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2026江苏高三下学期4月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设复数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在直角三角形中，若，，，则为（ ）
A. 3 B. 6 C. －3 D. －6
5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．年3月26日日本三陆近海发生一次地震，2025年3月28日缅甸发生里氏8.0级地震，且2025年3月28日缅甸发生的地震所释放出来的能量大约是2026年3月26日日本三陆近海地震释放出来的能量的250倍，则2026年3月26日日本三陆近海发生的地震里氏级数约为（ ）（参考数据：）
A. 5.0 B. 5.2 C. 6.0 D. 6.4
6. 已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值为0.035 B. 成绩在区间内的有15人
C. 这100名学生成绩的平均数小于70分 D. 这100名学生成绩的第60百分位数为80分
10. 正项等比数列满足，公比为，其前项和为，记数列，则（ ）
A. 时， B. 时，为等差数列
C. 不存在，使得为常数列 D. 时，单调递减
11. 已知圆台上底面半径为2，下底面半径为3，高为1，此圆台的一个轴截面为，为上底面的直径，和为圆台母线，下底面圆心为，下列说法正确的有（ ）
A. 圆台的侧面积为
B. 若点在底面的圆周上，且，则
C. 若点在底面的圆周上，且，则异面直线和所成角的余弦值为
D. 是上底面圆周上一动点，点在下底面上的垂直投影为，在下底面内过点的直线交底面圆周于点，，点是下底面圆周上一动点（与，点不重合），则三棱锥体积的最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.
13. 若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____．
14. 从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 记的内角，，的对边分别为，，，面积为，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
16. 在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，．
（1）如图1，当面面时，证明：面；
（2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离．
17. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市名中学教师，统计了他们使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）．
年龄 是否喜欢使用技术 合计
是 否
不超过岁
超过岁
合计
（1）已知从这名年龄超过岁的教师中随机抽取人，人都喜欢使用技术的概率为．据此完善上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关；
（2）在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取人，求其中至少人喜欢使用技术的条件下，人年龄均不超过岁的概率．
附：，其中．
18. 已知函数．
（1）已知是曲线的切线，求实数的值；
（2）对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）时，函数曲线上存在不关于原点对称的两点，满足，其中为坐标原点，求点横坐标的取值范围．
19. 已知椭圆的左顶点为，过右焦点且斜率不为0的直线与交于，两点．当为的上顶点时，，．
（1）求的方程；
（2）过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，与交于点
①求与面积之比；
②若直线与直线交于点，求点的轨迹方程．
答案解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设复数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】由题意得，，则，
由模长公式得，故D正确.
2. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】令，解得，则，
而且，可得．
3. 已知实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】时，，，，
又时，取，，此时，
所以，则“”是“”的充分不必要条件.
4. 在直角三角形中，若，，，则为（ ）
A. 3 B. 6 C. －3 D. －6
【答案】B
【解析】
【详解】如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，可知，，
由可知，因为，，
所以，
可得
5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．年3月26日日本三陆近海发生一次地震，2025年3月28日缅甸发生里氏8.0级地震，且2025年3月28日缅甸发生的地震所释放出来的能量大约是2026年3月26日日本三陆近海地震释放出来的能量的250倍，则2026年3月26日日本三陆近海发生的地震里氏级数约为（ ）（参考数据：）
A. 5.0 B. 5.2 C. 6.0 D. 6.4
【答案】D
【解析】
【详解】缅甸地震所释放能量为，日本地震所释放的能量为，则，
缅甸地震里氏8.0级，日本地震里氏级数为，
，
，．
6. 已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】在以为直径的圆上，，
故，
，．
7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知条件得出函数的对称性与单调性，再利用函数性质化简不等式求解.
【详解】由题意可得：，，
则关于对称，，
所以在上单调递增，等价于，
所以，即，所以．
8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题可知，
在同一坐标系中作出和的图像：
令，由相邻交点的性质可得，
解得,
分别令，得到相邻三个交点的坐标，
，，
此时等边底边，高为，
又正三角形中，所以，所以，
因为，所以，所以，所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值为0.035 B. 成绩在区间内的有15人
C. 这100名学生成绩的平均数小于70分 D. 这100名学生成绩的第60百分位数为80分
【答案】ABD
【解析】
【详解】，，A对．
，即内的有15人，B对．
平均分，C错．
，这100名学生成绩的第60百分位数为80分，D对．
10. 正项等比数列满足，公比为，其前项和为，记数列，则（ ）
A. 时， B. 时，为等差数列
C. 不存在，使得为常数列 D. 时，单调递减
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于A，，，，A对．
对于B，，，，，为等差数列，B对．
对于C，为常数列
，
即时为常数列，C错．
对于D，，
时，，D对．
11. 已知圆台上底面半径为2，下底面半径为3，高为1，此圆台的一个轴截面为，为上底面的直径，和为圆台母线，下底面圆心为，下列说法正确的有（ ）
A. 圆台的侧面积为
B. 若点在底面的圆周上，且，则
C. 若点在底面的圆周上，且，则异面直线和所成角的余弦值为
D. 是上底面圆周上一动点，点在下底面上的垂直投影为，在下底面内过点的直线交底面圆周于点，，点是下底面圆周上一动点（与，点不重合），则三棱锥体积的最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，利用圆台侧面公式求解；对于B，C，建系，利用向量解决共线和夹角问题；对于D，高为定值，体积由的面积决定，设，利用均值不等式求解.
【详解】母线长，
对于A，圆台侧面积 ，A正确．
对于B，C，如图建系，当E在下底面时，，，即，
不妨设在图中位置，则，
直线的一个方向向量为，
而， ，，，
所以不共线，B错误；
设直线与所成角为，
，
当E在上底面时，设，则，
所以，所以，不妨取，
则，，C错误．
对于D，先固定，过作于点，设，
，其中，
当且仅当，即时取“=”，
，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.
【答案】15
【解析】
【分析】令，可以求出，利用二项展开式的通项公式，求出常数项．
【详解】已知的展开式的所有项的系数和为64，令，得，
二项展开式的通项公式为，令，
所以常数项为．
【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式．重点考查了二项展开式中的常数项．
13. 若正项数列满足，则集合的所有非空子集中最小元素之和为_____．
【答案】2036
【解析】
【详解】时，，（舍）或1
时，，
整理得，即，
因是正项数列，故，所以，
是以1为首项1为公差的等差数列，
，最小元素为1的非空子集有个，最小元素为2的非空子集有个，，最小元素为10的非空子集有1个，设所求和为，
则．
14. 从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____．
【答案】##0.5
【解析】
【详解】记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为，
要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需，，或，， ，
它与取到哪6个数无关，不失一般性，不妨以取到的6个数为1，2，3，4，5，6为例，
平均分成两组的分法有：种，
以下枚举与符合条件的情形：
与，与，与，与，与
共5种，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 记的内角，，的对边分别为，，，面积为，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理求出，进而求解；
（2）根据余弦定理用表示，再求出，，进而求出，再利用两角差正切公式求解.
【小问1详解】
，由三角形面积公式和余弦定理可得，
，，
，代入 中，得，
，
，，．
【小问2详解】
，，
，，
由，有，则，，
，，．
16. 在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，．
（1）如图1，当面面时，证明：面；
（2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离．
【答案】（1）证明：取中点，连接，，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
平面，平面平面．
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，再根据线面平行的判定定理证明；
（2）利用点到面距离的向量求法进行求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
过作平面于点，过作于点，连接则，为的中点，且，，
，，如图建系
，，，
，，
设平面的一个法向量，到面的距离为
，
17. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市名中学教师，统计了他们使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）．
年龄 是否喜欢使用技术 合计
是 否
不超过岁
超过岁
合计
（1）已知从这名年龄超过岁的教师中随机抽取人，人都喜欢使用技术的概率为．据此完善上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关；
（2）在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取人，求其中至少人喜欢使用技术的条件下，人年龄均不超过岁的概率．
附：，其中．
【答案】（1）
年龄 是否喜欢使用技术 合计
是 否
不超过岁
超过岁
合计
有关 （2）
【解析】
【分析】（1）根据组合计数原理以及古典概型的概率公式可得出关于的方程，解出的值，可完善列联表，利用独立性检验可得结论；
（2）记事件为至少人喜欢使用技术，事件为人年龄均不超过岁，求出、的值，利用条件概率公式可求得结果.
【小问1详解】
设超过岁的教师中喜欢使用技术的有人，
由题意可得，即，整理可得，
因为，解得.
补充列联表如下
年龄 是否喜欢使用技术 合计
是 否
不超过岁
超过岁
合计
零假设该市教师喜欢使用技术与年龄无关，
．
依据小概率值的独立性检验，判断该校教师是否喜欢使用技术与年龄有关．
【小问2详解】
记事件为至少人喜欢使用技术，事件为人年龄均不超过岁．
全市某名中学教师喜欢使用技术的概率，
不超过岁且喜欢使用的概率，
所以，
，
由条件概率公式可得．
18. 已知函数．
（1）已知是曲线的切线，求实数的值；
（2）对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）时，函数曲线上存在不关于原点对称的两点，满足，其中为坐标原点，求点横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）根据题意分析得到，得到的范围，再证明当时不等式对恒成立；
（3）设，将问题转化为和在的交点问题，根据导数研究的单调性，结合奇函数的对称性确定的取值范围.
【小问1详解】
设切点，，
，消去，
【小问2详解】
对恒成立，
令，对恒成立，
，（必要性），
下证充分性：
令，则，
令，令，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，所以，
当，时，恒成立
综上：．
【小问3详解】
，
在上单调递增；上单调递减；
上单调递增，作出大致草图如下：
设，由对称性，不妨先设，
问题转化为与在上至少有两个交点
令或，且在上单调递增；上单调递减；
上单调递增，作出大致图象如下：
（其中，，），
设与的另一个交点为，
设与的另一个交点为，
综上：，为奇函数，由对称性知的横坐标的取值范围为：
19. 已知椭圆的左顶点为，过右焦点且斜率不为0的直线与交于，两点．当为的上顶点时，，．
（1）求的方程；
（2）过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，与交于点
①求与面积之比；
②若直线与直线交于点，求点的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）①2；②或．
【解析】
【分析】（1）由题意可得，求出即可求解；
（2）①设：，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据直线的点斜式方程求出直线方程，求出点的坐标，结合三角形面积公式计算即可求解；②表示出直线、方程，联立直线、方程，表示点的坐标，代入椭圆方程，化简整理即可求解.
【小问1详解】
由题意知，的方程为：．
【小问2详解】
①设直线方程为：，，，，，
，
直线方程为：①，
直线方程为：②，
联立①②
，，
而
，
，
，
，；
②直线方程为：，直线方程为：.
，
，
直线，
联立，
在椭圆上，
，
的轨迹方程为：．
直线的斜率不为0，且为有限点
点的完整的轨迹方程为或)．

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