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1.1 空间向量及其运算
知识点一　空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量
注意： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 （3）零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定． (4)非零向量a的同向单位向量为. 知识点二　空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算加法a＋b＝＋ ＝减法a－b＝－＝数乘当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
注意： 1.向量的线性运算主要是利用三角形和平行四边形法则。 2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 知识点三 共线问题 共线向量 1.定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 2.方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 3.共线向量基本定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 推论：若存在实数t，使＝＋t＝(1－t)＋t(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线 注意： 1（1）.存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． 2.共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。 知识点四 向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 注意： 1.共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 2.推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面． 知识点五 空间向量数量积的运算（夹角） 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 注意： 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 2.(1)a⊥b a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系． (2)cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题． 知识点六 空间向量的长度（模） 1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 3.投影向量：向量在向量上的投影向量= 也可以表示为 注意：|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
规律与方法 1.几类特殊的空间向量：0向量、单位向量、共线向量的定义。 2.线性运算： （1）选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. （2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 即：；
1.下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系
C．向量的模是一个正实数
D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合
2.下列关于空间向量的说法中正确的是（　　）
A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同
3．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：共线向量定理的应用
规律与方法 1.共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 2.证明空间三点P，A，B共线的方法 (1)＝λ(λ∈R)； (2)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
1.下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．，0
题型三：共面向量及应用
规律与方法 1.向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2.证明四点共面：常用（其中）
1.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（ ）
A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面
C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面
2.（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．4
4．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：空间向量的数量积
规律与方法 1.公式法：a·b＝|a||b|·cos_θ 2.基底法：转化为一组基底，再用公式计算。 3.极化恒等式：三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则：
1.（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（ ）
A． B．4 C． D．2
2.（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ．
3.（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的模（长度）
规律与方法 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝.
1.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________．
2.（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．
题型六：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
规律与方法 1.θ为a，b的夹角，则cos θ＝.要注意θ∈[0，π] 2.两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|. 3.两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
1.（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
2.（25-26高二上·山东济南·月考）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角 .
3.（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　）
B． C． D．
题型七：利用空间向量的数量积投影向量
规律与方法 投影向量：向量在向量上的投影向量 也可以表示为
1．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2.（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型八：利用空间向量数量积求模长、夹角、投影向量综合问题
规律与方法 求向量的模，可以把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方来求。 求两直线的夹角，可以通过方向向量的夹角来求，但注意向量夹角范围与直线夹角范围不一致。 3.求投影，注意投影向量是个向量，要成方向上的单位向量，且投影的几何意义也是求数量积最值的常用方法之一。
1.（2025·高二·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
(1)用，，表示，，；(2)求的长；(3)求异面直线与所成角的余弦值.
2.（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3.（多选）（25-26高二上·新疆喀什·期中）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为
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1.（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆
B．若空间向量，满足，则或；
C．若空间向量满足，则；D．若空间向量满足，，则．
2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
5．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7.（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
9.（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．是共线的充要条件
C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面
10．（多选 25-26高三·全国·一轮复习）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则与的夹角是锐角
C．已知向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量
D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
11．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形的面积为 B．与的夹角为
C． D．
12.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______.
13..（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________．
14．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______.
15.（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，
(1)试用表示．
(2)证明：四点共面．
(3)证明：三点共线．
16.（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)为的中点，求直线与所成角的余弦值．
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1.1 空间向量及其运算
知识点一　空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量
注意： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 （3）零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定． (4)非零向量a的同向单位向量为. 知识点二　空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算加法a＋b＝＋ ＝减法a－b＝－＝数乘当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
注意： 1.向量的线性运算主要是利用三角形和平行四边形法则。 2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 知识点三 共线问题 共线向量 1.定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 2.方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. 3.共线向量基本定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 推论：若存在实数t，使＝＋t＝(1－t)＋t(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线 注意： 1（1）.存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． 2.共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。 知识点四 向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 注意： 1.共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 2.推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面． 知识点五 空间向量数量积的运算（夹角） 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 注意： 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 2.(1)a⊥b a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系． (2)cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题． 知识点六 空间向量的长度（模） 1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 3.投影向量：向量在向量上的投影向量= 也可以表示为 注意：|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
规律与方法 1.几类特殊的空间向量：0向量、单位向量、共线向量的定义。 2.线性运算： （1）选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. （2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 即：；
1.下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系
C．向量的模是一个正实数
D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合
【答案】D
【解析】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；
对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确；
对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确；
对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确.
故选：D.
2.下列关于空间向量的说法中正确的是（　　）
A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【解析】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误；
对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误；
对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误；
对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确．
故选：D.
3．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，
所以.
4.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在四面体中，是的中点，则，
因为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以. 故选：A.
题型二：共线向量定理的应用
规律与方法 1.共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 2.证明空间三点P，A，B共线的方法 (1)＝λ(λ∈R)； (2)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
1.下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误；
对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误；
对于C，，则、、三点共线，选项C正确；
对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误；
故选：C.
2.（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为.
因为、、三点共线，所以.
所以. 故选：D
3.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．，0
【答案】D
【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足，
因为为空间任一点，所以，即，
因为，所以，解得，
因为存在三个不为的实数，使，
所以，所以，即，
所以.
综上，，
题型三：共面向量及应用
规律与方法 1.向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2.证明四点共面：常用（其中）
1.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（ ）
A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面
C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，故，
因为，所以四点共面，C正确．
另由已知得，
所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确．
故选：C．
2.（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案.
【详解】由于点P与共面, 三点不共线,
故存在实数，使得，
则,
即，
而，故，解得，
故选：A
3.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．4
【答案】A
【详解】因为四点共面，则有，
由共面条件可得，，即，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故选A.
4．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解.
【详解】如图，由点为的中点，可得，
所以.
因为，所以点在平面内，
的最小值就是三棱锥的高，
由，
得，得.
故选：C.
题型四：空间向量的数量积
规律与方法 1.公式法：a·b＝|a||b|·cos_θ 2.基底法：转化为一组基底，再用公式计算。 3.极化恒等式：三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则：
1.（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】在棱长为2的正方体中，
易知，
因为与的夹角为，
所以与的夹角为.
故选：B
2.（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ．
【答案】
【解析】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为，
设，则 且，
如图所示，连接，由，，
可得，
所以.
故答案为：.
3.（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得.
【详解】

如图，设，依题意，
连接，因
，
又，
则
.
故选：A.
4.（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解.
【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径，
所以，，，
因为
，
又因为点是正方体表面上的一个动点，
所以当为正方体顶点时，有最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，有最小值为，
即，，所以，
故选：B.
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的模（长度）
规律与方法 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝.
1.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________．
【答案】
【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解.
【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为，
所以，
，
所以.
2.（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．
【答案】
【详解】是平行四边形，是对角线交点，
则，
已知，
，
．
题型六：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
规律与方法 1.θ为a，b的夹角，则cos θ＝.要注意θ∈[0，π] 2.两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|. 3.两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
1.（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据列方程，化简求得的值.
【详解】由于，所以，
即，
所以，
解得.
2.（25-26高二上·山东济南·月考）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角 .
【答案】
【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得.
【详解】由，的夹角为，且，得，
，
设与的夹角为，则，
由于，故.
故答案为：.
3.（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面，
则，由，，得，则，
由，得E为的中点，则，
由，得，则，
因此＝，
所以向量与的夹角的余弦值是.
题型七：利用空间向量的数量积投影向量
规律与方法 投影向量：向量在向量上的投影向量 也可以表示为
1．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的计算公式求解出结果.
【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为，
故选：B.
2.（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求投影向量、已知数量积求模、数量积的运算律
【详解】由，得，因此，
向量在向量上的投影向量，
故B正确.
题型八：利用空间向量数量积求模长、夹角、投影向量综合问题
规律与方法 求向量的模，可以把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方来求。 求两直线的夹角，可以通过方向向量的夹角来求，但注意向量夹角范围与直线夹角范围不一致。 3.求投影，注意投影向量是个向量，要成方向上的单位向量，且投影的几何意义也是求数量积最值的常用方法之一。
1.（2025·高二·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
(1)用，，表示，，；
(2)求的长；
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】（1），
，
，
（2），，，
，，，
因为
，
所以，即的长为；
（3）因为，，
同理可求得，，
又因为
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
2.（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案，
【详解】由，
所以，由于，所以
在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形，
分别是中点，所以，
所以，所以.
故选：C
3.（多选）（25-26高二上·新疆喀什·期中）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为
【答案】ABD
【分析】根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确.
【详解】对于A，易知，
因为两两垂直，所以，而，所以，即A正确；
对于B，知，
因为两两垂直，所以，所以，即B正确；
对于C，易知，
显然，所以，
因此，
又，，所以，
所以，
因为两两垂直，且，
所以三棱锥的体积为，即C错误；
对于D，因为，
又，所以，
，
同理，
设和的夹角为，可得，可得，即D正确.
故选：ABD.
课时训练
1.（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆
B．若空间向量，满足，则或；
C．若空间向量满足，则；
D．若空间向量满足，，则．
【答案】C
【知识点】空间向量共线的判定、空间向量的有关概念
【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误.
【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，
则它们的终点构成一个球面，所以A错误；
对于B，若空间向量，满足，
但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误；
对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确；
对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，
则不一定平行，所以D错误.
故选：C.
2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由空间向量的线性运算法则即可求解．
【解答过程】连接，如图，
因为为的中点，
所以．
故选：C．
3.（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可.
【详解】因为，，，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一的实数使得，
所以，解得，
所以.
故选：C.
4.（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值.
【详解】由条件可知，四点共面，
又因为，
所以，解得，
故选：B.
5．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量数量积的应用
【详解】由，得，即，
所以，解得.
6.（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量夹角的计算、空间向量数量积的应用、已知数量积求模、数量积的运算律
【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角.
【详解】因为，，即；
又，所以，，
设与的夹角为，则，
又，所以.
7.（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可.
【详解】连接交于点，连接，
在正四棱锥中，且为的中点，
则，，即，
则，即，
则，
由题意，四点共面，则，解得.
故选：A
8．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
则，，两式平方后相减可得
，即，
其中，故，
故当取得最小值时，取得最小值，
当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即，
故.
故选：B
9.（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．是共线的充要条件
C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面
【答案】BCD
【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、空间共线向量定理的推论及应用、判定空间向量共面
【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，故A正确；
若，同向共线，则，故B不正确；
若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确；
D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确．
10．（多选 25-26高三·全国·一轮复习）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则与的夹角是锐角
C．已知向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量
D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
【答案】ACD
【知识点】判定空间向量共面
【分析】通过向量数量积定义以及共面向量性质，分别判断各选项.
【详解】对于A，若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，故A正确；
对于B，对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为，不是锐角，故B错误；
对于C，若，，是共面的向量，则存在实数、使得，显然无解，所以，，是不共面的向量，故C正确；
对于D，由，可知系数和为，根据空间向量共面的推论可知，，，四点共面，故D正确．
故选：ACD.
11．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形的面积为 B．与的夹角为
C． D．
【答案】ACD
【知识点】向量夹角的计算、空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积
【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D．
【详解】
对于A，因为平面，平面，所以，
所以四边形为矩形，面积为，A正确；
对于B，是等边三角形，所以，
又因为，所以异面直线与所成的角为，
结合图象向量与的夹角为，B错误；
对于C，由向量加法的运算法则可以得到，
因为，所以，C正确；
对于D，易得，
在正方体中，平面，
所以，所以，D正确．
12.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______.
【答案】2
【知识点】空间共面向量定理的推论及应用
【分析】根据空间向量共面定理的推论求解.
【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2.
13..（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________．
【答案】
【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积
【分析】先得到，两边平方，从而得到模长
【详解】，
，
所以.
14．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______.
【答案】
【知识点】求空间向量的数量积
【详解】因为O为底面的中心，所以，
，
，
15.（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．

(1)试用表示．
(2)证明：四点共面．
(3)证明：三点共线．
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析
【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、判定空间向量共面
【分析】（1）根据向量加法计算表示即可；
（2）应用得出四点共面；
（3）计算得出且得出三点共线.
【详解】（1）依题意可得，

（2）连接．因为
所以，
则共面，故四点共面．
（3）连接．
因为，
，
所以，则．
因为，所以三点共线．
16.（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)为的中点，求直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】空间向量数量积的应用、判定空间向量共面
【分析】（1）设，，，证明出，结合直线、不重合可证得结论成立；
（2）将、用基底、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出结果.
【详解】（1）设，，，则、、不共面，
由题意可得，，所以，
又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面.
（2）由题意可得，，
由空间向量数量积的定义可得，
，同理可得，
因为为的中点，所以，
，
所以，
故
，
，
，
所以，
因此直线与所成角的余弦值为.
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