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苏科第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程的概念
2.1 一元二次方程的概念
教学目标：
1、能根据实际问题找出等量关系式，并列出相应的一元二次方方程。
2、了解一元二次方程的定义，能熟练判断一个方程是否是一元二次方程。
3、掌握一元二次方程一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c为常数，a≠0)，会将一元二次方程整理成一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数．
4、理解方程根的含义，会检验数值是否为方程的根．
复习铺垫：
问题1、什么是一元一次方程？一般形式是什么？
等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的整式方程，叫作一元一次方程．一般形式是 ax＋b＝0 (a≠0)．
问题2、列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
审题→设未知数→找等量关系→列方程
问题3、下面是方程 2x+ 6=0的根的是（ ）
A、6 B、-3 C、3 D、 - 6
你有几种解法？
可以代入验证，是否左边=右边也可以解这个方程。
B
复习铺垫：
情境引入：
问题、一个面积为15矩形草坪，长比宽多2m，若宽为x（m），则可列方程？
解：x（x+2）=15
观察这个方程是一元一次方程吗？它与一元一次方程有什么共同点和不同点？
答：不是一元一次方程。
共同点：等号两边都是整式，只含一个未知数。
不同点：一元一次方程未知数的最高次数是1次。
这个方程未知数的最高次数是2次。
情境引入：
像 x（x+2）=15 这样的方程叫什么呢？你能求出x的值吗？
新课教学：
解：设正方形桌面的边长为x m，
由题意得： x2＝2．
根据下列问题，设未知数列方程：
1．面积为2m2的正方形桌面边长是多少？
找出题目中的等量关系：
正方形面积 = 边长 × 边长
新课教学：
根据下列问题，设未知数列方程：
2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，花圃的面积是24 m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？
找出题目中的等量关系：
矩形面积 = 长 × 宽
解：设花圃垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为（19-2x）m。
由题意得： x(19－2x)＝24．
x
x
（19-2x）
新课教学：
根据下列问题，设未知数列方程：
3．我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫．已知我国2017年农村贫困人口为3 046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我国2017—2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率．
解：设人口平均每年下降的百分率为x，
找出题目中的等量关系：
降低前的量×（1-降低率）=降低后的量
由题意得： 3 046 (1－x)2＝551．
2017 2018 2019
3046 3046（1-x） 3046
新课教学：
对比一元一次方程，这三个方程共同点是什么？
x2＝2， x(19－2x)＝24， 3 046 (1－x)2＝551，
②方程中只含有一个未知数；
①方程的等号两边都是整式；
③未知数的最高次项次数是2。
等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数
是2的方程叫作一元二次方程。
一元二次方程的定义;
共同点：
新课教学：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为：ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，我们把这种形式称为一元二次方程的一般形式．
例如：
x(19－2x)＝24
去括号，得 19x－2x2＝24
移项，得 －2x2＋19x－24＝0
方程的左边按 x 的降幂排列
方程的右边边是“0”。
新课教学：
一元二次方程的一般形式：ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0）
想一想：
这里为什么要求a≠0，而没要求b≠0、c≠0呢？
答：因为 a=0，则ax2 =0，未知数的最高次数不再是2，而b、c为0，则不受影响。
新课教学：
把一元二次方程化成一般形式：ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0）
其中 ax2叫二次项 ，bx 叫一次项，c 叫常数项。
a是二次项系数，b是一次项系数。
试一试：说出方程－2x2＋19x－24＝0中的二次项、一次项和常数项及它们的各项系数．
答：二次项是－2x2，一次项是19x，常数项是－24，二次项
系数是－2 ，一次项系数19.
新知应用：
例1、判断下列方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，把方程化成一般式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
解：
去括号：
移项得：0
0
此方程不是一元二次方程。
新知应用：
例1、判断下列方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，把方程化成一般式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
解：
去括号：
0
合并同类项：
此方程是一元二次方程。
化成一般式为0
二次项系数是2、一次项系数是12，常数项是10.
新知应用：
例1、判断下列方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，把方程化成一般式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
解：
移项得：
此方程是一元二次方程。
化成一般式为0
二次项系数是3、一次项系数是0，常数项是。
注意：当一般式中的一次项或常数项为“0”时，可省略不写。例如的一般式通常写成，但此时这一项的系数不是没有，而是为“0”。
新知应用：
强调：找出二次项，一次项，常数项，二次项
系数，一次项系数，一定要先把一元二次方程
化成一般形式。
例2 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m．
（1）设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程．
解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形．
根据题意，得 x2＋(x＋1)2 ＝52．
xm
(x＋1)m
新知应用：
找出题目中的等量关系：
勾股定理+=
例2 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m．
（2）把所列方程化成一般形式是 ，
二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
xm
(x＋1)m
新知应用：
2
2
例2 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m．
（3）你能求出一元二次方程x2＋(x＋1)2 ＝52中x的值吗？
xm
(x＋1)m
新知应用：
提示：3、4、5是一组勾股数+=
x=3或x=-4能满足方程左边等于右边
因为+=
又 x>0
所以x=3
巩固练习：
1．根据题意列方程：
(1) 一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多 8cm．设它的宽为xcm，可得方程_______________；
x (8＋x)＝240
(2) 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为
1 cm 的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的 ．设圆的半径为x cm，可得方程____________．
πx2＝9
巩固练习：
2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项
系数、一次项系数和常数项．
(1) x2－x＝2；
(2) 4x＋1＝x2；
解：(1) 将方程化成一般形式，得x2－x－2＝0，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－1、－2．
(2) 将方程转化成一般形式，得x2－4x－1＝0，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－4、－1．
巩固练习：
2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项
系数、一次项系数和常数项．
(3) 2x2＝－3x；
(4) x(x＋3)＝－2．
解：(3) 将方程化成一般形式，得2x2＋3x＝0，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、3、0．
(4) 将方程转化成一般形式，得x2＋3x＋2＝0，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、3、2．
巩固练习：
3、下面是方程 x2－3x＋2＝0根的有 。
① x=2 ② x= 3 ③x=1 ④x=4
① ③
巩固练习：
4、（1）已知关于x的方程（m-1）＋3x－4＝0，是一元二次方程则m的取值范围是 。
（2）已知关于x的方程 ＋3x－4＝0，是一元二次方程
则m的值是 。
（3）已知关于x的方程（m-1）＋3x－4＝0，是一元
二次方程则m的值是 。
m1
m=1
m=－3
巩固练习：
利用一元二次方程的定义，求字母系数的取值或取值范围要注意什么？
答：即要注意未知数的最高次数为“2”。
还要注意2次项系数不能为“0”。
一元二次方程的概念
1、一元二次方程定义→整式、一个未知数、未知数最高次数为2
2、一般形式→ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，会识别三项与对应系数
3、列方程步骤：审题→设未知数→找等量关系→列式
4、方程的根：即要满足等式左右相等，以要符合实际意义
课堂总结：
作业布置：
课后习题1、2、3题
下节课再见

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