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2026浙江省湖州市浙北八校2025学年第二学期九年级模拟检测 数学试题卷
1．下列四个数中绝对值最大的是(　　)
A．1 B．0 C．-1 D．-3
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
∴绝对值最大的数是-3.
故选： D.【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可.
2．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：A
【分析】
将23063000000用科学记数法的形式表示，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案．
3．如图，物体的主视图画法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该物体是一个空心圆柱，
从正面看，其外轮廓是一个矩形，
又内部空心圆柱的轮廓线被外壁遮挡，属于不可见轮廓线，
在主视图中应画为两条竖直的虚线，观察选项可知，C选项符合题意．
故选： C
【分析】
根据主视图的绘制规则：从正面方向观察物体时，看得见的轮廓需要用实线绘制，看不见、被遮挡的轮廓需要用虚线绘制，按照这个规则来判断空心圆柱的主视图即可.
4．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】
利用对顶角相等的性质与平行线的性质进行求解.
5．下列计算中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，∵，
∴A计算正确；
B，∵，
∴B计算正确；
C，∵，
∴C计算不正确；
D，∵，
∴D计算正确．
故答案为：C.
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法以及合并同类项的运算法则，对每个选项逐一计算验证，即可找出计算错误的选项.
6．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，，
∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称
∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
故答案为：B.
【分析】
根据已知边长关系DF=3AC确定位似比，再根据图形位置判断位似变换是反向的，从而确定坐标变换的系数为负值，最后利用位似中心为原点时，对应点坐标的倍数关系进行计算即可.
7．2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得．
故答案为：B.
【分析】
结合题目给出的数量关系，依据“不低于”代表的不等关系，列出对应的不等式即可得出答案.
8．一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（　　）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：从图中可知，成绩不少于160个的频数是（人），
∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人.
故选：D．
【分析】根据频数直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解．
9．已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵在反比例函数上
∴，
要求，代入得：
∵，
∴不等式变形为：
移项得
∵分子，
∴分母
解得．
故答案为：C.
【分析】
先根据反比例函数的解析式，得到两个点对应纵坐标的表达式，再结合已知条件列出不等式，对不等式化简后就能得到的取值范围，这个过程会用到分式不等式的化简方法.
10．如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在矩形中，对角线，交于点，
∴；
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得；
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
故选： A
【分析】
根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OC=OC，=90°。再根据三角形中位线定理可得OEA'C，进而证明，最后利用勾股定理求出OE的长即可.
11． -12+ =　 　.
【答案】1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式：=-1+2
=1，
故答案为：1.
【分析】先运算乘方和算术平方根，然后运算加法解答即可.
12．关于和的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①②得，
即
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
故答案为：.
【分析】
先通过加减消元法消去未知数y，求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值.
13．一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 白 红1 红2
白 白，红1 白，红2
红1 红1，白 　 红1，红2
红2 红2，白 红2，红1
∴一共有6种等可能的结果，其中甲乙摸到的球颜色不同的有4种结果，
∴甲乙摸到的球颜色不同的概率为．
故填： .
【分析】
通过列出所有等可能出现的结果，统计出满足要求的结果数量，再结合概率计算公式就能求出对应概率.
14．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵，，
∴，
设，，
由勾股定理得即，
解得或（舍去），
∴小明上升的垂直高度为．
故答案为：
【分析】
先根据行程和速度得到斜坡的长度AB，再结合正切的定义设出直角边的长度，最后利用勾股定理求解即可.
15．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为．
【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由方程
移项得，即．
根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为．
大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即．
因为大正方形的面积为，
所以．
因为为正整数，
所以，
所以．
解得．
故答案为：2.
【分析】
根据赵爽弦图的构造思路，先把方程整理变形为，由此可以得到构造图形中矩形的长为，宽为，可以推出大正方形的边长，再结合大正方形的面积列方程求解.
16．如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为　 　
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，过点B作于点G，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
联立得：，
解得：，
∴．
故答案为：.
【分析】
通过作辅助线，设，则，，证明，可得，再根据，可得， 从而得到，，在直角三角形AFC中，利用勾股定理求得AF的长，然后再根据勾股定理求得结果即可.
17．化简求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先根据单项式乘多项式法则展开-2（a-1)，再利用平方差公式计算（a-2）（a+2)，然后合并同类项化简整式，最后将a=3代入化简后的式子求值即可.
18．小江解方程的过程如下：
解：去分母，得…………第一步
去括号，得…………第二步
合并同类项，得…………第三步
移项，得…………第四步
合并同类项，得…………第五步
（1）小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
【答案】（1）一
（2）解： ，
去分母，得，
去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得 ，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】
（1）解：他从第一步开始出现错误；
故答案为：一
【分析】
（1）根据等式的基本性质，方程两边同时乘同一个数，等式仍成立，去分母时方程右边的1也需要乘以分母的最小公倍数6，据此判断哪一步出现的错误；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.
（1）解：他从第一步开始出现错误；
（2）解： ，
去分母，得，
去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得 ，
系数化为1，得．
19．如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求该圆的直径．
【答案】（1）证明：∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设半径，
∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即直径．

【知识点】圆周角定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得=90°，再根据平行线的性质可得到=，最后利用圆的半径的性质求解即可；
（2）设半径，根据已知条件即可证明，然后再根据相似比求解即可．
（1）证明：∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设半径，
∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即直径．
20．为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
（1）求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
（2）全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
【答案】（1）解：5分的占比最高，所以众数是5分，
先将所有打分按从小到大排序，累计占比：
2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)，
中位数是第和第位置的数，
所以中位数是（分），
计算加权平均数：
（分），
（2）解：（人），
答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）按照众数、中位数、平均数的对应计算方法分别计算，即可得到结果；
（2）利用样本的特征估计总体，即可求解.
（1）解：5分的占比最高，所以众数是5分，
先将所有打分按从小到大排序，累计占比：
2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)，
中位数是第和第位置的数，
所以中位数是（分），
计算加权平均数：
（分），
（2）解：（人），
答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
21．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究：
（1）求甲和乙的速度；
（2）C点的坐标是______；
（3）当甲乙两人相距时，求的值．
【答案】（1）解：从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间，
则，
∵甲的速度小于乙的速度，
∴甲用了3小时走完了的全程，
∴，
∴；

（2）
（3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则，
解得；
当甲和乙相遇后两人相距时，则，
解得，
综上，甲乙两人相距时，的值为或．

【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
（2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是
∴C点坐标是；
故答案为：
【分析】
（1）根据题意和通过分析函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度；
（2）根据（1）中的结果和分析C点的含义，可以求得点C的坐标；
（3）根据两人距离的变化规律在不同时间段不同，需分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可．
（1）解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间，
则，
∵甲的速度小于乙的速度，
∴甲用了3小时走完了的全程，
∴，
∴；
（2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是，
∴C点坐标是；
（3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则，
解得；
当甲和乙相遇后两人相距时，则，
解得，
综上，甲乙两人相距时，的值为或．
22．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由；
（2）已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
由平移可得，，
设，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，即，
解得，
∴移动的距离．

【知识点】勾股定理；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，就能得到的长度始终和的长度相等；
（2）首先利用勾股定理可以算出斜边，题目中四边形为菱形，根据菱形的性质可得，且，由此可推出。根据相似三角形对应边成比例，得到，整理可得，。最后结合线段和的关系，就可以解出的长度.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
由平移可得，，
设，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，即，
解得，
∴移动的距离．
23．已知二次函数（a为常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长；
（3）若，点，在该二次函数图象上，试说明．
【答案】（1）解：当时，则二次函数的解析式为，
化为顶点式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为；

（2）解：令，则有，解得，
∴该二次函数与x轴的交点坐标为，
∴该二次函数的对称轴为直线，
由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称，
∵点B的横坐标为，
∴点B到对称轴的距离为，
根据对称的性质可知：；

（3）解：∵点，在该二次函数图象上，
∴，
，
∴
，
当时，即，
解得：，
∵，且，
∴，
即．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将代入二次函数的解析式，可以得到，再将解析式配方化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据题目条件可以得到，二次函数与x轴的交点坐标为，由此可得二次函数的对称轴为直线，再结合二次函数的对称性就可以求解问题；
（3）根据题意可以计算得到，，作差可得，最后结合二次函数的性质分类讨论，即可得到对应的结论．
（1）解：当时，则二次函数的解析式为，
化为顶点式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：令，则有，解得，
∴该二次函数与x轴的交点坐标为，
∴该二次函数的对称轴为直线，
由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称，
∵点B的横坐标为，
∴点B到对称轴的距离为，
根据对称的性质可知：；
（3）解：∵点，在该二次函数图象上，
∴，
，
∴
，
当时，即，
解得：，
∵，且，
∴，
即．
24．如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下：
①_____ ②_____
（1）请填表，并证明结论②；
（2）求证：；
（3）在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示）
【答案】（1）①；②；
连接，
由题意，，，，
由轴对称性质得，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过C作交延长线于P，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设与交于点K，如图，
由（2）知，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．

【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：填表：①；②；
【分析】
（1）连接，利用轴对称性质得，，再根据等腰三角形的性质求得，，然后利用三角形的外角性质可证得结论；
（2）通过作辅助线，根据已知条件证明得到，则，最后利用平行线的判定可得结论；
（3）设与交于点K，先利用三角形的内角和定理推导出，则，再通过AKBC，证明，则有．
（1）解：填表：①；②；
证明②：连接，
由题意，，，，
由轴对称性质得，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过C作交延长线于P，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设与交于点K，如图，
由（2）知，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
1 / 12026浙江省湖州市浙北八校2025学年第二学期九年级模拟检测 数学试题卷
1．下列四个数中绝对值最大的是(　　)
A．1 B．0 C．-1 D．-3
2．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，物体的主视图画法正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（　　）
A． B．
C． D．
8．一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（　　）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
9．已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（　　）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
11． -12+ =　 　.
12．关于和的二元一次方程组的解是　 　．
13．一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是　 　．
14．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为　 　．
15．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为．
【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
16．如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为　 　
17．化简求值：，其中．
18．小江解方程的过程如下：
解：去分母，得…………第一步
去括号，得…………第二步
合并同类项，得…………第三步
移项，得…………第四步
合并同类项，得…………第五步
（1）小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
19．如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求该圆的直径．
20．为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
（1）求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
（2）全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
21．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究：
（1）求甲和乙的速度；
（2）C点的坐标是______；
（3）当甲乙两人相距时，求的值．
22．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由；
（2）已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离．
23．已知二次函数（a为常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长；
（3）若，点，在该二次函数图象上，试说明．
24．如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下：
①_____ ②_____
（1）请填表，并证明结论②；
（2）求证：；
（3）在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
∴绝对值最大的数是-3.
故选： D.【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：A
【分析】
将23063000000用科学记数法的形式表示，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该物体是一个空心圆柱，
从正面看，其外轮廓是一个矩形，
又内部空心圆柱的轮廓线被外壁遮挡，属于不可见轮廓线，
在主视图中应画为两条竖直的虚线，观察选项可知，C选项符合题意．
故选： C
【分析】
根据主视图的绘制规则：从正面方向观察物体时，看得见的轮廓需要用实线绘制，看不见、被遮挡的轮廓需要用虚线绘制，按照这个规则来判断空心圆柱的主视图即可.
4．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】
利用对顶角相等的性质与平行线的性质进行求解.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，∵，
∴A计算正确；
B，∵，
∴B计算正确；
C，∵，
∴C计算不正确；
D，∵，
∴D计算正确．
故答案为：C.
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法以及合并同类项的运算法则，对每个选项逐一计算验证，即可找出计算错误的选项.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，，
∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称
∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
故答案为：B.
【分析】
根据已知边长关系DF=3AC确定位似比，再根据图形位置判断位似变换是反向的，从而确定坐标变换的系数为负值，最后利用位似中心为原点时，对应点坐标的倍数关系进行计算即可.
7．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得．
故答案为：B.
【分析】
结合题目给出的数量关系，依据“不低于”代表的不等关系，列出对应的不等式即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：从图中可知，成绩不少于160个的频数是（人），
∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人.
故选：D．
【分析】根据频数直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵在反比例函数上
∴，
要求，代入得：
∵，
∴不等式变形为：
移项得
∵分子，
∴分母
解得．
故答案为：C.
【分析】
先根据反比例函数的解析式，得到两个点对应纵坐标的表达式，再结合已知条件列出不等式，对不等式化简后就能得到的取值范围，这个过程会用到分式不等式的化简方法.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在矩形中，对角线，交于点，
∴；
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得；
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
故选： A
【分析】
根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OC=OC，=90°。再根据三角形中位线定理可得OEA'C，进而证明，最后利用勾股定理求出OE的长即可.
11．【答案】1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式：=-1+2
=1，
故答案为：1.
【分析】先运算乘方和算术平方根，然后运算加法解答即可.
12．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①②得，
即
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
故答案为：.
【分析】
先通过加减消元法消去未知数y，求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 白 红1 红2
白 白，红1 白，红2
红1 红1，白 　 红1，红2
红2 红2，白 红2，红1
∴一共有6种等可能的结果，其中甲乙摸到的球颜色不同的有4种结果，
∴甲乙摸到的球颜色不同的概率为．
故填： .
【分析】
通过列出所有等可能出现的结果，统计出满足要求的结果数量，再结合概率计算公式就能求出对应概率.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵，，
∴，
设，，
由勾股定理得即，
解得或（舍去），
∴小明上升的垂直高度为．
故答案为：
【分析】
先根据行程和速度得到斜坡的长度AB，再结合正切的定义设出直角边的长度，最后利用勾股定理求解即可.
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由方程
移项得，即．
根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为．
大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即．
因为大正方形的面积为，
所以．
因为为正整数，
所以，
所以．
解得．
故答案为：2.
【分析】
根据赵爽弦图的构造思路，先把方程整理变形为，由此可以得到构造图形中矩形的长为，宽为，可以推出大正方形的边长，再结合大正方形的面积列方程求解.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，过点B作于点G，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
联立得：，
解得：，
∴．
故答案为：.
【分析】
通过作辅助线，设，则，，证明，可得，再根据，可得， 从而得到，，在直角三角形AFC中，利用勾股定理求得AF的长，然后再根据勾股定理求得结果即可.
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先根据单项式乘多项式法则展开-2（a-1)，再利用平方差公式计算（a-2）（a+2)，然后合并同类项化简整式，最后将a=3代入化简后的式子求值即可.
18．【答案】（1）一
（2）解： ，
去分母，得，
去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得 ，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】
（1）解：他从第一步开始出现错误；
故答案为：一
【分析】
（1）根据等式的基本性质，方程两边同时乘同一个数，等式仍成立，去分母时方程右边的1也需要乘以分母的最小公倍数6，据此判断哪一步出现的错误；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.
（1）解：他从第一步开始出现错误；
（2）解： ，
去分母，得，
去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得 ，
系数化为1，得．
19．【答案】（1）证明：∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设半径，
∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即直径．

【知识点】圆周角定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得=90°，再根据平行线的性质可得到=，最后利用圆的半径的性质求解即可；
（2）设半径，根据已知条件即可证明，然后再根据相似比求解即可．
（1）证明：∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设半径，
∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即直径．
20．【答案】（1）解：5分的占比最高，所以众数是5分，
先将所有打分按从小到大排序，累计占比：
2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)，
中位数是第和第位置的数，
所以中位数是（分），
计算加权平均数：
（分），
（2）解：（人），
答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）按照众数、中位数、平均数的对应计算方法分别计算，即可得到结果；
（2）利用样本的特征估计总体，即可求解.
（1）解：5分的占比最高，所以众数是5分，
先将所有打分按从小到大排序，累计占比：
2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)，
中位数是第和第位置的数，
所以中位数是（分），
计算加权平均数：
（分），
（2）解：（人），
答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
21．【答案】（1）解：从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间，
则，
∵甲的速度小于乙的速度，
∴甲用了3小时走完了的全程，
∴，
∴；

（2）
（3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则，
解得；
当甲和乙相遇后两人相距时，则，
解得，
综上，甲乙两人相距时，的值为或．

【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
（2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是
∴C点坐标是；
故答案为：
【分析】
（1）根据题意和通过分析函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度；
（2）根据（1）中的结果和分析C点的含义，可以求得点C的坐标；
（3）根据两人距离的变化规律在不同时间段不同，需分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可．
（1）解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间，
则，
∵甲的速度小于乙的速度，
∴甲用了3小时走完了的全程，
∴，
∴；
（2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是，
∴C点坐标是；
（3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则，
解得；
当甲和乙相遇后两人相距时，则，
解得，
综上，甲乙两人相距时，的值为或．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
由平移可得，，
设，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，即，
解得，
∴移动的距离．

【知识点】勾股定理；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，就能得到的长度始终和的长度相等；
（2）首先利用勾股定理可以算出斜边，题目中四边形为菱形，根据菱形的性质可得，且，由此可推出。根据相似三角形对应边成比例，得到，整理可得，。最后结合线段和的关系，就可以解出的长度.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
由平移可得，，
设，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，即，
解得，
∴移动的距离．
23．【答案】（1）解：当时，则二次函数的解析式为，
化为顶点式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为；

（2）解：令，则有，解得，
∴该二次函数与x轴的交点坐标为，
∴该二次函数的对称轴为直线，
由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称，
∵点B的横坐标为，
∴点B到对称轴的距离为，
根据对称的性质可知：；

（3）解：∵点，在该二次函数图象上，
∴，
，
∴
，
当时，即，
解得：，
∵，且，
∴，
即．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将代入二次函数的解析式，可以得到，再将解析式配方化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据题目条件可以得到，二次函数与x轴的交点坐标为，由此可得二次函数的对称轴为直线，再结合二次函数的对称性就可以求解问题；
（3）根据题意可以计算得到，，作差可得，最后结合二次函数的性质分类讨论，即可得到对应的结论．
（1）解：当时，则二次函数的解析式为，
化为顶点式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：令，则有，解得，
∴该二次函数与x轴的交点坐标为，
∴该二次函数的对称轴为直线，
由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称，
∵点B的横坐标为，
∴点B到对称轴的距离为，
根据对称的性质可知：；
（3）解：∵点，在该二次函数图象上，
∴，
，
∴
，
当时，即，
解得：，
∵，且，
∴，
即．
24．【答案】（1）①；②；
连接，
由题意，，，，
由轴对称性质得，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过C作交延长线于P，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设与交于点K，如图，
由（2）知，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．

【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：填表：①；②；
【分析】
（1）连接，利用轴对称性质得，，再根据等腰三角形的性质求得，，然后利用三角形的外角性质可证得结论；
（2）通过作辅助线，根据已知条件证明得到，则，最后利用平行线的判定可得结论；
（3）设与交于点K，先利用三角形的内角和定理推导出，则，再通过AKBC，证明，则有．
（1）解：填表：①；②；
证明②：连接，
由题意，，，，
由轴对称性质得，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过C作交延长线于P，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设与交于点K，如图，
由（2）知，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
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