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2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≥2 B. x＞2 C. x≥0 D. x＞0
2.下列选项是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直
4.下面哪个点在函数y=x-3的图象上（　　）
A. （1，-3） B. （0，0） C. （-3，0） D. （2，-1）
5.下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（　　）
A. B. C. D.
6.关于数据的离散程度错误的是（　　）
A. 离差平方和、方差都是刻画离散程度的统计量
B. 一组数据的离差的和可以是0，也可以不是0
C. 平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异
D. 方差能反映每个数据与平均数的平均差异程度
7.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“×”表示平均值.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图2所示.以下结论中：①一班成绩最低分比二班的更低；②两个班级成绩的上、下四分位数都相同；③一班成绩与二班成绩的中位数相同；④一班的平均分高于二班的平均分；⑤一班的成绩波动明显比二班的大，正确的是（　　）
A. ①③④⑤ B. ①②③ C. ①②⑤ D. ②④⑤
8.文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度.如图，交通指示牌的停车让行标志是一个正多边形，它的每个内角的度数是（　　）
A. 100°
B. 108°
C. 120°
D. 135°
9.如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E.若，AD=7，AB=5，则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
10.体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：= .
12.一组数据为：2，1，3，1，8，3.这组数据的平均数为 ，离差的和为 ，离差平方和为 .
13.已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y=-x+b（b≠0）的图象上，且y1＜y2，则x1 x2（填“＞”或“＜”）.
14.如图， ABCD中，点E在AD上，∠CBE=30°，EC平分∠BED，BE=8，则 ABCD的面积是 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，若点D为边AB上一定点，E为平面内一点，则以点B，C，D，E为顶点的平行四边形有 个，若点D为边AB上一动点时，DE的最小值为 .
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
16.解决下列问题：
(1) 计算：
(2) 已知，，求x2+2xy+y2的值
17.小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行了一段时间后，突然想起要买圆规，于是又骑回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校（小明家、文具店、学校在同一直线上）．如图是他本次上学过程中离家距离（m）与所用时间（min）之间的函数关系图象．
请解答下列问题：
(1) 小明家到学校的距离是 m,本次上学途中，小明骑车一共行驶了 m
(2) 小明在文具店停留了 min；如果他一直按照从家里出发的起始速度到学校，中途没有返回，到学校总共需要 min
(3) 最高时速出现的路段是 ，速度是 m/min
(4) 交通安全不容忽视．假设骑自行车的速度超过15km/h就超过了安全限度，则在整个上学途中，小明骑车最快时，他的速度 安全限度之内．（填“在”或“不在”）
四、解答题：本题共6小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．它是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．如图为赵爽弦图
(1) 如图所示，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=c,AE=b,BE=a,且b＞a.请利用赵爽弦图证明a2+b2=c2
(2) 连接HF，若AB=5，BE=3，则HF=
19.(本小题9分)
已知一次函数y=2x+4，与x轴交点为A，与y轴交点为B．请完成下列问题：
(1) 画出这个函数的图象；（直接在图中描点、连线，并标注出点A与点B）
(2) 直接写出A，B两点的坐标：A ，B
(3) 观察图象，在第三象限内的函数图象的自变量取值范围是 ；当-4≤x≤0时，y的取值范围是
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为△ABC的中线．过点C作CE∥DB且CE=DB，连接BE
(1) 求证：四边形CDBE为菱形
(2) 若AC=6，CD=5，求菱形CDBE的面积
21.(本小题9分)
随着互联网络快速发展，现在人工智能也快速兴起，并且渗透着我们的生活.某平台抽取了20个用户对甲，乙两款人工智能软件分别进行了评分，现将收集到的数据进行整理描述和分析（得分用x表示，共分为四组，A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100）.下面给出了部分信息：
甲款人工智能软件得分所有数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.
乙款人工智能软件得分在C组内的数据：85，86，87，88，88，88，90，90.
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲 86 a b 96.6
乙 86 86.5 88 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1000名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数；
（3）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）.
22.(本小题9分)
如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，6）．直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点D，且与一次函数y=kx+b的图象交于点P（1，n）
(1) 直接写出n的值
(2) 求一次函数y=kx+b的解析式
(3) 已知点H是函数y=x+3图象上一点，且，求H的坐标
23.(本小题12分)
综合与探究
问题情境：
如图，四边形ABCD是矩形，点E为直线BC上一动点，点F为AE的中点，连接CF，DF．
(1) 特例探究：如图1，当点E与点B重合时，求证：CF=DF
(2) 深入探究：如图2，当点E在线段BC上时，CF与DF的数量关系是否发生变化，请说明理由
(3) 拓展运用：点E在直线BC上运动时，若AB=6，AD=8，BE=2，直接写出CF的长
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】3
0
34

13.【答案】＞
14.【答案】32
15.【答案】3

16.【答案】【小题1】原式=
=
=
【小题2】x2+2xy+y2=（x+y）2，
把，代入上式得：

17.【答案】【小题1】
1800
3000
【小题2】
3
9
【小题3】
买到圆规后从文具店到学校之间的路段
400
【小题4】
不在

18.【答案】【小题1】
证明：由已知可得：，HE=b-a.
∴S正方形ABCD=4S△ABE+S正方形HEFG
=
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2．
∵，
∴a2+b2=c2
【小题2】

19.【答案】【小题1】
∵一次函数y=2x+4，与x轴交点为A，与y轴交点为B，
∴A（-2，0），B（0，4），
【小题2】
（-2，0）
（0，4）
【小题3】
x＜-2
-4≤y≤4

20.【答案】【小题1】证明：∵CE∥DB且CE=DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD为△ABC的中线，
∴，
∴四边形CDBE是菱形
【小题2】解：如图，连接DE交CB于O，
∵四边形CDBE是菱形，
∴DE⊥CB，CO=BO，OD=OE．
∵点D是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴，
∴DE=2OD=6，，
∴CB=2OC=8，
∴

21.【答案】85.5，85，20；
470名；
乙款人工智能软件更受用户欢迎．理由见解析．
22.【答案】【小题1】将P（1，n）代入得1+3=n,即n=4
【小题2】由条件可知P（1，4），
∵P（1，4），B（0，6）在y=kx+b上，
∴将P（1，4），B（0，6）代入得：
，
解得，
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=-2x+6
【小题3】由条件可知A（3，0），
∵直线y=x+3与x轴交于点C，
∴当y=0时，即x+3=0，
解得x=-3，
∴C（-3，0），
∴AC=3-（-3）=6，
∴，
∵，
∴S△ACH=4，
∵点H是函数y=x+3图象上一点，
∴设H（a,a+3），
∵，
∴，
当时，
解得；
当时，
解得，
∴H的坐标为或

23.【答案】【小题1】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠A=∠ABC=90°，
∵点F为AE的中点，点E与点B重合，
∴AF=BF，
在△DAF与△CBF中，
，
∴△DAF≌△CBF（SAS），
∴CF=DF
【小题2】解：CF与DF的数量不会发生变化；理由如下：
如图2，四边形ABCD是矩形，延长DF交直线BC于点G，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，AD=BC，
∴∠DAE=∠GEA，∠ADG=∠EGD，
∵点F为AE的中点，
∴AF=EF，
在△DAF与△GEF中，
，
∴△DAF≌△GEF（AAS），
∴DF=GF，
∴，
∵∠BCD=90°，
∴CF为Rt△GCD斜边DG上的中线，
∴，
∴CF=DF
【小题3】解：CF的长为或．理由如下：
AB=6，AD=8，BE=2，点E在直线BC上运动时，分类讨论如下：
①如图3，当E在CB延长线上时，取BE中点H，连接FH，则，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴，FH∥AB，
∴∠FHB=∠ABC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠ABC=90°，
∴∠FHB=∠ABC=90°，
∴CH=BH+BC=1+8=9，
在直角三角形CFH中，由勾股定理得：；
②如图4，当E在线段BC上时，取BE中点K，连接FK，则，
∵点F为AE的中点，
∴FK是△ABE的中位线，
∴，FK∥AB，
∴∠FKE=∠ABC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠ABC=90°，
∴∠FKE=∠ABC=90°，
∴CK=BC-BK=8-1=7，
在直角三角形CFK中，由勾股定理得：；
综上所述，CF的长为或

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