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人教版（2024）八年级上册 15.1 图形的轴对称 题型专练
【题型1】轴对称图形
【典型例题】2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭分离成功，进入预定轨道，发射取得圆满成功！下列是同学们设计的神州20号飞船简笔画，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，宋体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形，请再写出两个这样的汉字： ．
【举一反三3】众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是： ．（答案不唯一）
【举一反三4】（教材改编）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形 请你再找出几个类似的汉字.
【举一反三5】（教材改编）取一张长30 cm、宽6 cm的纸条，将它每3 cm 一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来(如图).在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去.拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边 在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系
【题型2】对称轴的条数
【典型例题】下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是(　　)
A.正方形 B.等腰三角形 C.长方形 D.圆
【举一反三2】请先找出正三边形、正四边形、正五边形等正多边形的对称轴的条数，再猜想正n边形对称轴的条数为 ．
【举一反三3】在“等腰三角形、正方形、圆”中，只有一条对称轴的图形是 ．
【举一反三4】试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？
根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴 条．
【题型3】画轴对称图形的对称轴
【典型例题】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（ ）

A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①②
【举一反三1】如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（ ）
A.①③⑤ B.②④⑥ C.①②④ D.②⑤⑥
【举一反三2】下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴，并进行填空.
思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴．
【举一反三4】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，在补全字母后，该单词所指的物品是________．
【举一反三5】画出下列轴对称图形的所有的对称轴．
【举一反三6】下面的图形是对轴对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗？
【题型4】轴对称图形中的对应元素
【典型例题】如图，四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，则∠BAC的对应角是（ ）．
A.∠DAC B.∠BAD C.∠ACB D.∠BCD
【举一反三1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B′是对应点，则AD依次是△ABC的（　　）
A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高
【举一反三2】如图，四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，线段AB的对应线段是（　　）
A.AD B.DC C.BC D.BC
【举一反三3】如图所示，
（1）四边形BCED是关于直线BE为对称轴的轴对称图形，则∠CBE的对应角是　 ，线段BC的对应线段是 ；
（2）△ABE是关于直线DE为对称轴的轴对称图形，则∠A的对应角是　 ，线段AD的对应线段是 .
【举一反三4】已知四边形OQPR和△PMN分别以直线OP为对称轴的轴对称图形，且OQ与MN，MP分别交于点E，Q，OR与MN，PN分别交于点F，R.填空：
（1）点M，E，R的对应点分别为点 ；
（2）线段OQ，MQ，PQ的对应线段分别为 ；
（3）∠M，∠OEF，∠MQE的对应角分别为 ．
【举一反三5】如图，五边形ABCDE是轴对称图形，直线l是对称轴.
（1）点B，点D的对应点分别是 .
（2）线段AB、OD的对应线段分别是 .
（3）∠BAO、∠E、∠AOD的对应角分别是 .
【举一反三6】（教材改编）在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点.
【题型5】成轴对称的两个图形
【典型例题】下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.能够完全重合的两个图形成轴对称
B.全等的两个图形成轴对称
C.形状一样的两个图形成轴对称
D.沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称
【举一反三2】下列图形中，点A与点B关于直线l对称的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有_______对．
【举一反三4】观察图中的各组图形，其中成轴对称的是 ．（请填写序号）
【举一反三5】想一想，一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车的车牌号码吗？
【举一反三6】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，这两个三角形全等吗？一般地，如果两个三角形全等，那么它们一定关于某条直线对称吗？
【题型6】成轴对称图形中的对应元素
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.成轴对称的两个图形中所有对称点分别在对称轴的两侧
B.成轴对称的两个图形中对称点可能重合
C.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴的同一侧
D.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴上
【举一反三1】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，点A的对称点是 （　　）
A.点C B.点F C.点E D.点D
【举一反三2】如图.
（1）△ADE与△AFE关于直线AE成轴对称，线段EF，AF的对应线段分别为 ，∠1的对应角为 ；
（2）△BEF与△BEC关于直线BE成轴对称，线段EF，BC的对应线段分别为 ，∠C的对应角为 ，∠3的对应角为 .
【举一反三3】如图，△ABC和△AC′C关于直线AC成轴对称.
（1）点A的对应点为 ，点C′的对应点为 ；
（2）线段AB的对应线段为 ，线段C′C的对应线段为 ；
（3）∠ABC的对应角为 ，∠ACC′的对应角为 .
【举一反三4】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上．
指出两个三角形中的对称点.
【举一反三5】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l成轴对称．请指出其中的对称点．
【题型7】轴对称图形的性质
【典型例题】如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，下列判断错误的是(　　)
A.AM＝BM B.AP＝BN C.∠MAP＝∠MBP D.∠ANM＝∠BNM
【举一反三2】如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不一定正确的是
A.AC=A'C' B.BO=B'O C.AA'⊥MN D.AB∥B'C'
【举一反三3】如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD=3，AD=5，则图中阴影部分的面积是　　　　.
如图与△ADE关于直线对称，与的交点F在直线上，若，.
(1)求的长度；
(2)求的度数．
【题型8】成轴对称图形的性质
【典型例题】下列说法不正确的是（ ）
A.两个关于某直线对称的图形一定全等
B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C.两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
【举一反三1】下列说法正确的是(　　)
A.任何一个图形都有对称轴
B.两个全等三角形一定关于某直线对称
C.若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC≌△DEF
D.点A、点B在直线L两旁，且AB与直线L交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线L对称
【举一反三2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝65°，∠C′＝38°，则∠B的度数为（　　）
A.77° B.38° C.74° D.68°
【举一反三3】将矩形ABCD沿AE折叠，如图所示，若∠CED'＝56°，则∠AED的度数是　　　　.
【举一反三4】已知△AOB的顶点O在直线l上，△AOB与△COD关于直线l成轴对称，且点A的对称点为点C，那么AC与BD的位置关系是 .
【举一反三5】如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点D的对应点是点　　　　，∠E的对应角是　　　　；
(2)若CF＝3，DF＝2，则DE的长为　　　　；
(3)若∠DAE＝108°，∠EAF＝39°，求∠DAC的度数.
【举一反三6】如图，在中，，点，分别在边，上，且点，关于直线对称，连接．若，，且的周长为24．求的周长．
【题型9】线段垂直平分线的性质
【典型例题】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为
A.40 B.20 C.15 D.10
【举一反三2】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点(A，P，A'不共线)，下列结论中，错误的是
A.△AA'P是等腰三角形 B.MN垂直平分AA'，CC' C.△ABC与△A'B'C'面积相等 D.直线AB，A'B'的交点不一定在直线MN上
【举一反三3】如图，中，垂直平分边，若，，则的周长为 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD、AO、AE、BO、CO，△ADE的周长为6，△OBC的周长为16，求AO的长．
【题型10】线段垂直平分线的判定
【典型例题】如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（ ）
A.20 B.23 C.26 D.29
【举一反三1】如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＝AF；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是(　　)
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
【举一反三3】如图，在 中，，．则AD与BC的关系是 .
【举一反三4】在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．

求证：(1)；
(2)垂直平分．
【举一反三5】如图，在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC.求证：点O在BC的垂直平分线上.
【题型11】线段垂直平分线性质与判定的综合
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　)
A.4 B.5 C.2 D.6
【举一反三1】下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N，以下说法不正确的是(　　)
A.∠P=60° B.∠EAF=∠B+∠C C.PE=PF D.点P到点B和点C的距离相等
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=6，AC=12，BC=6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为　　.
【举一反三4】（教材改编）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
【题型12】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定
【典型例题】如图，数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于AD的长度为半径画弧，交于点P和点Q，连接PQ，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是
A.4 B.5 C.2 D.3
【举一反三1】如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
【举一反三3】如图，已知，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长是 ．
【举一反三4】）阅读下列材料，并完成相应的任务．
（1）根据小明的作图方法，如图①，请你证明小明的结论；
（2）如图②，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠BAC＝∠DAC，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．
【题型13】作垂线
【典型例题】下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段，小明的作图顺序是（　　）

A.⑤①③②④ B.⑤④③②① C.⑤③②①④ D.⑤①④③②
【举一反三2】如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 ．（填序号）
①为直线的垂线；②；③；④．
【举一反三3】如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝60°，BC【举一反三5】如图，已知，求作：边上的高.
【题型14】作线段垂直平分线与角平分线
【典型例题】已知△ABC(ACA. B. C. D.
【举一反三1】综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地的道路上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置．下列方案能满足项目要求的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是
A.20° B.30° C.40° D.50°
【举一反三3】如图，在中作出和，其中．
(1)请你根据作图的痕迹，写出结论：是的__________；
(2)请你根据作图的痕迹，写出结论：是边的__________；
【举一反三4】如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是　　　　　.(填序号)
①PQ为直线l的垂线；②CA＝CB；③PO＝QO；④∠APO＝∠BPO.
【举一反三5】如图，已知△ABC，点P为BC上一点.
(1)尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于点E，交直线AB于点F；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接PE，AP，AP交EF于点O，若OF＝OE，请在(1)的基础上说明∠FAO＝∠EPO.
【题型15】原命题、逆命题与互逆命题
【典型例题】对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个逆命题是假命题的是（ ）
A.a＝3，b＝2 B.a＝－1，b＝－2 C.a＝3，b＝－1 D.a＝1，b＝0
【举一反三1】下列命题中：①等边三角形的每一个角都等于60°；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④直角三角形的两锐角互余.它们的逆命题是真命题的个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三2】下列命题的逆命题成立的是（　　）
A.对顶角相等
B.等边三角形是锐角三角形
C.正方形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
【举一反三3】请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【举一反三4】已知命题：“等角的补角相等．”写出它的逆命题： ．
【举一反三5】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
【题型16】互逆定理
【典型例题】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
B.不是等腰三角形的两个角不相等．
C.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
D.有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【举一反三1】下列说法正确的有（ ）
①所有定理都是真命题 ②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A.两直线平行，同旁内角互补
B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C.等腰三角形两个底角相等
D.同角的余角相等
【举一反三3】两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ．
【举一反三4】（原创）写出线段垂直平分线的性质定理和判定定理，它们是互逆定理吗？
人教版（2024）八年级上册 15.1 图形的轴对称 题型专练（参考答案）
【题型1】轴对称图形
【典型例题】2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭分离成功，进入预定轨道，发射取得圆满成功！下列是同学们设计的神州20号飞船简笔画，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，故B符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
【举一反三1】下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【举一反三2】汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，宋体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形，请再写出两个这样的汉字： ．
【答案】甲、由（答案不唯一）
【解析】解：轴对称图形的汉字，如甲、由（答案不唯一）．
【举一反三3】众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是： ．（答案不唯一）
【答案】线段，矩形，圆等
【解析】解：根据轴对称图形的概念，关键在于一个平面图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【举一反三4】（教材改编）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形 请你再找出几个类似的汉字.
【答案】解：“草、木、中”都可以看成是轴对称图形，
类似的还有：口，晶，天，平，申，吉，由，出等都可以看成是轴对称图形．
【举一反三5】（教材改编）取一张长30 cm、宽6 cm的纸条，将它每3 cm 一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来(如图).在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去.拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边 在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系
【答案】解：由题意可知，会得到一条以“小花”为基本图案的花边，在这条花边中，相邻的“小花”之间成轴对称．
【题型2】对称轴的条数
【典型例题】下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A，对称轴有3条，本选项不符合题意；
B，对称轴有4条，本选项符合题意；
C，对称轴有2条，本选项不符合题意；
D，对称轴有6条，本选项不符合题意．
【举一反三1】下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是(　　)
A.正方形 B.等腰三角形 C.长方形 D.圆
【答案】C
【解析】A选项中，正方形有四条对称轴；
B选项中，不是等边三角形的等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴；
C选项中，长方形有两条对称轴；
D选项中，圆有无数条对称轴.
【举一反三2】请先找出正三边形、正四边形、正五边形等正多边形的对称轴的条数，再猜想正n边形对称轴的条数为 ．
【答案】n
【解析】解：正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，……，以此类推，正n边形有n条对称轴．
【举一反三3】在“等腰三角形、正方形、圆”中，只有一条对称轴的图形是 ．
【答案】等腰三角形
【解析】解：根据轴对称图形的定义可知等腰三角形有1条对称轴、正方形有4条对称轴、圆有无数条对称轴，所以只有一条对称轴的图形是等腰三角形.
【举一反三4】试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？
根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴 条．
【答案】解：如图所示：
根据上表，可以猜想得到：一个正n边形有对称轴n条．
【题型3】画轴对称图形的对称轴
【典型例题】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（ ）

A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①②
【答案】A
【解析】解：①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴．
【举一反三1】如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（ ）
A.①③⑤ B.②④⑥ C.①②④ D.②⑤⑥
【答案】B
【解析】解：由图可得，图形的对称轴是②④⑥．
【举一反三2】下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A，该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意；
B，该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C，该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意；
D，该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意．
【举一反三3】下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴，并进行填空.
思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴．
【答案】3；4；5；6；n
【解析】解：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可得只有第一个图形不是轴对称图形；作出各图形的对称轴，归纳规律即可．
【举一反三4】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，在补全字母后，该单词所指的物品是________．
【答案】书
【解析】解：如图所示，
这个单词所指的物品是书．
【举一反三5】画出下列轴对称图形的所有的对称轴．
【答案】解：如图．
【举一反三6】下面的图形是对轴对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗？
【答案】解：第一个与第三个图形是轴对称图形，对称轴如图所示：
【题型4】轴对称图形中的对应元素
【典型例题】如图，四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，则∠BAC的对应角是（ ）．
A.∠DAC B.∠BAD C.∠ACB D.∠BCD
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，
∴∠BAC与∠DAC互为对应角．
【举一反三1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B′是对应点，则AD依次是△ABC的（　　）
A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高
【答案】B
【解析】解：观察图形可知，AD依次是△ABC的高、角平分线、中线．
【举一反三2】如图，四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，线段AB的对应线段是（　　）
A.AD B.DC C.BC D.BC
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，
∴AD与DC，AP与CP，AB与BC，分别互为对应线段．
【举一反三3】如图所示，
（1）四边形BCED是关于直线BE为对称轴的轴对称图形，则∠CBE的对应角是　 ，线段BC的对应线段是 ；
（2）△ABE是关于直线DE为对称轴的轴对称图形，则∠A的对应角是　 ，线段AD的对应线段是 .
【答案】解：（1）四边形BCED是关于直线BE为对称轴的轴对称图形，则∠CBE的对应角是∠DBE，线段BC的对应线段是线段BD.
（2）△ABE是关于直线DE为对称轴的轴对称图形，则∠A的对应角是∠DBE，线段AD的对应线段是线段BD.
【举一反三4】已知四边形OQPR和△PMN分别以直线OP为对称轴的轴对称图形，且OQ与MN，MP分别交于点E，Q，OR与MN，PN分别交于点F，R.填空：
（1）点M，E，R的对应点分别为点 ；
（2）线段OQ，MQ，PQ的对应线段分别为 ；
（3）∠M，∠OEF，∠MQE的对应角分别为 ．
【答案】解：∵四边形OQPR和△PMN分别是以直线OP为对称轴的轴对称图形，
∴对轴轴OP两边的图形完全重合．
（1）点M，E，R的对应点分别为点N，F，Q．
（2）线段OQ，MQ，PQ的对应线段分别为线段OR，NR，PR．
（3）∠M，∠OEF，∠MQE的对应角分别为∠N，∠OFE，∠NRF．
【举一反三5】如图，五边形ABCDE是轴对称图形，直线l是对称轴.
（1）点B，点D的对应点分别是 .
（2）线段AB、OD的对应线段分别是 .
（3）∠BAO、∠E、∠AOD的对应角分别是 .
【答案】解：
（1）点B，点D的对应点分别是点E，点C.
（2）线段AB、OD的对应线段分别是线段AE、OC.
（3）∠BAO、∠E、∠AOD的对应角分别是∠EAO、∠B、∠AOC.
【举一反三6】（教材改编）在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点.
【答案】解：
有四个图形是轴对称图形，它们两组对应点分别是点A和点A′，点B和点B′.
【题型5】成轴对称的两个图形
【典型例题】下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A，两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意；
B，两个图形成轴对称，故该选项符合题意；
C，两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意；
D，两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意．
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.能够完全重合的两个图形成轴对称
B.全等的两个图形成轴对称
C.形状一样的两个图形成轴对称
D.沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称
【答案】D
【解析】解：A．能够完全重合的两个图形叫做全等形，故此选项错误；B．C．如下图可知，
此两个选项错误；D．沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称，此选项正确；故选D．
【举一反三2】下列图形中，点A与点B关于直线l对称的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：点A与点B关于直线l对称的是A选项图形．
故选：A．
【举一反三3】如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有_______对．
【答案】4
【解析】解：关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，则有△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．
【举一反三4】观察图中的各组图形，其中成轴对称的是 ．（请填写序号）
【答案】解：观察所给图形可知③④不成轴对称，成轴对称的为①②．
【举一反三5】想一想，一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车的车牌号码吗？
【答案】解　MT7936.
【举一反三6】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，这两个三角形全等吗？一般地，如果两个三角形全等，那么它们一定关于某条直线对称吗？
【答案】解：△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，这两个三角形全等；如果两个三角形全等，那么它们不一定关于某条直线对称．
【题型6】成轴对称图形中的对应元素
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.成轴对称的两个图形中所有对称点分别在对称轴的两侧
B.成轴对称的两个图形中对称点可能重合
C.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴的同一侧
D.成轴对称的两个图形中所有对称点在对称轴上
【答案】B
【解析】解：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称．折叠后重合的点叫做对称点．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，对称点分别是A→A，B→D，C→E，可以发现选项A，C，D均不对，故选B.
【举一反三1】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，点A的对称点是 （　　）
A.点C B.点F C.点E D.点D
【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△DEF关于直线l对称，
∴点A的对称点是点D．
故选：D．
【举一反三2】如图.
（1）△ADE与△AFE关于直线AE成轴对称，线段EF，AF的对应线段分别为 ，∠1的对应角为 ；
（2）△BEF与△BEC关于直线BE成轴对称，线段EF，BC的对应线段分别为 ，∠C的对应角为 ，∠3的对应角为 .
【答案】解：
（1）△ADE与△AFE关于直线AE成轴对称，线段EF，AF的对应线段分别为ED，AD，∠1的对应角为∠2.
（2）△BEF与△BEC关于直线BE成轴对称，线段EF，BC的对应线段分别为EC，BF，∠C的对应角为∠BFE，∠3的对应角为∠4.
【举一反三3】如图，△ABC和△AC′C关于直线AC成轴对称.
（1）点A的对应点为 ，点C′的对应点为 ；
（2）线段AB的对应线段为 ，线段C′C的对应线段为 ；
（3）∠ABC的对应角为 ，∠ACC′的对应角为 .
【答案】解：（1）点A的对应点为点A，点C′的对应点为点B.
（2）线段AB的对应线段为AC′，线段C′C的对应线段为BC.
（3）∠ABC的对应角为∠C′，∠ACC′的对应角为∠ACB.
【举一反三4】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上．
指出两个三角形中的对称点.
【答案】解：A→A，B→D，C→E.
【举一反三5】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l成轴对称．请指出其中的对称点．
【答案】解：A和A′，B和B′，C和C′.
【题型7】轴对称图形的性质
【典型例题】如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，
，，
，
，
．
【举一反三1】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，下列判断错误的是(　　)
A.AM＝BM B.AP＝BN C.∠MAP＝∠MBP D.∠ANM＝∠BNM
【答案】B
【解析】∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AP＝BP，AM＝BM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∵点N是直线MN上的点，
∴∠ANM＝∠BNM，
∴A，C，D正确，B错误.
【举一反三2】如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不一定正确的是
A.AC=A'C' B.BO=B'O C.AA'⊥MN D.AB∥B'C'
【答案】D
【解析】因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，所以AC=A'C'，AA'⊥MN，BO=B'O，故A，B，C选项正确；
AB∥B'C'不一定成立，故D选项错误，所以不一定正确的是D.
【举一反三3】如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD=3，AD=5，则图中阴影部分的面积是　　　　.
【答案】
【解析】∵△ABC关于直线AD对称，
∴B，C是关于直线AD的对称点，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，CD=BD=3，
∴S△BEF=S△CEF，BC=6，
∵△ABC的面积是×BC×AD=×6×5=15，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC=.
如图与△ADE关于直线对称，与的交点F在直线上，若，.
(1)求的长度；
(2)求的度数．
【答案】
解 (1)∵△ABC与△ADE关于直线对称，，
∴，
∴.
(2)∵△ABC与△ADE关于直线对称，，
∴，
∴．
【题型8】成轴对称图形的性质
【典型例题】下列说法不正确的是（ ）
A.两个关于某直线对称的图形一定全等
B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C.两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
【答案】B
【解析】解：A．两个关于某直线对称的图形一定全等，本选项正确，故不符合题意；
B．对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，如可能在对称轴上，故本选项错误，符合题意；
C．两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，本选项正确，故不符合题意；
D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，本选项正确，故不符合题意．故选B．
【举一反三1】下列说法正确的是(　　)
A.任何一个图形都有对称轴
B.两个全等三角形一定关于某直线对称
C.若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC≌△DEF
D.点A、点B在直线L两旁，且AB与直线L交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线L对称
【答案】C
【解析】A项，有的图形没有对称轴，该选项错误；
B项，由于位置关系不明确，如图，该选项错误；
C项，若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC≌△DEF，该选项正确；
D项，因为线段AB与直线L不一定垂直，所以不能正确判定，该选项错误.
【举一反三2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝65°，∠C′＝38°，则∠B的度数为（　　）
A.77° B.38° C.74° D.68°
【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝38°，
在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣38°＝77°．
故选：A．
【举一反三3】将矩形ABCD沿AE折叠，如图所示，若∠CED'＝56°，则∠AED的度数是　　　　.
【答案】62°
【解析】∠AED＝(180°－56°)÷2＝62°.
【举一反三4】已知△AOB的顶点O在直线l上，△AOB与△COD关于直线l成轴对称，且点A的对称点为点C，那么AC与BD的位置关系是 .
【答案】平行
【解析】解：如果两个图形关于某直线对称，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.所以AC与BD都被直线l垂直平分，所以AC与BD的位置关系是平行.也可以通过图形来进行说明.
【举一反三5】如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点D的对应点是点　　　　，∠E的对应角是　　　　；
(2)若CF＝3，DF＝2，则DE的长为　　　　；
(3)若∠DAE＝108°，∠EAF＝39°，求∠DAC的度数.
【答案】解　(1)点D的对应点是点B，∠E的对应角是∠C.
(2)DE的长为5.
(3)∵∠DAE＝108°，∠EAF＝39°，
∴根据对称性∠CAF＝∠EAF＝39°，
∴∠CAE＝78°，
∴∠DAC＝∠DAE－∠CAE＝108°－78°＝30°.
【举一反三6】如图，在中，，点，分别在边，上，且点，关于直线对称，连接．若，，且的周长为24．求的周长．
【答案】解：的周长为24，
，
，，
，
解得，
，，
点，关于直线对称，
，
的周长．
【题型9】线段垂直平分线的性质
【典型例题】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【解析】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA，又PA=5，
∴PB=5．
故选B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为
A.40 B.20 C.15 D.10
【答案】B
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EB=EA，GA=GC，
∵△AEG的周长是20，
∴AE+EG+AG=20，
∴BE+EG+GC=20，
即BC=20.
【举一反三2】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点(A，P，A'不共线)，下列结论中，错误的是
A.△AA'P是等腰三角形 B.MN垂直平分AA'，CC' C.△ABC与△A'B'C'面积相等 D.直线AB，A'B'的交点不一定在直线MN上
【答案】D
【解析】因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
所以△AA'P是等腰三角形，MN垂直平分AA'，CC'，这两个三角形的面积相等，故A，B，C选项正确，
直线AB，A'B'关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误.
【举一反三3】如图，中，垂直平分边，若，，则的周长为 ．
【答案】
【解析】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD、AO、AE、BO、CO，△ADE的周长为6，△OBC的周长为16，求AO的长．
【答案】解：∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，
∴DA＝DB，EA＝EC，OA＝OB，OA＝OC，
∵△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝6，
∴BC＝6，
∵△OBC的周长＝OB+BC+OC＝16，
∴OB+OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
【题型10】线段垂直平分线的判定
【典型例题】如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（ ）
A.20 B.23 C.26 D.29
【答案】C
【解析】解：∵E为边的中点，，
∴垂直平分，，
∴，
∵的周长为20
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
【举一反三1】如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】解：∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴是的中点，
∴.
【举一反三2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＝AF；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是(　　)
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
【答案】D
【解析】∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
∴AD⊥EF，
∵AE2＝AF2，DF2＝DE2，
∴AE2＋DF2＝AF2＋DE2，
根据现有条件无法证明OA＝OD，
∴正确的有②③④.
【举一反三3】如图，在 中，，．则AD与BC的关系是 .
【答案】垂直平分
【解析】解：∵，，
∴垂直平分.
【举一反三4】在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．

求证：(1)；
(2)垂直平分．
【答案】证明：（1），
∴点B在线段的垂直平分线上，
，，
，
在和中，，
.
（2）由（1）知，
，
∴点M在线段的垂直平分线上，
．
点B在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【举一反三5】如图，在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC.求证：点O在BC的垂直平分线上.
【答案】证明　如图，连接OB，
∵ON是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OC，
∴OC=OB，
∴点O在BC的垂直平分线上.
【题型11】线段垂直平分线性质与判定的综合
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　)
A.4 B.5 C.2 D.6
【答案】A
【解析】∵AB＝AC，OB＝OC，O在AD上，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴CDBC＝4.
【举一反三1】下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】解：根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理，
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合判定定理，是正确的；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合判定定理，是正确的；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合判定定理，是错误的；
所以正确的是①②③三个．
故选C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N，以下说法不正确的是(　　)
A.∠P=60° B.∠EAF=∠B+∠C C.PE=PF D.点P到点B和点C的距离相等
【答案】C
【解析】∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA=∠PNA=90°，
又∠BAC=120°，
∴∠P=360°-90°-90°-120°=60°，故选项A正确；
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°-120°=60°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC=EA，FB=FA，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，
∴∠EAF=∠BAC-∠EAC-∠FAB=∠BAC-(∠B+∠C)=120°-60°=60°，
∴∠EAF=∠B+∠C，故选项B正确；
若PE=PF，则∠PEF=∠PFE，即∠CEM=∠BFN，
∴∠C=∠B，
但是△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，故选项C错误；
连接PC，PA，PB，如图，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC=PA，PB=PA，
∴PB=PC，即点P到点B和点C的距离相等，选项D正确.
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=6，AC=12，BC=6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为　　.
【答案】
【解析】如图，连接BE，
∵AB=6，
AC=12，BC=6，
∴AB2=180，AC2=144，BC2=36，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
由折叠的性质得DE⊥AB，
∵顶点B恰好与点A重合，
∴BD=AD，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
设CE=x，则BE=AE=12-x，
在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2，
∴(12-x)2=x2+62，
∴x=，
∴CE=.
【举一反三4】（教材改编）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
【答案】解：AB=AC=CE； AB+BD=DE.
理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE，
∴AB=AC=AE.
∵DE=DC+CE，
又∵DC=BD，CE=AB，
∴DE=BD+AB.
【题型12】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定
【典型例题】如图，数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于AD的长度为半径画弧，交于点P和点Q，连接PQ，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是
A.4 B.5 C.2 D.3
【答案】C
【解析】由尺规作图可知，PQ是线段AD的垂直平分线，
∴PQ⊥OD，
∵以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，
∴BC=AB=2，
在Rt△OBC中，∠OBC=90°，BC=2，OB=4，则由勾股定理可得OC===2，
∵以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，
∴OM=OC=2.
【举一反三1】如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】解：由作图可得，，
∴，
∵周长为周长为16，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【举一反三2】如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】C
【解析】解：根据作图过程可知是线段的垂直平分线，
，
，，
．
【举一反三3】如图，已知，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长是 ．
【答案】
【解析】解：由作图得垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
的周长是
．
【举一反三4】）阅读下列材料，并完成相应的任务．
（1）根据小明的作图方法，如图①，请你证明小明的结论；
（2）如图②，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠BAC＝∠DAC，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．
【答案】解：（1）设AP与BC交于点F.
由作图可知，AP平分∠BAC.
∴∠BAP=∠CAP
在△ABF和△ACF中
∴△ABF≌△ACF（SAS）
∴BF=CF，∠AFB=∠AFC
∵∠AFB+∠AFC=180°
∴∠AFB=∠AFC=90°
∴AF⊥BC
又∵BF=CF
∴AP是线段BC的垂直平分线.（中垂线定义）
（2）在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（AAS）
AB＝AD，BC=CD
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD（中垂线的判定）
【题型13】作垂线
【典型例题】下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由基本作图可知，选项A，C，D中所作直线均满足题意，只有B选项不确定．
【举一反三1】数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段，小明的作图顺序是（　　）

A.⑤①③②④ B.⑤④③②① C.⑤③②①④ D.⑤①④③②
【答案】A
【解析】解：由题意可知，小明的作图顺序是⑤①③②④．
【举一反三2】如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 ．（填序号）
①为直线的垂线；②；③；④．
【答案】③
【解析】解：由作图方法可得出是线段的垂直平分线，
则为直线的垂线，故①正确，不符合题意；
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故②正确，不符合题意；
无法得出，故③错误，符合题意；
可得，，则，故④正确，不符合题意.
【举一反三3】如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点．
【答案】分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径所画两弧
【解析】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下：
①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，；
②分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线，则直线为所求作的直线.
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝60°，BC【答案】解　如图所示，过点B作AC的垂线，垂足为P，点P即为所求，
根据三角形内角和定理即可得到∠PBC＝30°.
【举一反三5】如图，已知，求作：边上的高.
【答案】解：如图，线段即为所求．
【题型14】作线段垂直平分线与角平分线
【典型例题】已知△ABC(ACA. B. C. D.
【答案】D
【解析】A选项，BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA＋PC＝BC，故选项错误；B选项，PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA＋PC＝BC，故选项错误；C选项，CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA＋PC＝BC，故选项错误；D选项，BP＝AP，故能得出PA＋PC＝BC，故选项正确.
【举一反三1】综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地的道路上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置．下列方案能满足项目要求的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵点到和两边的距离相等，
∴点在的角平分线上，
A图所作为和的角平分线的交点，但点不在边上，不符合题意；
B图所作点为的高与的交点，不符合题意；
C图所作为的角平分线与交于点，符合题意；
D图所作为线段的垂直平分线与的交点，不能使到和两边的距离相等，不符合题意．
【举一反三2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是
A.20° B.30° C.40° D.50°
【答案】B
【解析】由作法得，MN垂直平分AB，所以DA=DB.
所以∠ABD=∠A=40°.
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C=×(180°-∠A)=×(180°-40°)=70°.
所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
【举一反三3】如图，在中作出和，其中．
(1)请你根据作图的痕迹，写出结论：是的__________；
(2)请你根据作图的痕迹，写出结论：是边的__________；
【答案】解：（1）由作法可知，是的平分线．
（2）由作法可知，是边的垂直平分线．
【举一反三4】如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是　　　　　.(填序号)
①PQ为直线l的垂线；②CA＝CB；③PO＝QO；④∠APO＝∠BPO.
【答案】③
【解析】由作图痕迹可得出PQ是线段AB的垂直平分线，则PQ为直线l的垂线，故①成立，不符合题意；CA＝CB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)，故②成立，不符合题意；无法得出PO＝QO，故③不一定成立，符合题意；由题意可得PA＝PB，PQ⊥AB，易证Rt△APO≌Rt△BPO，则∠APO＝∠BPO，故④成立，不符合题意.
【举一反三5】如图，已知△ABC，点P为BC上一点.
(1)尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于点E，交直线AB于点F；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接PE，AP，AP交EF于点O，若OF＝OE，请在(1)的基础上说明∠FAO＝∠EPO.
【答案】解　(1)如图，直线EF即为所作图形.
(2)由(1)可知，EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AO＝OP，
在△AOF和△POE中，
∴△AOF≌△POE(SAS)，
∴∠FAO＝∠EPO.
【题型15】原命题、逆命题与互逆命题
【典型例题】对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个逆命题是假命题的是（ ）
A.a＝3，b＝2 B.a＝－1，b＝－2 C.a＝3，b＝－1 D.a＝1，b＝0
【答案】B
【解析】解：命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则a2＞b2”；
A、a、b的值满足a＞b，且a2=9，b2=4，即a2＞b2，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意；
B、a、b的值满足a＞b，且a2=1，b2=4，即a2＜b2，此时原命题的逆命题是假命题，故本选项符合题意；
C、a、b的值满足a＞b，且a2=9，b2=1，即a2＞b2，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意；
D、a、b的值满足a＞b，且a2=1，b2=0，即a2＞b2，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意．
故选：D．
【举一反三1】下列命题中：①等边三角形的每一个角都等于60°；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④直角三角形的两锐角互余.它们的逆命题是真命题的个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】①等边三角形的每一个角都等于60°的逆命题是每一个角都等于60°的三角形为等边三角形，是真命题；
②若|a|=|b|，则a=b的逆命题是若a=b，
则|a|=|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，
它们的逆命题是真命题的个数是3.
【举一反三2】下列命题的逆命题成立的是（　　）
A.对顶角相等
B.等边三角形是锐角三角形
C.正方形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【解析】解：A、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；
B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；
C、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；
D、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，
故选D．
【举一反三3】请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【答案】如果，那么
【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”．
【举一反三4】已知命题：“等角的补角相等．”写出它的逆命题： ．
【答案】如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．
【解析】解：等角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，
故答案为如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．
【举一反三5】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
【答案】解　(1)同旁内角互补，两直线平行.真命题.
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内).真命题.
(3)内错角相等.假命题.
(4)等边三角形有一个角是60°.真命题.
【题型16】互逆定理
【典型例题】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
B.不是等腰三角形的两个角不相等．
C.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
D.有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【答案】D
【解析】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．
【举一反三1】下列说法正确的有（ ）
①所有定理都是真命题 ②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】解：定理是真命题，故所有定理是真命题，故①说法正确；
真命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是真命题，但其逆命题是假命题，故②说法错误；
假命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是假命题，其逆命题为若，则，此命题是假命题，故③说法错误；
并不是每个定理的逆命题都是正确的，即并不是每个定理都有逆定理，故④说法错误；
故正确的说法只有1个．
【举一反三2】下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A.两直线平行，同旁内角互补
B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C.等腰三角形两个底角相等
D.同角的余角相等
【答案】D
【解析】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；
C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；
D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．
故选：D．
【举一反三3】两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ．
【答案】结论 题设 逆命题 逆定理
【解析】解：两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理．
【举一反三4】（原创）写出线段垂直平分线的性质定理和判定定理，它们是互逆定理吗？
【答案】解：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
它们是互逆定理.

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