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2025-2026学年山西省运城市河津市部分校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞5 B. x＜5 C. x≠5 D. x≠-2
2.当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. x2-4x=x（x-4） B. x2+2x+1=x（x+2）+1
C. 8a3b2c=4a2b2 2ac D. （x+1）（x-3）=x2-2x-3
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，点E分别是AC，AB的中点，若AE=5，AC=8，则DE的长为（　　）
A. 2
B. 3.5
C. 3
D. 6
5.化简时，应约去的分子分母的公因式是（　　）
A. 3xy2 B. 3xyz C. xy2 D. 6xy2
6.某科技公司研发的仿生机械臂（如图1），其小臂与大臂的长度均为15cm,在正常工作状态下，关节处的夹角为120°，如图2所示.机械臂的末端A到固定点C的距离即为其有效工作距离，求该仿生机械臂有效工作距离AC的长度为（　　）
A. 30cm B. C. D.
7.某小区室外供暖管线采用装配式保暖模块，模块截面是一个正八边形，其每个内角度数为（　　）
A. 120° B. 135° C. 140° D. 144°
8.2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长.某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：A（t＜7），B（7≤t＜8），C（8≤t＜9），D（t≥9），若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n,C，D组人数和为m）（　　）
A. m＞0.6n B. m≥0.6n C. n-m＞0.4n D.
9.已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G，下列结论不一定成立的是（　　）
A. CD=DF B. CF⊥BE C. ∠EAB=∠ABE D. AF=DE
10.2026年5月，太原地铁1号线迎来全面运营一周年.某中学组织八年级学生乘坐地铁前往太原双塔公园开展“跨学科主题学习”，已知去时乘坐地铁，返回时乘坐新能源大巴，去时的速度是返回时速度的倍，且去时比返回时少用了15分钟，若往返的路程均为20km,晓华根据情境列出方程，则方程中的未知数x表示的意义为（　　）
A. 乘坐大巴所用的时间 B. 乘坐地铁所用的时间
C. 乘坐地铁的平均速度 D. 乘坐大巴的平均速度
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，点P（-3，-5）与点Q关于原点中心对称，则点Q的坐标为 .
12.解分式方程时产生了增根，这个增根是 .
13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，连接AD，BE，若，平移距离为2，则阴影部分的面积为 .
14.如图，函数y=-2x与y=nx+3的图象相交于点A（m,4），则关于x的不等式-2x≤nx+3的解集是 .
15.如图，将四边形ABCD绕点D旋转至四边形A′B′C′D，当B′与C重合，A′落在对角线AC上时，连接A′C′，已知∠CA′C′=60°，∠A′C′D=30°，，则BC= .
三、计算题：本大题共3小题，共27分。
16.分解因式：
(1) 2 x3-8x
(2) （a-1）2-（a-1）（a+1）
17.先化简，再求值：，其中x=2.
18.为推进特色农产品提质惠民项目，太原市清徐县某农业园区计划采购甲、乙两种节能冷藏保温柜，用于鲜果、蔬菜存储
(1) 已知甲款单台售价比乙款贵0.2万元；用18万元采购甲款的台数，等于用12万元采购乙款台数的1.2倍．求甲、乙两款冷藏保温柜的单价
(2) 园区计划采购两种冷藏保温柜共75台，总经费不超过68万元．该园区最多可购进甲款冷藏保温柜多少台？
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上.
20.(本小题9分)
下面是小华同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．
解：去分母得，3=2（x-1）-1，…第一步
去括号得，3=2x-2-1，…第二步
移项、合并同类项得，2x=6，…第三步
解得，x=3，…第四步
检验：当x=3时，x-1≠0…第五步
∴x=3是原方程的根．…第六步
任务：
(1) 小华同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是：
(2) 请写出该方程正确的求解过程
(3) 解分式方程必须检验的原因是
21.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，连接AF交BE于点G，连接CE交DF于点H.求证：四边形GFHE是平行四边形.
22.(本小题9分)
阅读与思考
阅读下列材料，完成相应的任务．
运动视角下再谈中位线
学完平行四边形的有关内容后，小颖同学梳理知识结构过程如下：
一、全等三角形-平行四边形
1．平行四边形的形成
两个全等三角形，从重合位置开始，绕一边中点将其中一个三角形旋转180°后，与另一个三角形形成的图形，如图1，
2．性质探究：
…
3．图形结构分析：
B，C，A分别为DF，DE，FE边中点
4．中位线定义形成、性质探究……
二、梯形-平行四边形
1．平行四边形形成
任意两个全等梯形都可绕一腰中点旋转180°形成平行四边形．
如图2，梯形ABCD绕CD的中点O旋转180°后得到梯形EFGH，则梯形ABCD≌梯形EFGH，DC，GH重合，点A，D，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．
求证：四边形ABEF为平行四边形．
证明：…
2．梯形中位线定义的形成、性质探究
DC所在直线绕 ABEF的对称中心点O旋转至如图3，交AB于点M，交EF于点N．M，N分别为AB，EF的中点，此时MO，NO为梯形ABCD，梯形CEFD的中位线．
(1) 完成材料中证明过程
(2) 如图3，猜想MO与AD，BC数量关系并证明
(3) 应用：如图4，公园有一块四边形空地ABCD，为了美观，需改造成与其面积相等的梯形，请设计出所要求的梯形
23.(本小题12分)
综合与探究
学行四边形知识后，数学兴趣小组结合图形平移，旋转进一步研究．
如图1，在 ABCD中，∠B=60°，，点O为对角线AC的中点，将 ABCD绕点O逆时针旋转90°到 A′B′C′D′位置，如图2，此时点A′，C′分别落在BC，AD边上，A′D′，B′C′分别经过点A，C．
(1) 猜想B′C′与AD的位置关系并说明理由
(2) 在图2的基础上将 A′B′C′D′沿射线BC平移至 FGHE位置，如图3，F与C重合，EF过点C′，EF交AD于点M，GH交射线BC于点N，猜想CE，CN，GN三条线段之间的数量关系并证明
(3) 在图3的基础上将 EFGH沿射线CD方向平移，当△EFD为等腰三角形时直接写出平移距离
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】（3，5）
12.【答案】x=4
13.【答案】8
14.【答案】x≥-2
15.【答案】12
16.【答案】【小题1】2x3-8x
=2x（x2-4）
=2x（x+2）（x-2）
【小题2】（a-1）2-（a-1）（a+1）
=（a-1）[a-1-（a+1）]
=（a-1）（a-1-a-1）
=-2（a-1）

17.【答案】，．
18.【答案】【小题1】设乙款冷藏保温柜单价为x万元．
由题意可得：，
解得，x=0.8，
经检验，x=0.8是原方程的解．
0.8+0.2=1（万元）
答：甲款冷藏保温柜单价1万元，乙款冷藏保温柜单价0.8万元
【小题2】设购入甲款冷藏保温柜a台．园区计划采购两种冷藏保温柜共75台，总经费不超过68万元．
由题意可得：a+0.8（75-a）≤68，
解得，a≤40
因为a是正整数，所以a的最大值为40．
答：该园区最多购入甲款冷藏保温柜40台

19.【答案】-4＜x≤1；解集在数轴上表示如下：

20.【答案】【小题1】
一
去分母时，方程两边同乘x-1时，这一项在去分母时没有变号
【小题2】
3=2（x-1）+1，
3=2x-2+1，
2x=4，
x=2；
检验：当x=2时，x-1≠0，
所以，x=2是原方程的解
【小题3】
因为解分式方程时可能会在方程两边同乘一个使分母为零的整式，方程会有增根

21.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴，，
∴∠EBC=∠DFC，
∴BE∥DF
∵ED∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∴ED=BF，GE∥FH，
∴AD-ED=BC-BF，即AE=FC．
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴GF∥EH，
∴四边形GFHE是平行四边形．
22.【答案】【小题1】证明：∵梯形ABCD≌梯形EFGH，
∴∠ADC=∠EHG，AD=EH，GF=BC．
∴AF∥BE，AD+GF=EH+BC，即AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形
【小题2】解：；
证明：如图3，连接AE，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠DAO=∠CEO．
∵MO是梯形ABCD的中位线，
∴DO=CO，
在△ADO和△ECO中，
，
∴△ADO≌△ECO（AAS），
∴AO=EO，
∴点O是AE的中点，
又∵M为AB的中点，
∴MO是△ABE的中位线，
∴，
∵BE=BC+CE，
∴BE=BC+AD，
∴
【小题3】解：所要求的梯形，如图梯形EFGH即为所求．

23.【答案】【小题1】B′C′⊥AD；理由如下：
由旋转可知OC=OC′，∠COC′=90°，
∴∠OC′C=∠OCC′=45°，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，∠AOC′=90°，
∴OA=OC′，
∴∠OC′A=∠OAC′=45°，
∴∠AC′C=90°，
∴B′C′⊥AD
【小题2】CE=CN+GN；
证明：由（1）可得：B′C′⊥AD，
∴∠AC′C=90°，
∵四边形A′B′C′D′与四边形ABCD为平行四边形，
∴D′A′∥C′B′，AD∥BC，
∴∠A′AC′+∠CC′A=180°，∠AC′C+∠A′CC′=180°，
∴∠A′AC′=90°，∠A′CC′=90°，
由平移可知CE∥A′D′，GH∥B′C′，∠G=∠B′，CG=A′B′，
∴∠DMC=∠C′AA′=90°，∠CNG=∠A′CB′=90°，
∴∠DMC=∠CNG，
由旋转可得∠B′=∠D，CD=A′B′，
∴∠D=∠G，CD=CG，
在△C′DC和△FNG中，
，
∴△C′DC≌△FNG（AAS），
∴CN=C′C，NG=C′D，
由旋转可得：AD=A′D′，由平移可得：A′D′=EF，
∴EF=AD．
∵∠CC′A=90°，∠OAC′=45°，
∴AC′=CC′，
∴AD-AC′=EF-CC′，即EC′=C′D，
∴EC′=NG，
∵CE=EM+CM，
∴CE=CN+NG
【小题3】平移距离为或．理由如下：
如图3，根据解析（1）可得：B′C′⊥AD，∠OAC′=∠OCC′=45°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴，
∵ ABCD中，∠D=∠B=60°，
∴∠C′CD=90°-60°=30°，
∴，
根据勾股定理得：C′D2+CC′2=CD2，
即C′D2+CC′2=（2C′D）2，
解得：（负值已舍去），
∴，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
根据平移和旋转的性质可得：
，，
∵四边形A′B′C′D′为平行四边形，
∴A′D′∥B′C′，
∵B′C′⊥AD，
∴A′D′⊥AD，
根据平移可得：EF∥A′D′，
∴EF⊥AD．
当点F在CD上，DE=DF时，如图4：
∵EF⊥AD，
∴，∠DMF=90°，
∵∠DFM=90°-60°=30°，
∴，
根据勾股定理得：DM2+MF2=DF2，
即，
解得：（负值已舍去），
∴，
即此时平移距离为；
当点F在CD延长线上，时，如图5，
则，
即此时平移距离为；
综上所述，当△EFD为等腰三角形时，平移距离为或

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