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第26章二次函数重难点精练卷
一、单选题
1．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．当时，函数的最小值为1，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．或2
3．已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．开口方向相同 B．形状相同
C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小
5．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点P在该函数图象上，且满足，则点P的横坐标的所有可能值的和为（ ）
A．2 B．0 C．4 D．6
7．如图，二次函数的图象经过点A，，与y轴交于点C，对称轴是．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若二次函数的图象与y轴交于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．请写出一个顶点是原点的抛物线的解析式_______________．
11．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____．
12．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________．
13．已知点，为二次函数图象上的两点，若＞成立，则m的值可以为_______．（写出一个符合条件的值即可）
14．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”，若二次函数的图象上有“二倍点”，则a的取值范围是________．
15．某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______．
三、解答题
16．已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式
(2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值
(3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标
17．如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面．
(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式．
(2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点；
②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）；
(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）．
①若，，求的长；
②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围．
19．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）．
(1)求抛物线状沙丘的函数表达式；
(2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离．
20．如图，抛物线经过点、，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D D C B C D A C
1．A
【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
2．D
【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值．
【详解】解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为．
当时，函数的最小值为1，
分两种情况讨论：
①如图1，当时，即时，
最小值在处取得，
∴，即，解得或，
∵，
∴．
②如图2，当时，
最小值在处取得，
∴，解得或，
∵，
∴．
综上，的值为或．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数解析式配方，确定抛物线的开口方向与顶点坐标，再结合给定的x的取值范围，分析顶点及取值范围的端点对应的函数值，进而确定y的取值范围．
【详解】解：二次函数解析式为
∵二次项系数
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
∵
∴当时，取得最小值．
当时，；当时，．
又∵取不到，
∴；顶点在的取值范围内，
∴．
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关知识逐一分析选项．
【详解】∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同
∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确．
∵的顶点坐标为，的顶点坐标为，
∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确．
∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上
∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据“上加下减，左加右减”的平移规律作答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得，
再向上平移2个单位，得．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与面积综合．先求出二次函数与x轴交点A、B的距离，再根据三角形面积公式得到点P的纵坐标，分两种情况代入二次函数解析式求出点P的横坐标，最后计算所有可能横坐标的和.
【详解】解：依题意，∵令，则，
∵
∴两边同除以得
∴，
解得，
∴
∵
∴，
解得
∴或
①当时，代入函数得：，
∵
两边同除以得，
整理得
设该方程两根为，
由一元二次方程根与系数的关系得
②当时，代入函数得：
，
两边同除以得，
整理得
解得，，
则
∴点P横坐标的所有可能值的和为，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键．
由图象得，即可判断选项A；对称轴公式可以判断选项B；根据二次函数的对称性可以判断选项C；根据抛物线的最值即可判断D
【详解】解：A、由图象可知，，
，故A错误；
B、，
，
，
，
不成立，故B错误．
C、二次函数的图象与轴交于点，，对称轴为直线，
点，故C错误；
D、时，函数有最小值，
，
，故D正确，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标．将代入二次函数计算纵坐标即可．
【详解】解：将代入二次函数中，
得，
∴点C的坐标为．
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
①根据抛物线图象确定参数的取值即可；
②根据对称轴确定点坐标，然后当时，确定函数值的取值即可；
③根据对称轴确定参数的数量关系即可；
④根据抛物线顶点坐标即可确定不等式．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴；
∵对称轴位于轴右侧，
∴异号，
∴；
∵抛物线交轴于正半轴，
∴；
∴，
故①正确；
②∵对称轴为直线，且，
∴，
结合抛物线图象可得，当时，，
即，
故②正确；
③∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
故③错误；
④∵抛物线开口向下，
∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，
当时，，
当时，，
∴，
即，
故④正确；
综上，正确选项为①②④，
故选：C．
10．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，顶点是原点的二次函数解析式为（a为常数，且），据此可得答案．
【详解】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令，求出抛物线与轴两交点坐标，利用图像即可求时的的取值范围．
【详解】解：令
，
由图象得：当时，．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．由二次函数与x轴的交点坐标，利用根与系数的关系可求出对称轴，进而求得顶点坐标，即可作答．
【详解】解：∵二次函数与x轴交于点和，
∴设二次函数为，
则对称轴为直线，
将代入函数解析式，得，
故顶点坐标为，
故答案为：．
13．
1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过求二次函数的对称轴，比较点A和点B到对称轴的距离，利用开口向上时距离越远函数值越大，得到不等式，求解得，因此m可取1．
【详解】解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，
∴点A的横坐标，点B的横坐标，
由，得，即，简化得，解绝对值不等式，
由得，即，
由得即，
∴，m可取1，
故答案为：1．
14．且
【分析】二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，由“二倍点”定义，满足，代入二次函数得方程，有“二倍点”即该方程有实数根，故判别式，且二次函数隐含．
【详解】解：根据题意得：“二倍点”均在直线上，
将代入，得，
整理得：，
判别式，
∵二次函数的图象上有“二倍点”，
∴，即，
解得：，
又∵二次函数，
∴，
故的取值范围是：且．
故答案为：且．
15．
20
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，设销售单价为元时，利润为，列出二次函数，确定最大利润时销售单价为35元，对应销售量为150件；设，根据降价后销售额5670元列出方程，解二次方程得到t的值，进而得到a的值；选择使销售量最大的a值．
【详解】解：设销售单价为元时，利润为，
根据题意，得，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，销量为（件），
则降价促销后，售价为元，销售量为件．
根据题意，得，
设，
则方程为，即，
解得或，
则或，
为使销量尽可能大，则．
故答案为：20．
16．(1)
(2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值．
(3)和
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案；
（3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点，
∴ ，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
∵，
∴函数开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，解得或，
当时，，此时方程无解，
∴点B的坐标为和．
17．(1)
(2)能通过，理由如下：
解：令，则有，
解得，，
，
∴货车可以通过；
(3)能通过，理由如下：
由（2）可知，
∴货车可以通过．
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解；
（3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标，
设抛物线的方程为，
∵点在抛物线上，
∴．
∴．
∴．
（2）略
（3）略
18．(1)①证明：∵令，则，即，，，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线与轴恒有两个交点；
②抛物线与轴交点坐标为和 ．
(2)①；②或或．
【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可；
（2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及点坐标，再根据题意判断出三点共线，即，即可求出，最后根据求解即可；②根据题意判断出三点共线，即，即可求出，再根据求出是关于的二次函数解析，分类讨论（），（），根据二次函数的性质和不等方程的性质分别求解即可．
【详解】（1）①略；
②由①得且，
∴，
∵，
∴解得：，，
∴抛物线与轴交点坐标为和 ；
（2）①∵，
∴抛物线解析式为：，直线解析式为：，
∵，
∴，
∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
∴三点共线，即，
∴，，
∴；
②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
∴三点共线，即，
∴，，
∴，
分类讨论：
（），即，
∵，
∴是关于的二次函数，即对称轴为直线，
∴当，的长随的增大而增大，
∴，解得，
（）当时，
∵，
∵，
∴，
∴，即 ，
∴，解得，
∴，
（）当时，
∵，
∵，
∴，
∴，即 ，
∴，解得，
∴，
（），即，
∵，
∴是关于的二次函数，即对称轴为直线，
∴当，的长随的增大而增大，
∴，解得，
∵，
∵，，
∴，
∴，即 ，
∴，解得，
∴
∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．正确理解题意是关键；
（1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到；
（2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为，
故设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
抛物线状沙丘的函数表达式为．
（2）解：令，得，
解得，，
，
、两点之间的距离为．
20．(1)
(2)存在，点Q的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先确定点坐标，进而可得，易知；设点，则，，若以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似，则有或，进而可得或，然后分别代入数值求解即可．
【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式中，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）存在，理由如下：
对于抛物线，当时可得，
∴点，
∵，
∴，
∴，
设点，则，，
以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似，
则或，
或，
或，
当时，可得，
整理得，，
解得（舍去）或（舍去），
当时，，
整理得，，解得或（舍去）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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