资源简介

(共23张PPT)
14.3 角的平分线
第十四章 全等三角形
人教版八年级上册
学习目标
会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.
一
经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体会转化思想.
二
三
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
度量法
思考 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
知识点1 尺规作角平分线
证明：在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC (SSS)
∴∠BAC=∠DAC
即 AE是∠α的角平分线
新知探究
根据平分角的仪器的原理，你能用圆规和直尺画出已知角的平分线吗？
提示：
(1)在平分角的仪器中，AD=AB，怎样在作图中体现这个过程呢？
(2)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
知识点1 尺规作角平分线
A
B
C
(E)
D
新知探究
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
知识点1 尺规作角平分线
（2）分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
作角平分线是最基本的尺规作图,一定要掌握!
A
B
M
N
C
O
例1 已知: ∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
思考：角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系是什么？
如图，OC是∠AOB 的平分线.点，，，…在OC上，过点，
，，…分别画0A与OB的垂线，垂足分别为与与与与…….分别比较、……，你有什么发现
三角形的内角平分线
探究1
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点，且交点位于三角形的内部.
A
B
C
┐
A
B
C
A
B
C
探究2
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？
A
B
C
A
B
B
C
A
C
过三角形三条角平分线交点作三角形三边的垂线段相等.
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
练一练
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD,
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
1. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：AD平分∠BAC.
BD=CD，
BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),
∴DE=DF,
又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
练一练
2. 如图，∠AOB＝60 ，P是射线OC上的一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，M，N分别是OA与OB上的点，DM＝EN，∠MPN＝120.求证：OC是∠AOB的平分线.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDM＝∠PEO＝∠PEN＝90.
∵∠DOE＋∠PDO＋∠DPE＋∠PEO＝360，
∠AOB＝60，
∴∠DPE＝120.
∴∠DPM＋∠MPE＝120.
又∵∠MPE＋∠NPE＝∠MPN＝120，
∴∠MPD＝∠NPE.
C
A
B
O
D
E
P
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证 PD = PE.
可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE.
角的平分线的性质的应用
C
A
B
O
D
E
P
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∠AOC = ∠BOC ，
∠PDO = ∠PEO ，
OP = OP ，
∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）
∴PD = PE
如图， 若PD=PE,
Rt△OPD和Rt△OPE全等吗？依据是什么？
A
B
O
D
E
P
OP = OP，
PD = PE，
∴ △OPD ≌ △OPE
∴∠AOC =∠BOC
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
判定依据：HL
∵
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
结论
　学分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方
法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
有什么优势呢？
合作交流
运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：
问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？
.
P
自来水
天然气
合作交流
M
N
PM=PN
理由是：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
P
O
A
B
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
A
B
C
D
B
P
O
A
C
E
D
练习1：
下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,
则图形_____ 中PD＝PE.
　
(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
则图中PD＝PE吗
B
P
O
A
C
E
D
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
D
不确定
随堂检测
1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等.
解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求.
A
B
O
N
M
P
2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG.
C
A
B
O
G
F
D
E
P
当堂检测
B
D

展开更多......

收起↑