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2025-2026学年湖南省常德五中八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≥2026 B. x＞2026 C. x≤2026 D. x＜2026
2.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm,数0.00077用科学记数法表示为（　　）
A. 7.7×10-4 B. 0.77×10-5 C. 7.7×10-5 D. 77×10-6
4.若2x2+ax-4能因式分解为（x-4）（2x+1），则a的值为（　　）
A. -7 B. -5 C. 5 D. 7
5.若分式的值为零，则x等于（　　）
A. 0 B. 2 C. ±2 D. -2
6.某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）
A. -=20 B. -=20
C. -=0.5 D. -=0.5
7.下列各命题的逆命题不成立的是（　　）
A. 三边对应相等的两个三角形全等
B. 等边三角形是锐角三角形
C. 同位角相等，两直线平行
D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
8.若关于x的方程有增根.则m的值是（　　）
A. 3 B. -1 C. 0 D. 2
9.如图，正方形ABCD是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF=6，则S1+S2+S3的值为（　　）
A. 108
B. 144
C. 72
D. 90
10.如图，在等腰△ABC中，∠BAC为锐角且AB=AC=5，D为BC中点，AD=4，动点P、E分别为AD与AC上任意一点，则PC+PE的最小值为（　　）
A. 2.4
B. 8
C. 9.6
D. 4.8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：-= ．
12.如图所示，∠B=∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是______．（填上一个条件即可）
13.已知一个等腰三角形两边分别为4和9，则第三边长是 ．
14.如图，在△ABC中，DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线，BC=10，则△ADE的周长为 .
15.阅读下面的材料，然后解决问题：
苏菲热门是19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深.下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解x4+4时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即（x2）2+22，所以要使用公式就必须添加一项4x2，同时减去4x2，即：x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2x+2）（x2-2x+2）.人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：x4+4y4= .
16.如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的数量关系为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共24分。
17.计算：
(1)
(2)
18.请你先化简：，再选取你喜欢的一个x的数值代入求值.
19.阅读下面的材料，然后解决问题：
像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：=，再如：==；
模型应用1：
(1) 化简：①②
(2) 若，且a,m,n为正整数，求a的值；
模型应用2：
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，，，那么BC= ．（直接写出结果，并化为最简）
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
因式分解：
(1) 2 x2+4xy+2y2
(2) a2（x-y）+16（y-x）
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°
(1) 请你判断AD与CD是否垂直？并说明理由
(2) 求四边形ABCD的面积
22.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形.
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E.求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求∠BEC的度数.
23.(本小题8分)
京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的20倍，若用一台机器人分栋8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少小时.求一台机器人一小时可分拣多少件货物？
24.(本小题16分)
如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．
(1) 如图1，过点F作FG⊥AC于点G，求证：△AGF≌△ECA
(2) 如图2，连接BF交AC于点D，若，求证：E为BC的中点
(3) 如图3，当点E在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，则=
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】AB=AD或BC=CD或∠BAC=∠DAC或∠ACB=∠ACD
13.【答案】9
14.【答案】10
15.【答案】（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）
16.【答案】∠1+∠2-∠A=90°
17.【答案】【小题1】原式=
=
=
【小题2】原式=
=
=

18.【答案】，原式=4（答案不唯一）．
19.【答案】【小题1】
①，
②
【小题2】
由条件可知，
，
∴，即，
∵a,m,n为正整数，
∴或，
∴a=1+5×4=21或a=4+5×1=9，
∴综上，a=21或a=9
【小题3】

20.【答案】【小题1】原式=2（x2+2xy+y2）=2（x+y）2
【小题2】原式=a2（x-y）-16（x-y）
=（x-y）（a2-16）
=（x-y）（a-4）（a+4）

21.【答案】【小题1】连接AC．
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理，得AC2=202+152=625．
又∵CD=7，AD=24，
∴CD2十AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2，
∴∠D=90°，
∴AD与CD垂直
【小题2】四边形ABCD的面积=AD DC+AB BC
=×24×7+×20×15
=234

22.【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，
∴∠ADE=∠AED=∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形；
（2）∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=60°，∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC=∠DAE=60°，∠ADB=180°-∠ADE=120°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°．
23.【答案】解：设一台机器人一小时可分拣x件货物，则一名分拣工人一小时可分拣件货物，
依题意得：-=，
解得：x=3000，
经检验，x=3000是原方程的解，且符合题意．
答：一台机器人一小时可分拣3000件货物．
24.【答案】【小题1】
证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，FG⊥AC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠AGF=∠ECA=90°，
∵AF⊥AE且AF=AE，
∴∠AFG=90°-∠FAG=∠EAC，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）
【小题2】
证明：如图2，∠ACB=90°，AC=BC，FG⊥AC，过点F作FG⊥AC于点G，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠AGF=∠ECA=90°，
∵AF⊥AE且AF=AE，
∴∠AFG=90°-∠FAG=∠EAC，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS），
∴AC=FG，AG=EC，
∴BC=FG，
在△DGF和△DCB中，
，
∴△DGF≌△DCB（AAS），
∴CD=GD，
∵，
∴AD=3CD，
∴AG+DG=3CD，
∴AG=2CD=DG+CD=CG，
∴，
∴，
∴，
∴E为BC的中点
【小题3】

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