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2025-2026学年河北师范大学附属中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列方程中，没有实数根的是（　　）
A. x2-2x-5=0 B. x2-2x=-5 C. x2-2x=0 D. x2-2x-3=0
3.将抛物线y=x2-2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（　　）
A. y=x2+3 B. y=（x-3）2+3 C. y=x2-7 D. y=（x+3）2-7
4.某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.如图，圆锥底面圆的半径为3cm,高为4cm,则它的全面积为（　　）
A. 15πcm2
B. 30πcm2
C. 28πcm2
D. 24πcm2
6.如图，在长70m,宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（　　）
A. （40-x）（70-x）=700
B. （40-2x）（70-3x）=2100
C. （40-2x）（70-3x）=700
D. （40-x）（70-x）=2100
7.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=50°，则∠ACB的度数为（　　）
A. 60°
B. 75°
C. 70°
D. 65°
8.如图，将ABC绕点A逆时针旋转55°得到ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　）

A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
9.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … t m -2 -2 n …
且当 x=-时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
①abc＞0；②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0＜m+n＜．其中，正确结论的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.已知点A（a,1）与点A′（-2，b）关于原点对称，则ba= .
11.已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0有一个实数根为-1，则该方程的另一个实数根为 ．
12.如图，正方形的四个顶点都在圆上，正方形的边长为2cm,若在这个圆面内随意抛一粒小豆子，则豆子落在正方形内的概率是 .
13.如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 .
14.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是 ．
15.已知，B（2，y2），是二次函数y=-（x-1）2+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 .
三、计算题：本大题共2小题，共15分。
16.解方程
(1) x2+x-2=0
(2) （x+2）（x+3）=20
17.2025年是新疆维吾尔自治区成立70周年，某网络经销商销售以成立70周年为主题的文创品，平均每天可售出40件，每天盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件
(1) 若降价x元，则每件文创的利润为 元，平均每天销售数量为 件；（用含x的代数式表示）
(2) 若该经销商每天获得利润1200元，则每件商品应降价多少元？
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
19.(本小题6分)
如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以点O为原点建立平面直角坐标系．
（1）在图中画出△ABC向上平移6个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并求出点C旋转到点C2所经过的路径长（结果保留π）．
20.(本小题6分)
睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天的睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，制成如下统计表和不完整的统计图．
学生类别 学生平均每天睡眼时间x/小时
A 7≤x＜7.5
B 7.5≤x＜8
C 8≤x＜8.5
D 8.5≤x＜9
E x≥9
请根据图表信息解答下列问题：
(1) 扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为
(2) 请补全条形统计图
(3) 被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率
21.(本小题9分)
如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．
22.(本小题11分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=2，求 的长.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】1
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】10%
15.【答案】y3＜y1＜y2
16.【答案】【小题1】x2+x-2=0，
（x-1）（x+2）=0，
则x-1=0或x+2=0，
所以x1=1，x2=-2
【小题2】（x+2）（x+3）=20，
x2+5x-14=0，
（x-2）（x+7）=0，
则x-2=0或x+7=0，
所以x1=2，x2=-7

17.【答案】【小题1】
（30-x）
（40+2x）
【小题2】
依题意得：（30-x）（40+2x）=1200，
解得：x1=0，x2=10，
又∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元

18.【答案】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2-1=0，
解得，m=-4或m=-2．
19.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
∵OC==，∠COC2=90°，
∴点C旋转到点C2所经过的路径长为=π．
20.【答案】【小题1】
144°
【小题2】
D类的人数为50-6-14-20-4=6（人），
补全条形统计图，如图，
【小题3】
画树状图如下：
两人恰好是2名男生的结果有2种，共有12种等可能结果，
∴恰好抽到2名男生的概率

21.【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，A点的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．
（2）∵将x=0代入y=x2+2x-3，得y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）．
∴OC=3．
∵点B的坐标为（1，0），
∴OB=1．
设点P的坐标为（a，a2+2a-3），则点P到OC的距离为|a|．
∵S△POC=2S△BOC，
∴OC |a|=2×OC OB，即×3×|a|=2××3×1，解得a=±2．
当a=2时，点P的坐标为（2，5）；
当a=-2时，点P的坐标为（-2，-3）．
∴点P的坐标为（2，5）或（-2，-3）．
22.【答案】（1）证明：连接OD，则OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，CD=2，
∴BD=CD=2，
B=C=,
AD=BD=2=2,
OD=OA,AOD=2B=,
AOD是等边三角形,
OD=AD=2,
BOD=-AOD=,
==,
的长是.

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