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湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷
数学试题
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．3，4，5
2．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）

A．3 B． C． D．
5．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）．
A．28 B． C． D．
6．已知两个随机事件和，其中，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ）

A． B． C． D．
8．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（ ）
A．函数的最大值为12；
B．函数的最小值为6；
C．关于的方程最多有6个实数根；
D．当时能取得最大值.
10．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ）
A． B．α为钝角
C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限
11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________.
13．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______．
14．已知都是锐角，且，则________.
解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积．
16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差
17．如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.
(1)求码头点的坐标；
(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.
18．记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折 旋转 平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.
(1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
(2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值；
(3)已知点，求的费马点的坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C D D C D AC ACD
题号 11
答案 AC
12． 54 /
13．或
14．
15．(1)3
(2)
16．(1)0.030
(2)84
(3)总平均数是62，总方差是23.
17．(1)
(2)
18．(1)
(2)
(3)
19．(1)
(2)
(3)
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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