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26.1二次函数的概念
第二十六章 二次函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
复习巩固
1.什么是函数
2.什么是一次函数？正比例函数？
3.一元二次方程的一般形式是什么？
问题3 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
【分析】这种产品的原产量是20t，一年后的产量是 t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量y= .
20(1+x)
20(1+x)2
20(1+x)2
答：
y=20x2+40x+20；
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
探索求知
问题1 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积 为y，则y关于x的关系式为 .
y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
探索求知
二次函数的相关概念
问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次 数m与球队数n有什么关系？
【分析】每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 .
解：
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
探索求知
n-1
问题1-3中函数关系式有什么共同点
想一想
y=6x2
y=20x2+40x+20
函数都是用自变量的二次整式表示的
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a，b，c为常数，且a≠0；
（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项.
归纳总结
二次函数的定义
一般地，形如y=ax +bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，等式右边是分式.
不是，x的最高次数是3.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）
① y=ax2+bx+c
② y=3-2x
③ y=x2
⑤y=x2+x3+25
⑥ y=(x+3)2-x2
化简为 y=6x+9，
不是
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____ ,一次项系数为______，常数项为 .
3．下列函数是二次函数的是 ( )
y＝2x＋1 y＝3x2＋1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数
-3x2
-16
12
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.
二次函数的形式
y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)
一般形式
特殊形式
当b＝0时， y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项）
当b＝0，c＝0时， y＝ax2.（只含有二次项）
①②⑤
先化简后判断
√
×
×
×
×
√
√
×
典例精析
例2 若函数 是二次函数， 求m的值.
解：
由题意得
∴ m=3
本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视.
针对训练
一个二次函数
(1)求k的值；
(2)当x=0.5时，y的值是多少？
解：(1)由题意，得
想一想 自变量的取值范围是 .
想一想 自变量的取值范围是 .
问题 矩形绿地的长为xm，面积为ym2.
(1)若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为 m，y与x之间的 关系式为__________.
(2)若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为 m，y与x之间的 关系式为___________.
0.5x
y=0.5x2
x＞0
(x-6)
y=x(x-6)
x＞6
探索求知
根据实际问题列二次函数关系式
例3 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.
解：∵AB边长为x米.
典例精析
A
B
C
D
在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一 个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产量 减少了5(x－1)件．
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)
典例精析
1.下列函数是二次函数的是 ( )
2.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( )
A.m，n是常数，且m≠0
B.m，n是常数，且n≠0
C.m，n是常数，且m≠n
D.m，n为任何实数
C
C
课堂练习
4.已知函数y=3x2m-1－5.
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数.
1
3.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____，
一次项系数为______，常数项为 .
-3x2
-16
12
课堂练习
解：(1)由题意，得
(2)当a=-1时，函数关系式为
(3)将x=-2代入函数关系式中，有
课堂练习
(1)求a的值；
(2)求函数关系式；
(3)当x=-2时，y的值是多少？
6.写出下列各函数关系式：
(1)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
(2)菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系．
课堂练习
7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：
(1)当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.
（不必写出自变量x的取值范围）
课堂练习
(1)450kg,6750元
8.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2).
(1)写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)当x=3时，求矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2)
课堂练习
课堂小结
走进名家，乐享数学
一切问题都可以转化为数学问题，
一切数学问题都可以转化为代数问题，
而一切代数问题又可以转化为函数问题，
因此，一旦解决了函数问题，
一切问题都将迎刃而解！
------(法)笛卡尔
[ 伟大的数学家、物理学家、哲学家、生理学家，
解析几何的创始人 ]
数学源于生活,又服务于生活

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