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2025-2026学年山东省临沂市河东区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列计算中正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（　　）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式中，y是x的函数；
③下表中，n是m的函数；
④如图中，曲线表示y是x的函数.
m -3 -2 -1 1 2 3
n -2 -3 -6 8 9 2
A. ①④
B. ①③④
C. ①②④
D. ①②③④
4.若三点（-3，y1），（-1，y2），（2，y3）都在函数y=kx（k＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2
5.一个四边形的四边长依次为a,b,c,d,且（a-c）2+|b-d|=0，则这个四边形一定（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图中的（　　）
A. B. C. D.
7.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（　　）
A. 使每组数据量相等
B. 使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C. 减少计算复杂度
D. 保证组间均值相等
8.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠AOB=60°，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点.若AB=4，则EF的长度为（　　）
A.
B. 4
C.
D. 8
9.随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代.一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，往返过程中行驶速度保持不变.已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（　　）min.
A. 4 B. 8 C. 10 D. 16
10.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，E是线段AD上的动点（不与点A，D重合），连接BE，作射线BF，交线段CD于点F，且使.给出下面四个结论：
①BE=BF；
②；
③E、F两点间的距离的取值范围是1≤EF＜2；
④连接EF，则△EBF面积的最小值为.
上述结论中，正确结论的序号是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ①④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.自然数4、5、5、x、y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x、y中，x+y的最大值是 ．
12.如图，一个正多边形被撕掉了一块，若边AB、CD所在直线互相垂直，则原正多边形的边数为 .
13.如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为 .
14.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b≤-x-1的解集为 .
15.y与x之间的函数关系可记为y=f（x）.例如：函数y=x2可记为f（x）=x2.若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f（-x）=f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数.例如：f（x）=x2是偶函数，f（x）=x是奇函数.已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=5x2+1，那么f（-6）= .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
17.(本小题9分)
如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC=80cm,BC=60cm.
(1) 若∠ACB=90°，求AB的长
(2) 为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB=30°，与（1）中的AB相比，调节后AB的长度变长或变短了多少．（其中，，）
18.(本小题9分)
如图，直线l1经过点A（0，6），B（1，4），直线l2：y=x-2与x轴交于点C，与直线l1交于点P.
（1）求直线l1的表达式，判断点M（-1，7）是否在直线l1上，并说明理由；
（2）求△CPA的面积.
19.(本小题9分)
如图，菱形ABCD中，分别延长CA、CB至点E、F，使AE=AC，BF=BC，连结EF.
（1）求证：△EFC是等腰三角形；
（2）连结BE，若，求BE的长.
20.(本小题9分)
某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下：
甲：89，70，96，100，68，78，98，60，91，92；
乙：90，65，90，80，93，65，93，90，96，80
(1) 小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：，= ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定
(2) 小颖利用四分位数、箱线图（如图）进行分析：
①写出甲数据的四分位数：Q1=______；Q2=______；Q3=______；
②根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图；
③根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两人成绩的看法（至少写出三条）
21.(本小题9分)
【发现问题】设定点A是x轴上表示-3的点，点P为x轴上的一个动点，A，P两点的距离随着点P的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述．
【提出问题】设动点P（x,0）到A点的距离为y,探究y与自变量x之间的函数关系并研究其图象和性质．
【解决问题】
(1) 填空：该函数的解析式为
(2) 补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象；
x … -5 -4 -3 -2 -1 …
y … 0 …
(3) 观察函数图象，写出该函数的两条性质：
①______；②______
(4) 此函数图象与直线y=2的交点坐标是
22.(本小题9分)
某滑雪场面向中学生体育社团推出两套滑雪付费方案，设总花费为y（元），滑雪次数为x（次）．
甲方案：无会员费，单次收费120元，累计消费3600元后，超过的部分按60元/次收费．此时y与x的函数关系如图所示．
乙方案：先预缴800元年度会员费，再按次数计费，此时y与x的关系如下表所示．
滑雪次数x（次） 0 10 20 30
收费y（元） 800 1600 2400 3200
(1) 在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙方案y关于x的函数图象，并判断函数类型
(2) 求乙方案y关于x的函数表达式
(3) 对于x的取值情况进行分析，试说明选择哪种方案比较便宜
23.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE=AF，连接EF，与对角线AC相交于点G.
（I）求证：FG=EG；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD=6，AF=2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】5
12.【答案】8
13.【答案】3-
14.【答案】x≤-2
15.【答案】-181
16.【答案】（Ⅰ）3+2；
（Ⅱ）-．
17.【答案】【小题1】由勾股定理可得，．
∴AB的长为100cm.
【小题2】如图：过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB=30°，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴．
∵114-100=14cm,
∴调节后AB的长度变长了14cm.

18.【答案】y=-2x+6，点M不在直线l1上，理由如下：
设直线l1的表达式为y=kx+b，由条件可得：，
解得，
∴直线l1的表达式为y=-2x+6，
当x=-1时，y=-2×（-1）+6=8≠7，
∴点M（-1，7）不在直线l1上
19.【答案】证明过程见解答；
．
20.【答案】【小题1】
84.2
乙
【小题2】
①70；90；96；②甲的箱线图如图所示：
．
③两人平均成绩相同，整体水平相当；甲的最高分更高，成绩上限更强，但是最低分更低，整体波动更大；甲的上四分位数高于乙，说明甲的高分段成绩更突出

21.【答案】【小题1】
y=|x+3|
【小题2】
x=-5时，得：y=|-5+3|=2；
x=-4时，得：y=|-4+3|=1；
x=-2时，得：y=|-2+3|=1；
x=-1时，得：y=|-1+3|=2；
补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象，如图即为所求；
x … -5 -4 -3 -2 -1 …
y … 2 1 0 1 2 …
描点、连线，绘制函数的图象如图1即为所求；
【小题3】
①函数图象关于直线x=-3对称；②当x＜-3时，y随x的增大而减小；当x＞-3时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
【小题4】
（-5，2）和（-1，2）

22.【答案】【小题1】在平面直角坐标系中描点、连线画出函数图象，
根据函数图象可知，乙方案y关于x的函数是一次函数
【小题2】设乙方案y关于x的函数关系式是y=kx+b（k≠0），
把点（0，800），（10，1600）代入y=kx+b（k≠0），
可得：，
解得：，
∴乙方案y关于x的函数关系式是y=80x+800
【小题3】如下图所示，
当0≤x＜20时，甲方案合算，
当x=20时，甲、乙两种方案费用相同，
当20＜x＜50时，乙方案合算，
当x=50时，甲、乙两种方案费用相同，
当x＞50时，甲方案合算

23.【答案】解：（I）如图，过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABC=90°．
∴FH∥BC，∠FAH=∠FHA=45°．
∴∠HFG=∠E，AF=HF．
∵CE=AF，
∴HF=CE．
在△FHG和△ECG中，
∴△FHG≌△ECG（AAS）．
∴FG=EG；
（Ⅱ）如图，取I为BF的中点，连接IG．
由（I）知FG=EG，
∴．
∴∠AIG=90°．
∴∠IGA=∠IAG=45°．
∴AI=IG．
∴．可得．
∴；
（Ⅲ）．
理由：∵AD=6，AF=2，
∴FB=AB-AF=4，BE=BC+CE=8，
由勾股定理，得EF===，
由（I）知BG是Rt△EFB斜边EF的中点，
∴GB=GE=EF=，
∴∠GBE=∠GEB，
如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，
则PN'=PN，∠N'EB=∠NEB=∠GBE，
∴PM+PN=PM+PN'≥N'M，EN'∥QB，
∴EQ为两平行线EN'与QB间的距离，
∴PM+PN'≥N'M≥EQ，
∴PM+PN的最小值为EQ，
取BE的中点J，连接GJ，
则GJ∥FB，GH=FB=2，
∴GJ⊥BE，
∵S△GBE=BG EQ=BE GJ，
∴EQ===，
∴PM+PN的最小值为．
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