，．例如．记，，当时，始终满足，则的取值范围是　 　．
18．（2026八上·义乌期末） 在△ABC中，∠B=105°，∠BCA=45°，BC=1，点 D在边AB上运动(不与A重合)，以AD为边向△ABC外作正△ADE，如图，过点D作射线垂直于线段 DE，F为射线上一动点，取EF中点G，连结CG，则CG的最小值为 　 　.
19．（2025八上·莲都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx-2k-1与坐标轴相交于A，B两点，直线y=4x-3与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E(a，a). F是y轴上的动点，连结EF，将△AEF沿EF翻折后，A 的对应点恰好落在x轴的负半轴上，则点F的坐标是　 　.
20．（2026八上·宁波期末）如图， 在△ABC中， D， E分别是边AC和BC上的点， 已知 当AE+BD的值最小时，则 　 　.
21．（2026八上·杭州期末）如图，在中，，，点，，分别在边，上，连接，，．点和点关于直线对称，设，若，则　 　（结果用含的代数式表示）．
22．（2026八上·宁波期末）如图，中，D是中点，过D作于点E，的垂直平分线分别交，于F，G，且．若，，则长为　 　．
23．（2026八上·临平期末）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线OABD、线段EF分别表示、与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过　 　分钟在返回途中追上爸爸．
24．（2026八上·海曙期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速.
（1）如图1，一束激光从点C出发，射向x轴上的点P，经过反射后射向点M，已知光线的反射满足反射定律（即反射角i=入射角i）.若点C（0，2），点P（1，0），则直线MP与y轴的交点Q的坐标为　 　；
（2）如图2，线段AB是一根激光感应器，其函数表达式为从点C（0，2）射出的激光射向位于x轴上的镜面DE，经过反射后MN恰好覆盖线段AB上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则DE的最小值为　 　.
25．（2026八上·嘉兴期末）一次函数y=kx+k与函数y=-|x|的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是　 　.
26．（2026八上·宁波期末） 如图，中，D是AC中点，过D作于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于F，G，且. 若，，则DG长为　 　.
27．（2026八上·黄岩期末）【背景】：小明为新买的充电宝做了如下充放电性能测试：实验开始，充电宝充电口接入电源，开始给充电宝充电，一段时间后，在不断开电源的情况下，充电宝输出口接入电子设备并为其充电，又过了一段时间，充电宝断开电源，直到充电宝电量耗尽，电子设备电量未充满，测试结束.充电宝充电功率和输出功率都恒定.充电宝电量W与测试时间t的关系（部分数据）如图所示.
【问题】：小明本次的测试时间为　 　分钟.
28．（2026八上·温岭期末） 一次函数y= kx+b（k≠0)的图象恒过定点 （-2， 0)， 若P （k-1， y1)与Q（k，y2)都在一次函数图象上，满足 成立，则k的取值范围　 　.
29．（2026八上·滨江期末）如图为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1。可以画出与△ABC成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有　 　个。
30．（2026八上·温州期末）如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和小正方形 EFGH拼接而成．AC分别交DH， BF交于点M， N．若AC=6， MN=2， 则BN的长为　 　．
31．（2026八上·金东期末） 如图， △ABC的外角∠CBG的角平分线与AC边的中垂线交于点E， 过E作 ED⊥BC于点D，则AB、BC、BD三条线段之间的数量关系为　 　．
32．（2026八上·东阳期末）如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A<90°，点D，E分别在边AB，BC上，连结DE，将△BDE沿DE折叠，点B恰好落在AC上的点F处，且满足AD=DF，设则=　 　.
33．（2026八上·浦江期末）如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB和等边△ACD都有一条边在x轴上，并且点A、C的坐标分别为(2，0)、(6，0).若过点D有一条直线把两个三角形的面积分为相等的两部分，则这条直线的解析式为　 　.
34．（2026八上·余杭期末） 如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，AD=AC，过C作于点 E，交AD于点 F，且∠DAC=2∠ACE，若AE=1，BD=3，则AD的长为　 　.
35．（2026八上·慈溪期末） 如图， 在△ABC中， AB=AC， 点D在AB右下方， ∠ADB=∠ACB。过点C作AD的平行线交BD于点F， 过A作AE⊥BD， 垂足E在线段DF上。若DE=3， EF=1， 则CD的长为　 　， BF的长为　 　。
三、填空题(每小题3分，共18分)
36．（2026八上·宁海期末）如图，△ABC中，D是AC中点，过D作DE⊥AB于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于F，G，且．若AE=2，BE=5，则DG长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接EF，在AH上取点G使GH=HE，连接GF，如下图所示，
∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC
∵CE=CF
∴△CEA≌△CFB(SAS)
同理△CDB≌△AEC(SAS)
∵∠CFH=∠CEH
∵在四边形CEHF中，∠FHE=90°，∠FCE=60°，
∴∠CDB=∠CFH=∠CEH=
∴∠CAE=∠CBF=15°
∴∠BAH=∠ABH=60°-15°=45°
∵∠AND=180°-∠DAN-∠ADN
∴∠AND=180°-45°-75°=60°
∵∠CNH=180°-∠AND
∴∠CNH=180°-60°=120°
∵CE=CF，∠ECF=60°
∴CEF为等边三角形
∴EF=FC=EC
∵FHGE，GH=HE
∴FG=FE
又∵∠FEH=45°
∴EFG为等腰直角三角形
∴∠GFE=90°
∵∠AFG=30°
∴∠FCG=∠FGC=15°
∴∠CGN=∠NCG=30°
∴NC=NG
∵NE+NC=NE+GN=EG=2
∴FH=1
故答案：A.
【分析】连接EF，在AH上取点G使GH=HE，连接GF，易得△CEA≌△CFB(SAS)，由此可得∠CFH=∠CEH=105°，∠ABH=45°，∠AND=60°，同时由等腰三角形"三线合一"得∠EFG=90°，得NC=NG，NE+NC=EG=2，即可得FH=1.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，
结论（2）正确，符合题意；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
结论（1）正确，符合题意；
过点作于，作于，连接，如图：
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
∴结论（3）正确，符合题意；
又，OM=ON=OD=m，
，
结论（4）错误，不符合题意；
故正确的结论有3个，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可得到结论．
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：平分，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
在和中，
，
，
，
，故②正确；
，
，
设交于O，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质得到，然后根据“”得到和全等判断①，得到，然后得到和全等，即可得到判断②；根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理得到 ∠BDC=∠BAC 判断③；再根据全等三角形对应角相等可得，得到判断④解答即可．
4．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；等边三角形的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC．
如图，当DE取最小值时，AE⊥BC，此时A，D，E三点共线，且DE为点E到BC的距离．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE．
又∵DE的最小值为1，
∴AD=DE=1，AB=AC=AE=AD+DE=2．
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，即，
∵点D为BC中点，
∴BC=2BD=.
故答案为：B.
【分析】先根据等腰三角形三线合一，得出AD⊥BC；再分析DE取最小值的条件，即AE⊥BC，此时A，D，E共线，结合等边三角形性质得到AB=AE=2；最后在Rt△ABD中用勾股定理求出BD=，从而得到BC=.
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF，
∴①正确；
∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠FAD=30°，
∵DE⊥AB，∠EAD=30°
∴
同理：
∴DE+DF =AD，
∴②正确；
∵ED=DF
∴若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接BD、DC，
∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BEDRt△CFD(HL)，
∴BE=FC
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF，
∵Rt△AED中，，Rt△AFD中，，
∴
∴
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选：D.
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知，，从而可证明②正确；若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，可得③错误；连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，AB+AC=AE+AF=3AD，从而证明④.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设A(m，)，B(n，)，则C(n，)
BC=，AC=n-m，于是
∵∠BCH+∠ACH=90°，∠BCH+∠ABC=90°
∴∠ACH=∠ABC
∴△BCH~△CAH
∴
故答案为：B .
【分析】分别设A、B的坐标，可得点C的坐标，表示AC和BC的长度，由此得，再由相似△BCH~△CAH可得其面积比.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设AB=a，AC=b，BC=c．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴a2+b2=c2．
以AB为直径的半圆面积，
以AC为直径的半圆面积，
以BC为直径的半圆面积，
△ABC的面积，正方形面积S3=c2．
由面积割补可得S1+S2=SAB+SAC+2S△ABC-SBC，代入得．
∵a2+b2=c2，
∴，
∴S1+S2=ab．
∵4(S1+S2)=S3，
∴4ab=c2．
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=4ab，即a2-4ab+b2=0．
结合选项验证：若AB=AC，则a=b，此时c2=2a2，4ab=4a2=2c2，满足题设面积关系．
故答案为：A.
【分析】 先由勾股定理得到三边平方关系，再用半圆与直角三角形面积公式表示各部分面积，通过割补法得出S1+S2=ab；再将4(S1+S2)=S3 转化为等式 4ab=c2，与勾股定理联立，最后验证选项得出 AB=AC成立。
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；线段的中点；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 连接，
在中， ， ， ，
，
点为的中点，
，
分别是、边上的点， 且，
，
点在以点为圆心，半径为的圆弧上运动，
且当点三点共线时，最小，
，
故答案为：B.
【分析】连接，先根据中点求出BD和BE长，然后根据勾股定理求出DE长，再根据三角形斜边上中线的性质求出BE长，最后根据三角形三边关系求出最小值解答即可．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的判定；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵边上的中线，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故选：C．
【分析】过点作于点，根据题意得到，即可得到，再根据等角对等边得到AE=AD，利用勾股定理求出，然后根据三角形的面积求出AF长，再根据勾股定理求出DF长解答即可．
10．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；一次函数中的动态几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：依题意k=-2，m=-10，画图如下
令y1=0得2x-10=0
解得x=5
∴A(5，0)
∵ 2≤t≤9
∴由图象的对称性可知当直线MN位于点A右侧，且t=9时，线段MN有最大值
此时M(9，8)，N(9，-8)
∴MN的最大值为8-(-8)=16
故答案为：C
【分析】首先根据题意判断参数k，m的值，再求出两直线的交点A的坐标，根据图象的对称性找到线段MN何时取最大值即可。
11．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：乙车前6秒行驶的路程为88×6=48(米)，
∴①正确，符合题意；
在0到6秒内甲车的速度每秒增加 (米)，
∴②正确，符合题意；
当两车速度相等时所用时间为 (秒)，此时乙车行驶了 (米)，
∴③正确，符合题意；
由③知，第 秒时两车速度相等，根据图象，在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，
∴④正确，符合题意.
综上， ①②③④正确.
故选： A.
【分析】①根据路程=速度×时间计算即可；②根据速度的增加量÷所用时间列式计算即可；③求出两车速度相等时所用时间，再由路程=速度×时间求出乙车行驶的路程即可；④根据两车速度相等时所用时间和图象判断即可.
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点H，
∵，，
∴；
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点A作，交的延长线于点H，根据AAS得到，即可得到，则；然后推理得到，即可得到，然后根据线段的和差解答即可．
13．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴AD=DE，
又∵ ∠A=90°， AB=8， BC=10，
∴，
又∵，即，
解得，
∴CD=AC-AD=6-，
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质定理得到AD=DE，然后根据勾股定理求出AC长，再根据三角形的面积等积变形求出AD长解答即可.
14．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】 解：由折叠知∠ACD=∠ECD=x°，
∠ACF=∠ACD+∠ECD=2x°
∠BFC=∠A+∠ACF
∠BFC=∠A+2x°
由函数图象知当x=0时，y=30，即∠A=30°，故A、B错误；
当∠A=∠ACF时，即2x=30，即x=15，△ACF为等腰三角形；
若∠AFC=∠ACF，即180-y=2x，即180-(30+2x)=2x，x=37.5，
即当x=15或37.5时，△ACF为等腰三角形，故C错误；
当点D为AB的中点时，DA=DC即∠ACD=∠A=30°，x=30，此时y=90，故D正确；
故答案：D.
【分析】由折叠的性质和外角的性质知y=30+2x，再依次判断各选项的正误即可得结果.
15．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，过点D作DE⊥BC于点E，
∵D为AB的中点
∴CD=BD==
设DE=m，则，PE=
∵DC=CB，DE⊥BC
∴CE=BE
∴PC·PB=(CE-PE)(BE+PE)=()()=3-m2-(1-m2)=2.
故选：B.
【分析】连接CD，过点D作DE⊥BC于点E，由直角三角形的性质知CD=BD=，设DE=m，可得BE和PE的长，由此可得PC·PB的值.
16．【答案】4；
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由函数的对称性知a=；
结合函数图象与几何图形，如图，当x=3时，点P至点D，此时AD=3 ；
当x=4时，点P至点E，此时CE⊥AB，
在Rt△CDE中，CE=
∵∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠BCE=90°
∴∠BCE=∠A
∴△ACE~△CBE
∴
∴，即有，得BE=
∴AB=AE+BE=4+=
∴
故答案：4，.
【分析】由函数图象知a的值，结合函数图象与几何图形，可得AE、DE的长，由△ACE~△CBE可得AE的长，即可得AB的长，即可求出△ABC的面积.
17．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，
∴令，解得；令，解得；
当时，则，
∴当时，有且，
因此当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵当时，始终满足，
∴，解得，故成立；
当时，同理可得，
由得，成立；
故当时，对于所有，始终满足；
当时，，不满足；
当时，当，有，不满足条件；
综上所述：的取值范围为；
故答案为：．
【分析】解方程和可得b=-6，然后分为，，三种情况，根据函数的增减性解答即可．
18．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等边三角形的性质；线段最值问题
【解析】【解答】解：取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，
∵∠BCA=45°
∴CM=BM=
∵∠CAB=180°-∠BCA-∠ABC
∴∠CAB=180°-105°-45°=30°
∴AB=2BM=，AM=
∴AC=AM+CM=+
∵△ADE为等边三角形，I为DE的中点
∴AI⊥DE，AI平分∠DAE
∴∠DAH=30°
∴∠H=180°-∠BCA-∠CAH=180°-45°-30°-30°=75°
∵∠ABH=180°-∠ABC=180°-105°=75°
∴∠ABH=∠AHB
∴AH=AB=
点G在AH上运动，当CG⊥AH时，CG取最小值，
作HN⊥AC于点N，HN=
∵，即有
∴CG=，即CG的最小值为.
故答案为： .
【分析】取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，∠GAB=30°知点G在AH上运动，当CG⊥AH时取最小值，求出相应的线段长，根据等面积法知其最小值.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：直线y=kx﹣2k﹣1与直线y=4x﹣3相交于点E（a，a），
∴a=4a﹣3，
解得：a=1，
∴点E的坐标为（1，1），
将点E（1，1）代入y=kx﹣2k﹣1，得：1=k﹣2k﹣1，
解得：k=﹣2，
∴直线y=kx﹣2k﹣1的表达式为：y=﹣2x+3，
对于y=﹣2x+3，当x=0时，y=3，
∴直线y=kx﹣2k﹣1与y轴的交点A的坐标为（0，3），
∴AE==，
∵将△AEF沿EF翻折后，点A的对应点恰好落在x轴的负半轴上，如图所示：
∴设点A的对应点H的坐标为（m，0），其中m＜0，
∴EH==，
由翻折性质得：EH=EA，FH=FA，
∴，
整理得：（1﹣m）2=4，
∴1﹣m=2或1﹣m=﹣2，
由1﹣m=2，解得：m=﹣1，
由1﹣m=﹣2，解得：m=3（不合题意，舍去），
当m=﹣1时，点H的坐标为（﹣1，0），
∵点F是y轴上的动点，
∴设点F的坐标为（0，t），
∴FA=|3﹣t|，FH==|3﹣t|，
∴，
解得：t=，
∴点F的坐标为．
故答案为：．
【分析】将点E（a，a）代入y=4x﹣3得a=1，进而得点E（1，1），再求出k=﹣2得A（0，3），由此得AE=，设点A的对应点H的坐标为（m，0），其中m＜0，则EH=，由翻折性质得EH=EA，FH=FA，则，由此解出m=﹣1得点H（﹣1，0），设点F（0，t），则FA=|3﹣t|，FH=，由此得，由此解出t=，继而可得点F的坐标．
20．【答案】6
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AC，且BF=BC=4，如图所示，
∵BF∥AC
∴∠FBE=∠BCD
又∵BE=CD，BF=BC
∴△BEF≌△CDB(SAS)
∴EF=BD
∴AE+BD=AE+EF
当A、E、F三点共线时，取最小值
过点F作FH⊥AB于点H
∵∠HBF=∠BAC=45°
∴FH=BH=2
∴
故答案：6.
【分析】过点B作BF||AC，且BF=BC=4，可证△BEF≌△CDB(SAS)，AE+BD=AE+EF，当A、E、F三点共线时取最小值，作F作FH⊥AB于点H，求出FH的长，即可得面积.
21．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵点和点关于直线对称，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴设，则
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BF，由轴对称的性质及已知得出DA=DB=DF，由等边对等角得出∠DBF=∠DFB，∠A=∠DFA，然后根据三角形内角和定理推出∠AFB=90°，即BF⊥AC；设，则，设，在Rt△ABF与Rt△BCF中，分别根据勾股定理表示出BF2，由等量代换即可建立出方程，求解，即可求解．
22．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接，，，
∵是的中点，
∴，
又∵
∴
∴，
∵垂直平分，
∴，，BF=CF=GF，
∴，是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，
∵
∴
故答案为：．
【分析】延长ED至点H，使得DH=ED，连接HC、GB、GC；首先利用“SAS”证△ADE≌△CDH，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得CH=AE=2，∠DHC=∠AED=90°，由垂直平分线的性质得GB=GC，BF=CF，∠GFB=∠GFC=90°，结合已知得出BF=FG=FC，则△BFG与△GFC都是等腰直角三角形，从而可求出∠BGC=90°，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠EGB=∠HCG，从而利用“AAS”判断出△EBG≌△HGC，由全等三角形的对应边相等得BE=GH=5，EG=HC=2，然后求出DE=DH=，最后根据GD=ED-EG可得答案.
23．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意得：B（13，2400），D（23，0），F（25，0），E（0，2400）
设直线BD，EF的关系式分别为，
把B（13，2400），D（23，0），F（25，0），E（0，2400）代入相应的关系式得：
，
解得：，
∴直线BD、EF的关系式分别为，，
当时，即：，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据题意可求出B（13，2400），D（23，0），F（25，0），E（0，2400），设直线BD，EF的关系式分别为，，根据待定系数法将点B，D，E，F坐标代入直线关系式可得直线BD、EF的关系式分别为，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）（0，-2）
（2）
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，由题意得：，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点位于轴的负半轴上，
∴直线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
（2）对于函数，
要使得y为整数，则x为偶数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴线段上共有5个整数点：，，，，，
∵，
∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为，
则有以下两个临界位置：
①当点的坐标为，点的坐标为时，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，即，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
②当点的坐标为，点的坐标为时，
同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
∵，
∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）根据ASA得到，即可得到，即可得到点Q的坐标；
（2）先求出线段上的整数坐标，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，求出直线MD，NE的解析式，再求出直线与x轴交点的坐标即可．
25．【答案】-1＜k＜0
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：由y=-∣x∣，得
，图象是顶点在原点，开口向下的“V”形．
一次函数y=kx+k=k(x+1)，恒过定点(-1，0)．
当x≥0时，联立k(x+1)=-x，得，即-1当x<0时，联立k(x+1)=x，得，即k<0或k>1．
∵ 一次函数y=kx+k与函数y=-|x|的图象恰好有两个交，
∴取交集，并排除k=0，即-1故答案为：-1＜k＜0.
【分析】先把y=-∣x∣拆成左右两段直线，分别联立一次函数方程；再根据交点所在区间（x≥0和x<0）列出不等式，求出每段有交点的k范围；最后取两段都有一个交点的公共范围，排除边界情况，得到-126．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：连接BG、CG，过点C作CH⊥DE于点H，如图所示，
∵GF垂直平分BC，且GF=BC
∴BG=CG，∠BGC=90°
∴∠BGE+∠CGH=90°
又∵∠BGE+∠GBE=90°
∴∠GBE=∠CGH
∵∠BEG=∠CHG
∴△BEG≌△GHC(AAS)
∴GH=BE=5
∵D为AC的中点
∴DA=DC
又∵∠AED=∠CHD，∠ADE=∠CDH
∴△ADE≌△CDH(AAS)
∴CH=AE=2，DE=DH
设DG=x，则DH=5x，于是2+x=5-x，解得x=
故答案为： .
【分析】连接BG、CG，过点C作CH⊥DE于点H，由GF垂直平分BC，且GF=BC知BGC为等腰直角三角形，由此得△BEG≌△GHC，同时△ADE≌△CDH，由全等的性质，设DG=x，得2+x=5-x，求解方程即可.
27．【答案】55
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设充电宝充电功率为P1（瓦），输出功率为P2（瓦）．
0~10分钟：仅充电，电量从0到3n，
∴10P1=3n，即；
10~30分钟：充电同时对外放电，电量从3n到5n，时长20分钟，
∴20(P1-P2)=5n-3n=2n，代入，得，解得；
30分钟后：停止充电，仅对外放电，初始电量5n，放电时间分钟，
∴总测试时间为30+25=55分钟．
故答案为：55.
【分析】先根据0~10分钟的充电数据，求出充电功率；再根据10~30分钟“充电+放电”的净增电量，求出输出功率；最后用总电量5n除以输出功率P2，得到放电时间25分钟，加上之前的30分钟，总测试时间为55分钟．
28．【答案】或或
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；不等式组和一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象恒过定点，
∴，即，
∴函数解析式为．
∵点与在函数图象上，
∴，，
由，得，
即，
∴．
∵，
∴，
∴．
即或，
解得或．
又，
∴k的取值范围为或或．
故答案为：或或．
【分析】把代入得，即可得到函数解析式位．然后求出点P和Q的纵坐标，根据，得到，结合，解不等式求出k的取值范围即可．
29．【答案】5
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下：
即可以画5个．
故答案为：5．
【分析】根据轴对称图形作出符合条件的三角形解答即可．
30．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由正方形的性质得AH=CF，∠AHM=∠CFN=90°，∠BAE=∠DCG，∠BAC=∠ACD=45°，AC=BC
∵∠BAC-∠BAE=∠ACD-∠DCG，即∠HAM=∠FCN，
在△HAM和△FCN中，
∴△HAM≌△FCN(ASA)，
∴AM=CN，
∵AC=AM+MN+CN=6，MN=2，
∴AM=MN=CN=2，BC=
∵∠ANE=∠CNF，∠AEN=∠CFN，
∴△ANE~△CNF，
∴
设CF=a，则BF=AE=2a，
∵CF2+BF2=BC2，
即a2+(2a)2=，
解得a=(负值舍去)
∴NF=
∴BN=BF-NF=
故答案为：
【分析】由正方形的性质结合ASA判定证明△HAM≌△FCN，进而可求出AM，CN，BC，易证△ANE~△CNF并得到相似比，设参数表示相关线段的长度，利用勾股定理建立方程求解，从而可求出BN的长度。
31．【答案】AB +2BD =BC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，
∵BE平分∠GBC，ED⊥BC，
∴EG=ED，∠BHE=∠BDE=∠BDC=90°，
又∵EB=EB，
∴Rt△BEH≌Rt△BED，
∴BH=BD，
又∵BF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴Rt△AEH≌Rt△CED，
∴CD=AH，
∴BC=BD+CD=BD+AB+BE=AB+2BD，
故答案为：AB +2BD =BC.
【分析】过点E作EH⊥AG于点G。连接AE，EC，先根据角平分线的性质得到EG=ED，然后根据HL得到Rt△BEH≌Rt△BED，即可得到BH=BD，再根据垂直平分线的性质得到AE=CE，即可证明Rt△AEH≌Rt△CED，进而得到CD=AH，然后根据线段的和差解答即可.
32．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接．
设，
∵，∴．
由折叠性质可知，
又，
∴．
∴，．
∵，
∴，即，
∴，即是直角三角形．
设，则．
在中，由勾股定理得．
在中，由勾股定理得．
∴，
解得，即，．
∴．
故答案为：．
【分析】连接，设，即可得到，然后根据折叠可得，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，然后根据勾股定理求出CF长和AF长，求出比值解答即可.
33．【答案】
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵点A、C的坐标分别为(2，0)、(6，0)，
的面积
的面积
∴两个三角形的面积和为
∴两个三角形的面积和的一半为
设过D的直线把两个三角形的面积分为相等的两部分，该直线交x轴于E点，过D点作 于H点，如图，
解得
设直线DE的解析式为y=kx+b，
把 (，0)分别代入得
解得
∴直线DE的解析式为
故答案为：
【分析】先利用点A、C的坐标得到OA=2，AC=4，则根据等边三角形的面积公式得 的面积为 ， 的面积为 ，所以两个三角形的面积和的一半为 设过D的直线把两个三角形的面积分为相等的两部分，该直线交x轴于E点，过D点作 于H点，如图，根据等边三角形的性质得AH=CH=2，利用勾股定理得到. 则 根据三角形面积公式 求出AE得到 然后利用待定系数法求出直线DE的解析式即可.
34．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】 解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示，
∵AD=AC，AH⊥CD
∴DH=CH，∠CAD=2∠CAH
又∵∠CAD=2∠ACE
∴∠CAH=∠ACE
又∵AC=CA，∠AEC=∠AHC
∴△ACE≌△CAH(AAS)
∴CH=AE=1
∴DH=1
∴BC=BD+DH+CH=3+1+1=5
∵△ACE≌△CAH
∴∠CAE=∠ACH
∴BA=BC=5
∴BE=BA-AE=5-1=4
∴EC=
∴AC=
∴AD=
故答案：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由等腰三角形的性质知∠CAD=2∠CAH，结合条件得△ACE≌△CAH，由此得BC=5，BE=4，得EC=3，即可得AC的长，即AD的长.
35．【答案】4；6
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在BD上取点G，使EG=ED=3，连接AG，如图所示，
∵GF=EG-EF
∴GF=3-1=2
∵AE⊥DG，EG=ED
∴△ADG为等腰三角形且AG=AD
∴∠AGD=∠ADG=α
∴∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=α
∴∠BAC=∠DAG=180°-2α
∵AB=AC，AG=AD
∴△ABG≌△ACD(SAS)
∴∠ADC=∠AGB=180°-α，BG=CD
∴∠CDF=∠ADC-∠ADE=180°-α-α=180°-2α
∵AD||CF
∴∠CFD=∠ADF=α
∴∠DCF=180°-∠CDF-∠CFD=180°-α-(180°-2α)=α
∴∠DCF=∠CFD
∴CD=DF
∵DF=DE+EF=3+1=4
∴CD=4，BF=4
∴BE=BF+EF=4+2=6
故答案：4，6.
【分析】在BD上取点G，使EG=ED，由角度关系知∠BAG=∠CAD，得△ABG≌△ACD，得BG=CD，∠AGB=∠ADC，由此得∠DCF=∠DFC，即有DC=DF，由此可得DC和BF的长.
36．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长ED至H，使得DH=ED，连接HC， GB， GC，
∵D是AC的中点，
在 和 中，
∵GF垂直平分BC，
∴∠GFB=∠GFC=90°， GB=GC，
∴△GFB， △GFC是等腰直角三角形，
∴∠BGF=∠CGF=45°，
∴∠BGC=90°，
∴△GBC是等腰直角三角形，
又∵∠DHC =∠AED=90°，
∴∠EGB=90°-∠HGC =∠HCG，
在△EBG和△HGC中，
∴△EBG ≌△HGC(AAS)，
∴BE =GH =5， EG= HC=2，
故答案为：
【分析】先用长中线法证明 得出 ，进而得出证明 是等腰直角三角形， 得出BE=GH=5，EG=HC=2，进而根据线段的和差关系即可求解.
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